В книге «Математический практикум» содержатся основы численного анализа, методы численного решения некоторых задач математической физики и дано .освещение техники работы на простейших вычислительных приборах и машинах.
Книга составлена на основе опыта проведения занятий по математическому практикуму в Киевском университете и содержит материал, предусмотренный программой МВО СССР по математическому практикуму и технике работы на вычислительных машинах для студентов-математиков механико-математических факультетов университетов. .
Книга может быть полезной для студентов университетов и высших технических учебных заведений, а также для научных работников и инженеров, интересующихся методами численного решения задач физики и техники.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .................... ....... 7
Глава К Общие правила приближенных вычислений........ 9
§ 1. Погрешности, их классификация и простейшие способы учета . 9
п. 1. Введение (9). п. 2. Абсолютная погрешность и истинная погрешность (11). п. 3. Относительная погрешность и истинная относительная погрешность (11). п. 4. Верные цифры и запись приближенных чисел (13). п. 5. Неустранимая погрешность (15). п* 6. Правила подсчета- числа верных цифр (18). п. 7. Погрешность метода (21). п. 8. Вычислительная погрешность. Понятие об устойчивости счета (23). п. 9. О полной погрешности (25).
§ 2. Понятие о статистических способах учета погрешностей ... 26
п. 1. Распределение вероятностей погрешностей (26). п. 2. Средняя квадратическая погрешность (31).
§ 3. Русские счеты.......................35
§ 4. Арифмометр........................38
§ 5. Логарифмическая линейка...............'.'.'. 44
п. 1. Принцип конструкции (44). п. 2. Описание логарифмической линейки (45). п. 3. Чтение и установка чисел на шкалах линейки (46). .п. 4. Вычисления на основных шкалах (48). п. 5. Другие виды вычислений на линейке (49).
§ 6. Понятие о работе с таблицами...............50
Лабораторные работы, к гл. 1 (1—6)........... 55
Литература к гл. 1..................! . .' ! 60
Г л а в а 2. Численные и графические методы решения алгебраических и трансцендентных уравнения ............61
§ I. Метод Лобачевского . .'.. . . . . ... . . .".. ...... 61
п. 1. Идея метода Лобачевского. Случай вещественных корней (61). п. 2. Случай комплексных корней (66). п. 3. Случай кратных или близких корней (70).
§ 2. Метод хорд и метод касательных ........... ___ 73
п. 1. Введение (73). п. 2. Отделение корней (75). п. 3. Метод хорд (78). ц. 4. Метрд касательных (80).
§ 3. Способ Горнёра ..... ... . . ............86
§ 4. Метод последовательных приближений ... ..,..,! '. '. '. '. 89
§5. Графические методы....................92
п- ъ Зэедеиие (92). п. 2. Графический аналог метода хорд я. 3. Способ Лилля (94). в. 4. Решение уравнений при по-
мощи номограмм (95). п. 5. Номограммы из выравненных точек (97). п. 6. Примеры (99).
§ 6. Полуавтоматические и автоматические счетные машины' . . >. . 100
Лабораторные работы, к гл. 2 (1—4) ..............105
Литература к гл. 2.........-. . . ....... . . . 108
Глава 3. Интерполирование и приближение функций . . . . . '. . 109
§ 1. Интерполирование функций» . . , ... . . .........109
п. 1. Интерполяционная формула Лагранжа (110). п. 2. Линейный процесс интерполирования по Эйткину (112). п. 3. Погрешности интерполяционных формул (114). п. 4. Наилучшие приближения и полиномы Чебышева, наименее уклоняющиеся от нуля (117). п. 5. Разности различных порядков. Разделенные " '• ' • разности (119). п. 6. Формула Ньютона. -Интерполирование впе-' ред и назад (123). п. 7. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя (129). п. 8. Центральные разности ^135). п. 9. Диаграмма Фрезера (138). п. 10. К вопросу об оценке погреш-, НРСТИ . метода интерполирования в отдельных точках (139). , .
