Сборник вместе с другим учебным пособием 'тех же авторов : «Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и.. основы математического анализа» составлен в соответствии с новой' программой по высшей математике для Инженерно-технических специальностей вузов (объемом 510 часов).
Он содержит задачи по интегральному исчислению функци!| нескольких переменных, дифференциальным уравнениям, векторному анализу, основам теории функций комплексной переменной, рядам-, и их -применениям, 'включая ряды Фурье, и операционному исчислению. Краткие теоретические введения, снабженные большим количеством разобранных примеров, позволяют использовать сборник, для всех видов 'обучения. < > ч
Для студентов второго и более старших курсов инжеверно-техни-ческих специальностей вузов.
Рис. 49, табл. 5.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................ 7
Глава 8. Кратные интегралы ............... 9
§ 1, Двойной интеграл.................'». 9
1. Свойства двойного интеграла и его вычисление в да-картовых прямоугольных координатах (9). 2. Замена переменных в двойном интеграле (15). 3. Приложения двойных интегралов (19).
§ 2, Тройной интеграл.................„. 26
1. Тройной интеграл и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах (26). 2. Замена переменный в тройном интеграле (27). 3. Приложения тройных ин-' тегралов (30).-
§ 3. Несобственные кратные интегралы ............. 33
1. Интеграл по бесконечной области (33). 2. Интеграл от разрывной функции (34).
§ 4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра .... 36
1. Собственные интегралы, зависящие от параметра (36)'.
2. Несобственные интегралы, зависящие от -параметра (39).
ОТВЕТЫ............../......., . . . ,....... .. . 44
Глава 9. Дифференциальные уравнения .......... 50
§ 1. Уравнения 1-го порядка................ 50
1. Основные понятия (50). 2. Графический метод построения интегральных кривых (метод изоклин) Д52).
3. Уравнения с разделяющимися переменными' (53).
4. Однородные уравнения (55). 5. Линейные уравнения (57). 6. Уравнение Бернулли (60). 7. Уравнения в полных дифференциалах (61). 8. Теорема существования и, единственности решения. Особые решения (63). 9. Уравнения, не разрешенные, относительно Производной (64Х. 10. Смешанные задачи на дифференциальные уравнения 1-го порядка (67). 11. Геометрические и физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка (69).
§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков ..... 74 1. Основные понятия. Теорема Коши (74). 2. Уравнения* допускающие понижение порядка (76). 3. Линейные однородные уравнения . (83). 4. Линейные неоднородные уравнения (87). 5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами (90). 6. Линейные неодно-
3
родные уравнения с постоянными коэффициентами (92). 7. Дифференциальные уравнения Эйлера (96). 8. Краевые задачи в случае линейных дифференциальных уравнений (97). 9. Задачи физического характера (99). § 3, Системы дифференциальных уравнений ......... 101 й|
1. Основные понятия. Связь с дифференциальными уравнениями д-го порядка (101). 2. Методы интегрирования нормальных систем (104). 3. Физический смысл нормальной системы (107). 4. Линейные однородные системы (108). 5. Линейные неоднородные системы (113).
§ 4. Элементы теории устойчивости............. 117
1. Основные понятия (117). 2. Простейшие типы точек покоя (120). 3. Метод функций Ляпунова (122). 4. УстОйчи-• вость по первому приближению (123). § 5. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений ..................... 125
1. Задача Коши (125). 2. Краевая задача для линейного уравнения (133). ОТВЕТЫ...............,... .................. 134
Глава 10. Векторный анализ ............... 151
§ 1. Скалярные и векторные поля. Градиент. ........ 151
1.; Геометрические характеристики скалярных и векторных полей (151). 2. Производная по направлению и градиент скалярного поля (152).
§ 2. Криволинейные я поверхностные интегралы...... 154
1. Криволинейный интеграл 1-го рода (154). 2; Поверхностный интеграл 1-го рода (155). 3. Криволинейный интеграл 2-го рода (158). 4. Поверхностный-интеграл 2-го рода
(Щ-
§ 3. Соотношения между различными характеристиками скалярных и векторных полей ."............. 165
1. Дивергенция векторного, поля и-теорема Гаусса—Остроградского (165). 2. Вихрь йекторного поля. Теорема ' ; . Стокса (166). 3; Оператор Гамильтона и его применение (169). 4. Дифференциальные операции 2-го порядка (171). § 4. Специальные виды векторных полей ... . . . ... . . 171 ,^
1. Потенциальное векторное поле (171). 2. Соленоидаль- "•;<
ное поле (174). 3. Лапласово (или гармоническое) поле '••'$
(175). • J
§ 5, Применение криволинейных координат в векторном ана- ,j
дизе......................... 1771
1. Криволинейные координаты. Основные соотношения $ (177). 2. Дифференциальные операции векторного анализа 1 в криволинейных .координатах (179). 3. Центральные, осе- > вые и осесимметрические скалярные поля (180). ОТВЕТЫ ...:........................I;. . j . .- 181
Глава И. Основные понятия теории функций комплексной
переменной.................. 186
- § I. Элементарные функции-. ..........'....".. ;
1. .Понятие функции комплексной переменной (186). 2. Прет __.• дел и непрерывность функции, комплексной переменной. Элементарные функции (188).
