В настоящей книге рассматриваются краевые задачи теории аналитических функций и дифференциальных уравнений эллиптического типа и их приложения к особым (сингулярным) интегральным уравнениям с ядрами Коши, Гильберта, степенными, логарифмическими и некоторыми другими. Изложение ограничивается линейными задачами для одной неизвестной функции.
В настоящем издании книга значительно дополнена. Заново написан ряд новых параграфов. Дополнения ориентированы на новые работы, появившиеся за время между вторым и третьим изданиями.
Илл. 18, библ. 366.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию................... 9
Из предисловия к первому изданию.................. 11
Введение............^.................. '3
Глава I. Интеграл типа Коши................... 15
§ 1. Определение интеграла типа Коши и примеры........ 15
§ 2. Функции, удовлетворяющие условию Гёльдера........ 19
2.1. Определения и свойства (19). 2.2. Функции многих переменных. (21).
§ 3. Главное значение интеграла типа Коши........... 22
3.1. Несобственный интеграл (22), 3.2. Главное значение особого интеграла (23). 3.3. О многозначных функциях (24). 3.4. Главное значение особого криволинейного интеграла (27). 3.5. Свойства особого интеграла (30). § 4. Предельные значения интеграла типа Коши. Интегралы по действительной оси....................... 33
4.1. Основная лемма (33). 4.2. Формулы Сохоцкого (37). 4.3. Условие того, что произвольная комплексная функция есть краевое значение аналитической в области функции (39). 4.4. Предельные значения производных. Производные предельных значений и дифференцирование особого интеграла (42). 4.5. Формулы Сохоцкого для угловых точек контура (44). 4.6. Интегралы типа Коши по действительной оси (44). 4.7. Формулы Коши (49). § 5. Свойства предельных значений интеграла типа Коши..... 52
5.1. Предельные значения удовлетворяют условию Гёльдера (52).
5.2. Расширение предположений (55). 5.3. Интеграл типа Коши в классах Lp (57).
§ 6. Формулы Гильберта для предельных значений действительной
и мнимой частей аналитической функции........... 58
6,1. Ядро Коши и ядро Шварца (58). 6.2. Формулы Гильберта (59).
§ 7. Перестановка порядка интегрирования в повторном особом
интеграле.......................... 60
7.1. Случай, когда один интеграл обыкновенный (60). 7.2. Формула перестановки (62). 7.3. Обращение особого интеграла с ядром Коши для замкнутого контура (651.
§ 8 Поведение интеграла типа Коши на концах контура интегрирования и в точках разрыва плотности............ 66
8.1. Случай плотности, удовлетворяющей условию Гёльдера вплоть до концов (66). 8.2. Случай разрыва первого рода (67). 8.3. Частный случай особенности степенного .характера (68). 8.4. Общий случай особенности степенного порядка (72). 8.5. Особенность логарифмического типа (74). 8.6. Особенность степенно-логарифмического типа (75). 8.7. Интеграл типа Коши по сложному контуру (76).
§ 9. Предельные значения обобщенных интегралов и двойных интегралов типа Коши...................... 78
9.1. Постановка вопроса (78). 9.2. Формулы, аналогичные формулам Сохоцкого для интеграла типа Коши (78). 9.3. Формула перестановки по-
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
рядка интегрирования (80). 9.4. Кратные интегралы типа Коши. Постановка вопроса (81). 9.5, Особый двойной интеграл. Формула Пуанкаре — Бертрана (81). Формулы Сохоцкого (82).
§ 10. Интеграл типа Коши и потенциалы............. 84
§11. Исторические сведения.................... 86
Задачи к главе I......................... 87
Глава II. Краевая задача Римана................. 95
§ 12. Некоторые вспомогательные теоремы............. 95
12.1. Принцип непрерывности. Продолжение по симметрии (95). 12.2. Принцип аргумента. Обобщенная теорема Лиувилля (99).
§ 13. Индекс...........................101
13.1. Определение и основные свойства (101). 13.2. Вычисление индекса (102). 13.3. Частичные индексы функции двух переменных (105).
§ 14. Задача Римана для односвязной области...........106
14.1. Постановка задачи (106). 14.2. Отыскание кусочно-аналитической функции по заданному скачку (106). 14.3. Каноническая функция (107). 14.4. Решение однородной задачи (109). 14.5. Решение неоднородной задачи (111). 14.6. Примеры (113). 14.7. Задача Римана для полуплоскости (118). 14.8. Двумерная задача о скачке (121). 14.9. Постановка задачи Римана для бицилиндрических областей (123). 14.10. Некоторые результаты, относящиеся к многомерной задаче Римана (129).
