СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ............................. 7
Предисловие к третьему изданию................... 7
Введение............................... 9
1. Предмет теории аналитических функций (9). 2. Аналитические функции комплексного переменного (10).
Глава I Комплексные числа и их геометрическое представление
1. Геометрическое представление комплексных чисел на плоскости (13). 2. Операции над комплексными числами (15). 3. Предел последовательности (17). 4. Бесконечность и стереографическая проекция (18). 5. Множества точек на плоскости (21).
Глава И
Функции комплексного переменного. Производная и ее геометрический и гидромеханический смысл
1. Функция комплексного переменного (25). 2. Предел функции в точке (26). 3. Непрерывность (27). 4. Непрерывная кривая (29). 5. Производная и дифференциал (32). 6. Правила дифференцирования (33). 7. Необходимые и достаточные условия дифференцируемое™ во внутренней точке области (35). 8. Геометрический смысл аргумента производной (41). 9. Геометрический смысл модуля производной (43). 10. Пример,: линейная и дробно-линейная функции (44). 11. Угол с вершиной в бесконечно удаленной точке (46). 12. Понятие о квазиконформных отображениях (47). 13. Гармонические и сопряженные гармонические функции (49). 14. Гидромеханическое истолкование аналитической функции (53). 15. Примеры (58).
Глава HI
Элементарные аналитические функции и соответствующие конформные отображения
1. Многочлен (60). 2. Точки, в которых конформность отображения нарушается (61). 3. Отображение вида w—(z—a)" (62). 4. Групповые свойства дробно-линейных преобразований (65). 5. Круговое свойство (68). 6. Инвариантность двойного отношения (71). 7, Отображение областей, ограниченных прямыми или окружностями (77). 8. Симметрия и ее сохранение (79). 9. Примеры (82). 10. Функция Жуковского (85). 11. Определение показательной функции (90). 12. Отображение посредством показательной функции (92). 13. Тригонометрические функции (97). 14. Геометрическое поведение (102). 15. Продолжение (105). 16. Однозначные ветви многозначных функций (107). 17. Функция ю*»>/г. (109). 18. Функция u»==j/P(z) (114). 19. Логарифм (118). 20. Общие степенная и показательная, функции (123). 21. Обратные тригонометрические функции (129).
Глава IV Ряды е комплексными членами. Степенные ряды
• 1. Сходящиеся и расходящиеся ряды (133). 2. Теорема Коши — Ада-мара (135). 3. Аналитичность суммы степенного ряда (137). 4. Равномерная сходимость (140).
Глава V
Интегрирование функций комплексного переменного 1. Интеграл от функций комплексного переменного (142). 2 Свойства интегралов (144). 3. Сведение к вычислению обыкновенного интеграла (146). 4. Интегральная теорема Коши (147). 5. Продолжение доказательства (\5>\). 6. .Применение к вычислению определенных интегралов (153). 7. Интеграл и первообразная (162). 8. Обобщение интегральной теоремы Коши на случай, когда функция не является аналитической на контуре интегрирования (164). 9. Теорема о составном контуре (165). 10. Интеграл как функция точки в многосвязной области (168).
Глава VI . . . . . Интегральная формула Коши и ее следствия
1. Интегральная формула Коши (172). 2. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Теорема Лиувилля (174). 3. Бесконечная диф-ференцируемость аналитических и гармонических функций (177). 4. Замена переменной под знаком интеграла (180). 5. Теорема Морера (181). 6. Тео рема' Веяерштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функ ций'(183). 7. Принцип компактности (186). 8. Теорема единственности
Теорема Витали (191). 9. Интеграл как функция параметра (195).
10. Л-точки и, в частности, нули (198). 11. Ряд степенных рядов (199). 12. Подстановка ряда в ряд (202). 13. Деление степенных рядов (205).
14. Разложение в степенные ряды функций ctgz, tg г, esc г н sec z (211).
15. Разложение гармонических функций в ряд. Интеграл Пуассона и формула Шварца (213). 16. Аналитические функции многих комплексных переменных (218).
Глава VII
Ряд Лорана. Изолированные особые точки
однозначного характера. Целые и мероморфные функции
1. -Ряд Лорана (223). 2. Теорема Лорана (226). 3. Изолированные особые точки однозначного характера (229). 4. Теорема СохоцкОго — Вейерштрасса (234). 5. Особые точки производных и рациональных комбинации аналитических функций (239). 6. Случай бесконечно удаленной точки (242). 7. Целые и мероморфные функции (243). 8. Теорема Миттаг-Леффлера (247). 9. Разложение целой функции в произведение (249). 10. Гамма-функция (255).
11. Интегральное представление гамма-функции (260). 12. Порядок и тип целой функции (263). 13. Формула Иенсена (264). 14. Первая основная теорема теории мероморфных функций (Р. Неванлинна) (267).
Глава VIII Вычеты и их приложения. Принцип аргумента
1.'Теорема о вычетах и ее применение к вычислению определенных интегралов (271). 2. Принцип аргумента и его следствия (277)1 3. Вычет относительно бесконечно удаленной точки (283). 4. Применение теоремы о вычетах к разложению мероморфных функций на простейшие дроби' (285). 5. Разложение sec z, ctgz, esc 2 и tg z на простейшие дроби (290).
Глава IX
Аналитическое продолжение. Понятие римановой поверхности. Особые точки
1. Задача : аналитического продолжения (298). 2. Непосредственное аналитическое продолжение (301). 3. Построение аналитической функции по ее элементам (303). 4. Построение римановой поверхности (304). 5. Принцип симметрии Римана — Шварца (307). 6. Особые точки на границе круга сходимости степенного ряда (311). 7. Критерий для обнаружения особых точек (315). 8. Определение радиуса сходимости степенного ряда по известному расположению особы* точек функции (319). 9. Изолированные; особые точки многозначного характера (322).
ГлаваХ
Отображение чюсредсттпи аналитических функций.
Понятие чХ эллиптических функциях.
•Феригуаа Хрнстоффеэнг—• Шварцв
1. Отображение области посредством аналитической функции (328). 2. Принцип максимума модуля и лемма Шварца (329). 3. Локальный критерий однолистности (331). 4. Обращение аналитической функции (333).. 5. Распространение понятия однолистности на случай функций, имеющих полюсы (337). 6. Теорема Римана. Единственность отображения (338). 7. Понятие о соответствии границ. 'Обратная теорема (344). 8. Отображение верхней полуплоскости посредством эллиптичесяагв интеграла (351). 9. Понятие об эллиптической фуишдаи Яюзби snw <356). Ю. Интеграл Христоффеля— Шварца (360). 11. Обтекание кругового цилиндра (без циркуляции) (368).
12. Гидромеханическое истолкование простейших особых точек (370).
13. Общее решение задачи об обтекании кругового цилиндра (374). 14. Определение подъемной силы крыла аэроплана (378).
Литература для дальнейшего изучения............... . 382
Предметный указатель........................384
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга представляет собой учебник теории аналитияееких функций в объеме, предусмотренном программой физнко-матемаг тических факультетов- университетов.. Многочисленные примеры, служащие для иллюстрации общих положений1 и методов, напечатаны здесь петитом. Петитом же напечатаны» некоторые (ввро-чем, немногие) вопросы и детали, дополняющие основной курс. Читателя, желающего углубить свои незнания в этой области, автор отсылает к монографиям, список которых приведен в книге.
При подготовке настоящего учебника автор широко пользовался своей книгой «Теория аналитических фувдщий» (Гоегех-издат, 1950).
Автор
Цена: 150руб.