Лабораторные работы к § -1 (1—2) . . . •. . . . ........141
§ 2. Применение интерполирования при работе с таблицами . . '. . 145 ;' п. \. Проверка и исправление 'таблиц (146). п. 2. Интерполи-' рование при работе с таблицами (150). п. 3. Экстраполирование. Продолжение таблиц (155). п. 4. Уплотнение таблиц (158).
Лабораторные работы к § 2 (1—2)............... 163
§ 3. Среднеквадратические приближения функций . . . , . . . > . 168
п. 1. Метод наименьших квадратов в случае дискретного ряда точек (169). п. 2. Метод наименьших квадратов в случае промежутка (175). ii. 3. Общая задача приближения по'методу наименьших квадратов (177). п. 4. Среднеквадратические приближения при помощи тригонометрических многочленов (183). п. 5. Гармонические анализаторы (187).
Лабораторные работы к § 3 (1—2) . ,..','. . . . . . . . . . . . .191
Литература к гл. 3...................... 193
Глава 4. Численное дифференцирование и интегрирование функций 194
§ 1. Численное дифференцирование . . . . . ........... 194
пГ:1. Численное дифференцирование при помощи интерполяционного полинома Лагранжа (196). п. 2. Способ неопреде-,-.. ленных коэффициентов, (1Q8), п. 3. Разностные формулы численного дифференцирования (199). ..... .-.. ...... . .•-.. . •. .
§2. Численное интегрирование . . . ; . .............201
, п, L Формула трапеций и формула парабол (201). п, 1, Ис-
: . .следование погрешности (204); п. 3. формула Котеса (206). п. 4. Формула Чебышева (210). п. 5. Формула Гаусса (216). п. 6. Графическое интегрирование (223).
§ 3. Механические приборы для измерения длин дуг и площадей . 224
' п. 1. Планиметр Амйера (225).'п.1. Прецизионный1 дисковый полярный планиметр (228): п. 3. Интегриметр (229). п. 4; Измеритель длины дуги (курвиметр) (230). , ••• . .••
•••< Лабораторные работы к гл. 4 (1— 4)..............231
•Литература к гл. 4 . . , j ............ . ; -.-'. . - . 232
Г л а в а 5. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений......................233
§ 1. Аналитические методы приближенного решения задачи Коши 233
п. 1. Метод последовательных приближений (233). п. 2. Метод степенных рядов (236).
§ 2. Метод Эйлера решения задачи Коши............ 239
п. 1. Обыкновенный метод Эйлера (239). п. 2. Усовершенствованный метод Эйлера (243). п. 3. Усовершенствованный метод Эйлера—Коши (244).
§ 3. Метод Рунге—Кутта.................... 244
§ 4. Разностные методы решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений................252
п. i. Экстраполяционный метод Адамса (253). п. 2. Интерполяционный метод Адамса (257). п. 3. Применение разностных методов к решению задачи Коши для уравнений высших порядков (264).
§ 5. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Сведение к задаче Коши . ... . . . . ; .... 277
§ 6. Разностные методы решения краевых задач.........278
п. 1. Обыкновенный разностный метод (278). п. 2. Улучшенный разностный метод (280). п. 3. Многоточечный метод конечных разностей (284). п.; 4. О некоторых теоретических вопросах разностных методов (286).
§ 7. Метод возмущений (метод малого параметра) . . . . . . . . 292
§8. Метод разностной факторизации . . . . . . . . . . . . . . . 29б
Лабораторные работы к(гл. 5 (1—5)..............297
Литература к гл. 5 .... . . .......... . ... . . . 298
Г л а в а б. Вычислительные методы линейной алгебры . . . . . . .299
§ 1. Основные сведения из линейной алгебры . ... . . .... . . . 299
п. 1. Матрицы и определители (299). п. 2. Квадратичные формы (306). п. 3. Линейные нормированные пространства' (307).
§ 2. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений ...... . ..... . . . . . . . . . . . ; .317
п. 1. Введение (317). п. 2. Метод исключений (по схеме единственного деления) (323). п. 8. Метод простой итерации и метод Зейделя (327). п. 4. Вычисление обратной матрицы (339).