§ 15. Исключительные случаи задачи Римана............130
15.1. Однородная задача (131). 15.2. Неоднородная задача (133). 15.3. О корректности постановки краевой задачи Римана (138).
§ 16. Задача Римана для многосвязной области. Некоторые новые результаты ..........................139
16.1. Постановка задачи (139). 16.2. Решение задачи (141). 16.3. Некоторые другие результаты (144).
§ 17. Краевая задача Римана со сдвигом..............146
17.1. Постановка задачи и общие замечания (146). 17.2. Задача с нулевым скачком (147). 17.3. Задача с заданным скачком (150). 17.4. Однородная задача с нулевым индексом (152). 17.5. О сведении задачи со сдвигом к обыкновенной задаче Римана (153).
§ 18. Другие обобщенные задачи..................157
18.1. Постановка задач (157). 18.2. Краевая задача Гильберта со сдвигом (158). 18.3. Краевая задача Карлемана (163).
§ 19. Исторические сведения...................166
Задачи к главе II.........................167
Глава III. Особые интегральные уравнения с ядром Коши.....171
§ 20. Основные понятия и обозначения...............171
20.1. Особое интегральное уравнение (171). 20.2. Основные результаты теории интегральных уравнений Фредгольма (173).
§ 21. Характеристическое уравнение................176
21.1. Сведение к краевой задаче Римана (176). 21.2. Решение характеристического уравнения (178). 21.3. Решение уравнения, союзного характеристическому (181). 21.4. Примеры (182). 21.5. Полные особые уравнения, разрешаемые в замкнутой форме (183). 21.6. Уравнение на действительной оси. Исчезающие на бесконечности решения (188). 21.7. Уравнение на действительной оси. Решение в классе ограниченных на бесконечности функций (190). 21.8. Случай а (°°)=^0 (191). 21.9. Случай а (°о)е=0 (192). 21.10 Уравнение, аналогичное характеристическому (194). 21.11. Приближенное решение (194). 21.12. Поведение решения в угловых точках (IC6).
§ 22. Регуляризация полного уравнения .............. 198
22.1. Композиция особых операторов (198). 22.2. Регуляризующий оператор (201). 22.3. Способы регуляризации (203). 22.4. Связь между решениями особого и регуляризованного уравнений (204).
ОГЛАВЛЕНИЕ
te^^r^erP^-^-^^ПрЖр'Шб).
Рия (способ Карлсм.на В у . итегральных уравнении . . .
s 25 Исключительные случаи осооы ^ 25 2 регуляризация
§ *л. р«-««^s:KSffir5S?"S°«SS^ ^--н«Гн^=^
25.1. Решение х
полного уравнения (244). 25.3. О сведении исклюи
бых интегральных уравнений с ядром Коши к уравнениям нормального
типа (246). 25.4. Вырожденные случаи (249).
§ 26. Исторические сведения . . .ч.................257
Задачи к главе III.........................259
Глава IV. Краевая задача Гильберта и особые интегральные уравнения с ядром Гильберта................264
§ 27. Постановка задачи Гильберта и некоторые вспомогательные
формулы...........................264
27.1. Постановка задачи Гильберта (264). 27.2. Оператор Шварца для одно-связной области (265). 27.3. Определение аналитической функции, имеющей полюс, по значениям ее действительной части на контуре (задача А) (269). 27.4. Обобщенная задача А0 (271).
§ 28. Регуляризующпй множитель.................273
28.1. Определение регуляризующего множителя (273). 28.2. Действительный регуляризующий множитель (275). 28.3. Регуляризующий множитель с постоянным модулем (277). 28.4. Другие виды регуляризующего множителя (278).
§ 29. Краевая задача Гильберта для односвязной области.....280
29.1. Однородная задача (2SO). 29.2. Неоднородная задача (281). 29.3. Задача для единичного круга и полуплоскости (282). 29.4. Задача Гильберта для внешней области (285). 29.5. Примеры (287).
§ 30. Связь краевых задач Гильберта и Римана..........289
ЗОЛ. Постановка вопроса (289). 30.2. Связь между краевыми условиями (290). 30.3. О задаче Гильберта для бикруга (291).
§ 31. Особое интегральное уравнение с ядром Гильберта......292
31.1. Связь характеристического уравнения с краевой задачей Гильберта (292). 31.2. Решение уравнения (293). 31.3. Уравнения с постоянными коэффициентами (296). 31.4. Полное уравнение (298).
