ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
В этом издании том III разделен на две части. Настоящая вторая часть содержит материал прежнего III тома, начиная с главы, посвященной основам теории функций комплексного переменного. В нее внесено изменение в изложении неко-торых вопросов и добавлен новый материал. Этот новый материал касается главным образом исследования интегралов типа Коши и приближенного вычисления интегралов по методу скорейшего спуска.
В последнем вопросе существенную помощь при изложении мне оказал профессор Г. И. Петрашень, за что я приношу ему большую благодарность.
Ссылки на первую часть третьего тома указываются, например, так: [JIIj, 44].
1 июня 1949 г. * - ..
В. Смирнов
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА I
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
%
1. Функция комплексного переменного (7). 2. Производная (13). 3. Конформное преобразование (19). 4. Интеграл (22). 5. Теорема Коши (24). 6. Основная формула интегрального исчисления (27).
• 7. Формула Коши (30). 8. Интегралы типа Коши (36). 9. Следствия формулы Коши (39). 10. Изолированные особые точки (40). 11. Бесконечные ряды с комплексными членами (43). 12. Теорема Вейер-штрасса (46). 13. Степенные ряды (49). 14. Ряд Тэйлора (51). 15.. ,Ряд Лорана (54). 16. Примеры (57). 17. Изолированные особые точки. Бесконечно далекая точка (62). 18. Аналитическое продолжение (65). 19. Примеры многозначных функций (73). 20. Особые, точки аналитических функций и римановы поверхности (81). 21. Теорема вычетов (85). 22. Теоремы о числе корней (87). 23. Обращение степенного ряда (92). 24. Принцип симметрии (95). 25. Ряд Тэйлора на окружности круга сходимости (99). 26. Главное значение интеграла (102)^. 27. Главное значение интеграла (продолжение) (103). 28. Интегралы типа Коши (111).
, * Г ЛАВА II
КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ
29. Конформное преобразование (117). 30. Линейное преобразование (120). 31. Дробно-линейное преобразование (122). 32. Функция w — i? (132).
"'•' k I 1 \ 33. Функция w = -я- (г + —Л (133). 84. Двуугольник и полоса (136).
35. Основная теорема (139). 36. Формула Кристоффеля (142). 37. Частные случаи (149). 38. Случай внешности многоугольника (152). 39. Мини-
• мальное свойство преобразования на круг (155). 40. Способ сопряженных тригонометрических рядов (158). 41. Плоское установившееся течение жидкости (165).* 42. Пример»/(167). 43. Задача полного обтекания (171). 44. Формула Н. Е. Жуковского (172). 45. Плоска! электростатическая задача (174). 46. Примеры (177). 47. Плоское магнитное
поле ХШ). 48. Формула Шварца (182). 49. Ядро ctg-~^ (184).
ОГЛАВЛЕНИЕ
50. Предельные задачи (189). 51. Бигармоническое уравнение (193). 52. Волновое уравнение и аналитические функции (196). 53. Основная теорема (198). 54. Диффракция плоской волны (204). 55. Отражение упругих волн от прямолинейной границы (209).
ГЛАВА III
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ, ЦЕЛЫЕ И ДРОБНЫЕ ФУНКЦИИ
56. Интеграл Френеля (215). 57. Интегрирование выражений с тригонометрическими функциями (217). 58. Интегрирование рациональной дроби (219). 59. Некоторые новые типы интегралов с тригонометри--ческими функциями (221). 60. Лемма Жордана (224). 61. Представление некоторых функций контурными интегралами (226). 62. Примеры интегралов от многозначных функций (230). 63. Интегрирование- системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами (234). 64. Разложение дробной функции на простейшие дроби (240). 65. Функция ctg г (244). 66. Построение мероморфной функции (246). 67. Целые функции (248). 68. Бесконечные произведения (250). 69. Построение целой функции по ее корням (253). 70. Интегралы, зависящие от параметра (257). 71. Эйлеров интеграл второго рода (260). 72. Эйлеров интеграл первого рода (265). 73. Бесконечное произведение для функции [Г(г)]-1 (266). 74. Представление Г (г) контурным интегралом (272). 75. Формулу Стирлинга (275). 76. Формула суммирования Эйлера (281). 77. Числа Бернулли (284). 78. Метод скорейшего спуска (285). 79. Выделение главной части интеграла (288). 80. Примеры (295).
ГЛАВА, IV ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ И ФУНКЦИИ МАТРИЦ
81. Регулярные функции многих беременных (305). 82» Двойной интеграл и формула Коши (305). 83. Степенные ряды (308). 84. Аналитическое продолжение (314). 85. Функции матрац. Предварительны*, понятия (315). 86. Степенные ряды от одной матрицы (316). 87. Умий^ жение степенных рядов. Обращение степенного ряда (320). 88. Даль** нейщее исследование сходимости (323). 89. Интерполяционные пол»».' номы (328). 80. Тождество Кейли. и формула Сильвестера (330), 91. Аналитическое продолжение (332). 92. Примеры многозначных,: функций (335). 93. Системы линейных уравнений с постоянными коэф-| фициентами (338). 94. Функции нескольких,матриц (343). ^.ч':|
^ ' ' .ГЛАВА V >* ^
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
95. Разложение решения в степенной ряд4 (3*7). 96, Аналитическое продолжение решения (351). 97. Окрестность особой #>чки (353). 98. Регулярная особая точка (353). 99. Уравнения naaccj Фукса (355).