§ 3. Об одном общем методе последовательных приближений ... 344 § 4. Вычисление собственных ч#сел и собственных векторов матрицы 351 п. 1. Введение (351). п. 2. Метод Крылова (355).
§ 5. Оценка неустранимой погрешности при решении систем линейных алгебраических уравнений. Плохо обусловленные системы 365
Лабораторные работы к гл. 6 (1—$)..............370
Литература к гл. 6 ........... . .......... 373
Г л а в а 7. Методы математической физики, связанные с решением
: линейных алгебраических уравнений ........ . . . 374
§ 1. Метод сеток. Моделирование . . •,•;'•. . ; . ,; .' . . .... 374
п. 1. Введение (374), п. 2. Решение краевых задач для одномерного уравнения теплопроводности (377). • л. 3. Решение
краевых задач для двуыерного уравнения теплопроводности (384). п. 4. Решение краевых задач для одномерного волнового уравнения (386). п. 5. Решение первой краевой задачи для уравнений Лапласа и Пуассона. Моделирование (392). п. 6. Решение первой краевой задачи для уравнений Лапласа и Пуассона без сноса контурных условий (402). п. 7. Решение второй краевой задачи для уравнения Лапласа (405). п. 8. Решение задач о собственных значениях (408). п. 9. Конформное отображение многоугольников (410). п. 10. Понятие о решении краевых задач для бигар-монического уравнения (411).
Лабораторные работы к § 1 (1—2)...............414
Задача к $ I..............................415
§ 2. Метод Ритца и метод Бубнова — Галеркина и их применения . . 417
п. 1. Общие методы минимизаций (417). п. 2. Самосопряженные краевые задачи. Теоретические основы метода Ритца и метода Бубнова — Галеркина (421). п. 3. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (435). п. 4. Решение краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона (442). п. 5. Решение краевых задач для бигармонического уравнения (449). п. 6. Решение задач о собственных значениях и собственных функциях (452).
Лабораторные работы х § 2 (1—4)............... 461
§ 3. Понятие о приближенных методах решения интегральных
уравнений.........................464
п. 1. Введение (464). п. 2. Понятие о методе последовательных приближений (466). п. 3. Метод конечных разностей (478). п. 4. Методы, основанные на построении аппроксимирующих функций (480).
Лабораторные работы к § 3 (1—2)............... 484
Литература к гл. 7...................... 485
Приложение К. гл. 7....................... 487
Предметный указатель . . .. . . ..........508
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга написана в связи с введением в университетах курса «Математический практикум и техника работы на вычислительных машинах» и является первой попыткой создания учебного пособия по данной математической дисциплине для университетов.
Книга написана на основе опыта проведения занятий по математическому практикуму кафедрой математической физики и кафедрой вычислительной математики Киевского государственного университета, начиная с момента введения его в учебные планы университетов.
Цель книги — познакомить студентов с приближенными методами математики и научить их применению правил приближенных вычислений и использованию простейших счетных машин и приборов при решении математических задач.
Учитывая достаточный уровень математической культуры студентов университетов, мы значительное место отвели теоретическим вопросам приближенных методов математики и, в частности, приближенным методам решения задач математической физики.
Поскольку одной из основных форм изучения приближенных методов математики и техники работы на вычислительных машинах являются лабораторные работы, выполняемые студентами в часы по расписанию и в виде домашних заданий, мы при изложении теории подчеркивали те моменты, которые имеют принципиальное значение с точки зрения вычислительной стороны дела. Все теоретические положения иллюстрировались числовыми примерами с указанием рациональных вычислительных схем. В конце каждой главы приведены задания для самостоятельного выполнения в виде лабораторных работ. Число этих работ дано примерно в соответствии со временем, отведенным по учебному плану на математический практикум.
Все главы написаны в едином плане.
В начале каждой главы даются необходимые теоретические сведения, как правило, с полным доказательством соответствующих теорем и положений, даются числовые примеры, иллюстрирующие излагаемую теорию, и описываются рациональные вычислительные схемы.
Счетные машины и приборы описываются в ходе изложения теории там, где использование их для решения задач является наиболее
Цена: 300руб.