§ 32. Краевые задачи для полигармонических и полианалитических
функций, приводимые к краевым задачам Гильберта и Римана 300
32.1. Представление полигармонических и полиапалитических функций через аналитические (300). 32.2. Постановка краевых задач Гильберта для полианалитических функций (303). 32.3. Краевые задачи для круга (305). 32.4. Краевые задачи для областей, отображающихся на круг рациональными функциями (310). 32,5. Решение основной задачи теории упругости для области, ограниченной улиткой Паскаля (312). 32.6. Краевые задачи Римана (316). § 33. Обратная краевая задача аналитических функций.......319
33.1. Постановка задачи (320). 33.2. Решение внутренней задачи (321). 33.3. Другие способы задания (324). аЗ.4. Решение внешней задачи (324). 33.5. О числе решений внешней задачи (327). 33.6. О задаче Шварца с ло-
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
гарифмической особенностью на контуре (329). 33.7. Особые точки контура (331). 33.8. Об однолистности решения (333). 33.9. Некоторые дополнительные вопросы (336).
§ 34. Исторические сведения....................338
Задачи к главе IV.........................340
Глава V. Различные обобщенные краевые задачи..........344
§ 35. Краевая задача типа задачи Гильберта с краевым условием,
содержащим производные..................344
35.1. Постановка задачи и различные формы краевого условия (344).
35.2. Представление аналитической функции интегралом типа Коши с действительной плотностью (347). 35.3. Интеграл типа Коши, плотность которого есть произведение заданной комплексной функции на некоторую действительную (350). 35.4. Интегральное представление аналитической функции, m-я производная которой представляется интегралом типа Коши (354). 35.5. Сведение краевой задачи к интегральному уравнению Фредгольма (357). 35.6. Вопросы разрешимости краевой задачи (359). 35.7. Другие методы исследования (363).
§ 36. Краевая задача типа задачи Римана с краевым условием, содержащим производные.....................365
36.1. Интегральное представление для. кусочно аналитических функций (366). 36.2. Решение краевой задачи (368). 36.3. Новый способ решения задачи (372). 36.4. Особое интегро-дифференциальное уравнение (374).
§ 37. Краевая задача Гильберта для многосвязной области.....375
37.1. Задача Дирихле для многосвязной области (376). 37.2. Оператор Шварца для многосвязной области (381). 37.3. Различные формы постановки краевой задачи Гильберта для многосвязной области (385). 37.4. Метод регуляризующего множителя в случае многосвязной области (386). 37.5. О нахождении регуляризующего множителя в случае многосвязной области (390). 37.6. Интегральное уравнение задачи Гильберта (392). 37.7. Союзное интегральное уравнение и союзная задача Гильберта (393). 37.8. Исследование вопросов разрешимости (396). 37.9. Исследование случаев и = 0 и и = т—1 (399). 37.10. Связь с отображением на плоскость с разрезами (403). 37.11. Заключительные замечания (406). 37.12. Некоторые новые результаты (407).
§ 38. Обратная краевая задача для многосвязной области.....408
38.1. Постановка задачи (408). 38.2. Решение внутренней задачи (409). 38.3. Условия разрешимости (410).
§ 39. Краевая задача типа задачи Римана для многосвязной области
и краевые задачи со сдвигом и сопряжением.........412
39.1. Интегральное представление (412). 39.2. Краевая задача и интегро-дифференциальное уравнение (415). 39.3. Краевая задача с сопряжением (416). 39.4. Дальнейшие обобщения (419).
§ 40. Исторические сведения....................422
Задачи к главе V.........................423
Глава VI. Краевые задачи и особые интегральные уравнения с разрывными коэффициентами и с разомкнутыми контурами 427
§ 41. Решение задачи Римана с разрывными коэффициентами приведением к задаче с непрерывными коэффициентами......428
41.1. Постановка задачи и определение функции по скачку (428). 41.2. Фундаментальные вспомогательные функции (430). 41.3. Приведение к задаче с непрерывными коэффициентами. Простейший случаи (431). 41.4. Решение однородной задачи (433). 41.5. Решение неоднородной задачи (435). § 42. Краевая задача Римана для разомкнутых контуров......439
42.1. Постановка и решение задачи (439). 42.2. Пример (442). 42.3. Обращение интеграла типа Коши (444).
§ 43. Непосредственное решение задачи Римана..........447
43.1. Задача для разомкнутого контура (447). 43.2. Задача с разрывными коэффициентами (448). 43.3. Примеры (449). 43.4. Краевая задача Карле-мана. Продолжение (452). 43.5. Заключительные замечания (454К
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 44. Задача Римана для сложного контура. Исключительные случаи 455
44 1 Постановка задачи (435). 44.2. Новый метод решения задачи Римана для замкнутой кривой (456). 44.3. Общий случай (457). 44.4. Случай совпадения концов (460). 44.5. Исключительные точки на концах контура (461). § 45. Краевая задача Гильберта для кусочно аналитической функции 462
45.1. Постановка задачи (462). 45.2. Отыскание решения (463). 45.3. Исследование разрешимости (465).