ОГЛАВЛЕНИЕ
100. Уравнение Гаусса (369). 101. Гипергеометрический рад (371). 102. Полиномы Лежандра (376). 103. Полиномы Якобн (382). 104. Конформное преобразование и уравнение Гаусса (386). 105. Иррегулярные особые точки (391). 106. Асимптотические разложения (394). 107. Преобразование Лапласа (ЗЭ7). 108. Различный выбор решений (ЗЭЭ). 109. Асимптотическое представление решений (403). НО. Сравнение полученных результатов (409). 111. Уравнение Бесселя (410). 112. Функции Ханкеля (414). 113. Функции Бесселя (419). 114. Преобразование Лапласа в более общих случаях (420). 115. Обобщенные полиномы Лагерра (422). 116. Положительные значения параметра (426). 117. Вырождение уравнения Гаусса (427). 118. Уравнения с периодическими коэффициентами (430). 119. Случай аналитических коэффициентов (436). 120. Системы линейных дифференциальных уравнений (437). 121. Регулярная особая точка (440). 122. Регулярные системы (443). 123. Представление решения в окрестности особой точки (449). 124. Канонические решения (452). 125. Связь с регулярными решениями типа Фукса (455). 126. Случай любых Us (453). 127. Разложение вблизи иррегулярной особой точки (460). 128. Разложения в равномерно сходящиеся ряды (459).
ГЛАВА VI
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ § 1. Сферические функции и функции Лежандра.............4-77
С ^jti|
129» Определение сферических функций (477), 130, Явные выражения сферических функций (480). 131. Свойство ортогональности (433). 132. Полиномы Лежандра (487): 133. Разложение по сферняодшм функциям (4д2). 134. Доказательствра^ходимости (493). 135. СвяэдПгфе-рически! функций с предельными задачами (493),. Л36. Задачи Дирихле и Неймана (500). 137. Потенциал объемных масе (ВОЗ). 138. Потенциал сферического слоя (505). 139, Электрон в Центральном поле (508). 140. Шаровые функции и линейные представления группы враще-^ ния (510). 141. Функция Лежандра (512). 142. Функция Лежандра второго рода (514). . ,' *
§ 2. Функции Бесселя................................519'
143. Определение функций Бесеёля (519). 144. Соотношения между функциями Бессела (521). 145. Ортогональность функций Бесселя них корня (524). 146. Производящая функция и интегральное представление (520). 147. Формула Фурье —Бесселя (533). 148. Функции Ханкеля и Неймана (534). 149. Разложение функдий||реймана с целым значком (540). 150. Случай чисто мнимого аргумента (512). 151. Интегральч ные представления (544). 152. Асимптотические разложения (546). 153, Функции Бесселя и уравнение Лапласа (555). 154. Волновое уравнение в цилиндрических ^оордшата* (557). 155. Валовое уравнвре в c^ifcrtttSkHx к*Шлинатах ffiSOV. * л*
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3, Полиномы Эрмита и Лагерра........................ 564
156. Линейный осциллятор и полиномы Эрмита (534). 157. Свойство ортогональности (557). 158. Производящая функция (558). 159. Параболические координаты и функции Эрмита (570). 160. Полиномы Лагерра (573). 161. Связь полиномов Эрмита и Лагерра (576). 162. Асимптотическое выражение полиномов Эрмита (577). 163. Асимптотическое выражение полиномов Лежандра (380). § 4. Эллиптические интегралы и эллиптические функции........584
164. Приведение эллиптических интегралов к нормальному виду (584).
165. Приведение интегралов к тригонометрической форме (587).
166. Примеры (591). 167. Обращение эллиптического интеграла (593). 168. Общие свойства эллиптических функций (597). 169. Основная лемма (601). 170,Функция Вейерштрасса (603). 171. Дифференциальное уравнение. для-f (а) (608).172. Функции sft (и) (610). 173. Разложение целой периодической функции (613). 174. Новые обозначения (615).175. Функция &t (и) (616). 176. Функции dft (v) (619). 177. Свойства функций тэта (622). 178. Выра-
.жение чисел вц через §s (625). 179. Эллиптические функции Якоби (628). 180. Основные свойства функций Якоби (629). 181. Дифференциальные уравнения для функций Якоби (631). 182. Формулы сложения (632). 183. Связь функций ч (и) и en-(и) (634). 184. Эллиптические координаты (636). 185. Введение эллиптических функций (637). 186. Уравнение Лямэ (639). 187. Простой маятник (640). 188. Пример конформного преобразования (643). •
ДОБАВЛЕНИЕ 4 ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
189. Вспомогательные предложения (645). 190. Случай * простых корней (651). 191. Первый этап преобразований в случае кратных корней (653). 192. Приведение к канонической форме (657). 193. Определение структуры канонической формы (663). 194. Пример (686).
Цена: 300руб.