§ 2 Аналитические функции. Условие Коши — Рямана ... 191 1. Производная. Аналитичность функции (191). 2. Свойства аналитических функций (194).
§ 3. Конформные отображения ............... 196
1. Геометрический смысл модуля и аргумента производной (196). 2. Конформные отображения. Линейная и дробно-линейная функции (197). 3. Степенная функция (202). 4. Функция Жуковского (204). 5. Показательная функция (206). 6. Тригонометрические и гиперболические функции (208).
§ 4. Интеграл от функции комплексной переменной.......208
1. Интеграл по кривой и его вычисление (208). 2. Теорема Коши. Интегральная формула Коши (210).
ОТВЕТЫ ......_. • •................•........ 214
Глава 12. Ряды и их применение............. 223
§ 1. Числовые ряды.......,............ , 223
1. Сходимость ряда. Критерий Коши (223). 2. Абсолютная и условная сходимость. Признаки абсолютной сходимости (226). 3. Признаки условной сходимости (232).
§ 2. Функциональные ряды . . . . ~т ..._...,...., 235
1. Область сходимости функционального ряда (235).
2. Равномерная сходимость (237)., 3. Свойства равномерно сходящихся рядов (240).
§ 3. Степенные ряды . '. . . ................. 241
1. Область сходимости и свойства степенных рядов (241).
2. Разложение функций в ряд Тейлора (244). 3. Теорема единственности. Аналитическое продолжение (250).
§ 4. Применение степенных рядов............ . 252
1. Вычисление значений функций (252). 2. Интегрирование функций (254). 3. Нахождение сумм числовых рядов. Убыстрение сходимости (256). 4. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов (259). 5. Уравнение и функции Бесселя (263).
§ 5. Ряды Лорана..................... 264
1. Ряды Лорана. Теорема Лорана (264). 2. Характер изо-лированных особых точек (268).
§ 6. Вычеты и их применение................ 270
1. Вычет функции и его вычисление (270). 2. Теоремы о вычетах и их применение к вычислению контурных интегралов (272). 3. Применение вычетов к вычислению определенных интегралов (274). 4. Принцип аргумента (277).
§ 7. Ряды Фурье. Интеграл Фурье ............. 278
1. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье (278). 2. Двойные ряды Фурье (281). 3. Интеграл Фурье (283). 4. Спектральные характеристики ряда и интеграла Фурье (286). 5. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) (288). . - ,
ОТВЕТЫ................................... 290
Глава 13. Операционное исчисление........... 319
§ 1. Преобразование Лапласа................ 319
1. Определение в свойства преобразования Лапласа (319).
2. Расширение класса оригиналов (327).
5
§ 2. Формула обращения. Теоремы разложения ....... 328 J
§ 3, Применение операционного исчисления" к решению диффе- ^
ренциальных уравнений........ , . ...... 832 |
1. Решение линейных дифференциальных уравнений и си- -стем уравнений с постоянными коэффициентами (332). ,i
2. Расчет электрических контуров (337). 3. Интегрирова- j ние линейных уравнений в частных производных (339). ;,
§ 4, Импульсные функции...........•......, 341 J.
1. Импульсная функция 1-го порядка &(t) (341). 2. Им- | пульсная функция ?-го порядка 6^(0. (342). 3. Изображения импульсных функций я их применение (343).
§ 5. Приложения операционного исчисления к решению интегральных и ннтегро-дифференциальных уравнений, вычислению несобственных интегралов и суммированию рядов 344 1. Решение линейных интегральных и интегро-дифферен- :
циальных уравнений (344). 2. Вычисление несобственных интегралов (345). 3. Суммирование рядо* (349). '
§ в. Дискретное преобразование Лапласа и его применение 350 , 1. Z-преобраэование и дискретное преобразование .Лапласа (350). 2. Решение разностных уравнений (356).
ОТВЕТЫ................................. 360
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вторая часть «Сборника задач по математике для втузов» содержит такие математические разделы» вак интегральное исчисление функций многих переменных, векторный анализ, дифференциальные уравнения, основные понятия теории функций комплексной переменной* числовые и функциональные ряды и их применение, операционное исчисление. Предлагаемый в задачнике материал содержит соответствующие разделы программы по курсу высшей математики, утверждённой Минвузом СССР в мае 1979 г.
Как и в первой части, каждый параграф начинается с краткого теоретического введения. Задачам, предлагаемым для самостоятельного решения, предшествуют подробно разобранные примеры. Ко всем 'вычислительным задачам даны ответы; для задач, отмеченных одной или двумя звездочками, приведены соответственно указания к решению или решения.
Особенностью настоящего сборника является включение "в него задач, требующих в процессе решения использования ЭВМ; эти задачи приводятся в соответствующих разделах. Далее, теория общих функциональных и степенных рядов излагается с использованием теории функций комплексной переменной. Такой подход, на наш взгляд, позволяет лучше понять свойства степенных рядов, представление функций степенными рядами. Для тех втузов, в которых изложение теории рядов ведется отдельно в действительной и комплексной областях, в соответствующих пунктах § 2 гл. 12 приводятся сначала задачи на ряды с функциями действительной переменной, а в задачах § 3 переменную г можно считать действительной, т. е. положить г — х.
Как и в первой части, начало решений разобранных примеров 'отмечается знаком^, конец решения—знаком >., начало указаний к задачам—зйаком •.
Цена: 150руб.