§ 46. Краевая задача Гильберта с разрывными коэффициентами , , 466
46.1. Задача Гильберта для полуплоскости (467). 46.2. Пример (469). 46.3. Смешанная краевая задача аналитических функций (472). 46.4. Задача Дирихле и ее видоизменения для плоскости со щелями (474).
§ 47. Характеристическое уравнение для разомкнутых контуров . . .
47.1. Основные понятия и обозначения (480). 47.2. Решение характеристического уравнения (482). 47.3. Решение уравнения, союзного с характеристическим (487). 47.4. Примеры (488). 47.5. Уравнение на действительной полуоси (489). 47.6 О методе неполной факторизации (491). 47.7. Характеристическое уравнение в банаховых пространствах (496). § 48. Полное уравнение для разомкнутых контуров и разрывных коэффициентов........................
48.1. Регуляризация решением характеристического уравнения (497).
48.2. Исследование регуляризованного уравнения (498). 48.3. Характеристическое уравнение на сложном контуре и с разрывными коэффициентами (500). 48.4. Регуляризация полного особого уравнения (504). 48.5. Основные свойства особого уравнения (508). 48.6. Теория Нётера особых уравнений со сдвигом Карлемана на разомкнутом контуре (509).
„„„„ римяна с бесконечным индексом.......510
480
496
4».Э. WV,HUD«,«^. -_
особых уравнений со сдвигом Карлемана на ра^ч....,.., .,
§ 49. Краевая задача Римана с бесконечным индексом.......
49.1. Некоторые сведения из теории функций (510). 49.2. Однородная задача с бесконечным индексом степенного порядка в случае одностороннего завихрения (512). 49.3. Неоднородная задача с бесконечным индексом степенного порядка для одностороннего завихрения (517). 49.4. Задача с бесконечным индексом логарифмического порядка для одностороннего завихрения (518). 49.5. Случай двустороннего завихрения (520). 49.6. Задача на счетном множестве контуров (522).
„ъ ^оопйНИЯ...................523
рг»е
НИЯ vo-iu;. -i^.y. ^~~- •- ........ ич~
§ 50. Исторические сведения ........... ^ ....... 525
Задачи к главе VI ...............
Глава VII. Интегральные уравнения, разрешимые в замкнутой форме 532
§ 51. Уравнения с автоморфными .ядрами :<
* ' я (543Ь
„ого особого интегрального УРав"«н"" * 'интегрального уравнения
ss
55°
, 5,
52 1. Краевая задача Римана (5оО). 52-|j,,oc?2 4 Интегральное уравнение (553). 52.3. Некоторые приложения (554) 52.4. ш Р ние с неосновной автоморфной функцией (560). ы.ъ. v § 53 Краевые задачи на римановых поверхностях . . . • • ^'^
53.1. Некоторые сведения о римановых "°в1р™°бсет*ха1?эВ8). 53.4. Различ-задача Римана (567). ^.3 Краевая задача Гильберта^^^
§ 54. Интегральные уравнения со степенным ядром. .^ .^-^
54.1. Интегральное уравнение Абеля (51 Д. >»•*• ~ (573) 54.3. Обобщен-с ядром Коши с интегралами со степенным ядром g/a Обобщен-
ное уравнение Абеля с внешними коэ**И?иентами М «о). Случай
„ое уравнение Абеля с внутрениим» коэффициентами (5/П^ ^ степенным постоянных коэффициентов (578). о4.6. П°ЛНЫ^О>,Р на бесконечной пря-ядром (580). 54.7. Уравнения со степен""" *?J?) мой (582). 54.8. Некоторые другие результаты (оо*|-
8 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 55. Интегральные уравнения с логарифмическим ядром......585
55.1. Характеристическое уравнение с логарифмическим ядром (585). 55.2 Уравнение с логарифмической особенностью в правой части (588). 55.3. Обобщенное уравнение Карлемана (589). 55.4. Некоторые другие типы интегральных уравнений с логарифмическим ядром (593).
§ 56. Исторические сведения....................596
Задачи к главе VII........................597
Приложение I. Индекс как гомотопический инвариант....... 6D4
Приложение II. Оператор с полярно-логарифмическим ядром . . . . 606 Приложение III. Использование краевых задач в теории приближения функций.......................... 609
Приложение IV. Применение краевой задачи Римана в теории массового обслуживания........................ 615
Литература.............................. 624
Предметный указатель........................ 639
Цена: 300руб.
