П 56 Знакомство с высшей математикой. Анализ бесконечно малых. — М.: Наука, 1980.— 256 с. — 45 к.
Книга посвящена изложению некоторых вопросов математиче-ского анализа. Хотя изложение в ней не является легким, она задумана как книга, доступная молодым читателям, увлекающимся математикой. Ее .характерной чертой является одновременное изложение теории функций действительного и комплексного переменного.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..... ............
Введение ...... ............. 7
Глава I. Ряды ................. 20
§ 1. Сходящиеся последовательности чисел ..... 24
§ 2. Бесконечно малые величины ......... 37
§ 3. Условия сходимости Коши .......... 43
§ 4. Применение признака сходимости Коши ..... 57
§ 5. Сходящиеся ряды ...... ....... 65
§ 6. Абсолютно сходящиеся ряды ......... 72
§ 7. Функция ехр(г) .............. 80
§ 8. Основные трансцендентные функции -. ..... 91
§ 9. Степенные ряды . . . . • ......... 98
Глава II. Дифференциальное исчисление . . ..... 103
§ 10. Производная ............... 109
§ 11. Вычисление производных ....... .... 123
§ 12. Неопределенный интеграл . „ ........ 132
§ 13. Вычисление некоторых неопределенных интегралов 141 § 14. Определенный интеграл ........... 149
§ 15. Ряд Тейлора ................ 159
Глава III. Интегральное исчисление . . . ...... 171
§ 16. Определенный интеграл как площадь ...... 171
§ 17. Определенный интеграл как предел последовательно-
сти конечных сумм ............. 177
§ 18. Площадь и длина графика .......... 192
§ 19. Длина параметрически заданной линии ..... 197
Глава IV. Аналитические функции .......... 206
§ 20. Интегрирование функций комплексного переменного 206 § 21. Теорема Коши ............... 218
§ 22. Ряды Тейлора и Лорана ........... 231
§ 23. Вычеты ........... ...... 241
§ 24. Нахождение обратной функции . . ; ..... 247
§ 25. Целые функции и особые точки ........ 253
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книжка является второй из серш четырех небольших сравнительно- популярных книг издаваемых мною под общим заглавием «Знакомстве с высшей математикой». Первая книжка «Метод ко ординат» уже вышла в 1977 году. Эта вторая книжкг посвящена изложению основных фактов математиче ского анализа.
Изложение ведется так, чтобы всюду, где это возможно, одновременно рассматривать как действительный, так и комплексный случай. В первую очередь это относится к определению сходимости последовательностей и рядов, в частности степенных рядов. Точно так же определение производной дается одновременно для функций действительного и комплексного переменного, так как формально оно одинаково для обоих случаев. Понятие первообразной функции определяется одинаково как для функции действительного переменного, так и для функции комплексного переменного. Одновременно доказывается единственность первообразной с точностью до постоянного слагаемого. Такой способ изложения дает, возможность сравнительно легко включить в книгу основные результаты теории функций комплексного переменного, что составляет ее четвертую главу. Эта глава является важнейшей завершающей частью книги и доведена до таких сравнительно сложных результатов, как ряд Лорана и поведение функции вблизи изолированной особой точки.
Те вопросы анализа, которые составляют так на-зываемую теорию функций действительного переменного, я стараюсь отодвинуть на задний план, считая их наименее интересными. Я не свел их вместе, а 4
разбросал по всей книжке, излагая там, где в них возникает необходимость.
Центральное место в первой главе занимает изучение функции exp (z) комплексного переменного г, которая задается степенным рядом
Доказывается, что при действительном значении z = х мы имеем равенство
а для чисто мнимого значения г = iy имеется формула
exp (iy) = cosy + i sin у.
Таким образом, не пользуясь дифференциальным исчислением, мы сразу получаем разложение основных трансцендентных функций ех, cosy, sin у в степенные ряды.
Нужно обратить внимание на следующее обстоятельство. Когда мы доказываем, что некоторая как-либо заданная функция разлагается в степенной ряд, то для этого достаточно доказать, что ряд сходится к некоторому определенному числу — значению функции. Если же мы хотим определить саму функции) при помощи ряда (см. (1)), то для этого нужно доказать, что ряд сходится, для чего необходимо использовать признак сходимости Коши и дать точное определение числа. Весь этот аппарат излагается в первой главе.
Глава II посвящена изложению основных результатов дифференциального исчисления. Прежде всего определяется производная одновременно как для функции действительного переменного, так и для функции комплексного переменного и вводится понятие интегрирования как операции, обратной к операции дифференцирования. Завершением главы является доказательство формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
Глава III посвящена интегральному исчислению. В ней интеграл определяется сперва интуитивно, как величина площади, ограниченной графиком, и доказывается, что так определенный интеграл является первообразной для функции, задающей график.
Цена: 150руб.
