Учебник для студентов вузов физической и механико-математической специальностей с добавлениями, учитывающими интересы математической физики. Написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом институте.
Второй том содержит кратные интегралы, теорию поля, ряды Фурье и интеграл Фурье, дифференцируемые многообразия, дифференциальные формы и интеграл Лебега.
Илл. 49.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 12 Кратные интегралы
§ 12.1. Введение .".......................... 7
§ 12.2. Квадрируемые по Жордану множества........... 9
§ 12.3- Важные примеры квадрируемых по Жордану множеств 16 § 12.4. Еще один критерий измеримости множества. Полярные
координаты.......................... 17
§ 12.5. Измеримые по Жордану трехмерные и n-мерные множества 18
§ 12.6. Понятие кратного интеграла ................ 22
§ 12.7. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Основная теорема 25 § 12.8. Интегрируемость непрерывной функции на замкнутом
измеримом множестве. Другие критерии.......... 30
§ 12.9. Множество лебеговой меры нуль.............. 32
§ 12.10. Доказательство теоремы Лебега. Интегрируемость и ограниченность функции..................... 33
§ 12.11. Свойства кратных интегралов............... 35
§ 12.12. Сведение кратного интеграла к интегралам "по отдельным
переменным.......................... 38
§ 12.13. Непрерывность интеграла по параметру.......... 44
§ 12.14. Геометрическая интерпретация знака определителя ... 47 § 12.15. Замена переменных в кратном интеграле. Простейший
случай............................. 49
§ 12.16. Замена переменных в крагном интеграле......... 50
§ 12.17. Доказательство леммы 1 § 12.16.............. 53
§ 12.18. Полярные координаты в плоскости............. 56
§ 12.19. Полярные координаты в пространстве........... 58
§ 12.20. Общие свойства непрерывных операций.......... 59
§ 12.21. Дополнение к теореме о замене переменных в кратном
интеграле.......................... 61
§ 12.22. Несобственный интеграл с особенностями вдоль границы
области. Замена переменных................ 62
§ 12.23. Площадь поверхности.................... 64
1*
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 13
Теория поля. Дифференцирование
и интегрирование по параметру.
Несобственные интегралы
§ 13.1. Криволинейный интеграл первого рода.......... 71
§ 13.2. Криволинейный интеграл второго рода.......... 72
§ 13.3. Поле потенциала....................... 74
§ 13.4. Ориентация плоской области................ 81
§ 13.6. Формула Грина. Выражение площади через криволинейный интеграл ..... ................... 82
§ 13.6. Интеграл по поверхности первого рода.......... 85
§ 13.7. Ориентация поверхностей.................. 87
§ 13.8. Интеграл по ориентированной плоской области ..... 90
§ 13.9. Поток вектора через ориентированную поверхность ... 93
§ 13.10. Дивергенция. Теорема Гаусса — Остроградского..... 96
§ 13.11. Ротор вектора. Формула Стокса.............. 102
§ 13.12. Дифференцирование интеграла по параметру....... 106
§ 13.13. Несобственный интеграл................... 108
§ 13.14.- Равномерная сходимость несобственного интеграла .... 115 § 13.15. Равномерно сходящийся интеграл для неограниченной
области ....-.•.........'..;•........... 121
§ 13.16. Равномерно сходящийся интеграл с переменной особой
точкой............................. 125
Г л а в а 14
)
Линейные нормированные пространства. Ортогональные системы
§ 14.1. Пространство С непрерывных функций........... 132
§ 14.2.' Пространства L't L'p и 1р.................. 134
§ 14.3. Пространство Ц(Ц)...................... 138
§ 14.4. Приближение финитными функциями............ 140
§ 14.5. Сведения из теории линейных множеств и линейных нормированных пространств................... 146
§ 14.6. Ортогональная система в пространстве со скалярным произведением........................... 153
§ 14.7. Ортогонализация системы................... 164
§ 14.8. Свойства пространств Ц (И) и L^ (Q)............ 167
§ 14.9. Полнота системы функций в С, Ц и L' (Ls, L)........ 169
Глава 15 Ряды Фурье. Приближение функций полиномами
§ 15.1. Предварительные сведения.................. 171
§ 15.2. Сумма Дирихле......................... 177
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 15.3. Формулы для остатка ряда Фурье............. . 180
§ 15.4. Леммы об осцилляции..................... 182
§ 15.5. Критерии сходимости рядов Фурье. Полнота тригонометрической системы функций.................. 186
§ 15.6. Комплексная форма записи ряда Фурье.......... 193
§ 15.7. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье .... 195
§ 15.8. Оценка остатка ряда Фурье.................•" 198
§ 15.9. Явление Гиббса........................ 199
§ 15.10. Сумма Фейера.......................... 203
§ 15.11. Сведения из теории многомерных рядов Фурье...... 206
§ 15.12. Алгебраические многочлены. Многочлены Чебышева . . . 216
§ 15.13. Теорема Вейерштрасса..................... 217
§ 15.14. Многочлены Лежандра.....,.............. 218
Глава 16 Интеграл Фурье. Обобщенные функции
§ 16.1. Понятие интеграла Фурье.................. 221
§ 16.2. Лемма об изменении порядка интегрирования ...... 224
§ 16-3. Сходимость простого интеграла Фурье к порождающей
его функции.......................... 225
§ 16.4. Преобразования Фурье. Повторный интеграл Фурье.
Косинус и синус преобразования Фурье ......... 227
§ 16.5. Производная И преобразование Фурье........... 230
§ 16.6, Пространств oS........................- 231
§ 16.7. Пространство S' обобщенных функций.......... 235
§ 16.8. Многомерные интегралы Фурье и обобщенные функции . . 244 § 16.9. Ступенчатые финитные функции. Квадратические приближения............................. 252
§ 16.10. Теорема Планшереля. Оценка сходимости простого интеграла................................. 257
§ 16.11. Обобщенные периодические функции ;....-.'...... 262
Глава 17
Дифференцируемые многообразия я дифференциальные формы
§ 17.1. Дифференцируемые многообразия ^............. 268
§ 17.2. Край дифференцируемого многообразия и его ориентация 278
§ 17.3. Дифференциальные формы......ч............ 288
§ 17.4. Формула Стокса..............•......... 298
ОГЛАВЛЕНИЕ
Г лава 18 Дополнительные сведения
§ 18.1. Обобщенное неравенство Минковского........... 304
§ 18.2. Усреднение функции по Соболеву.............. 306
§ 18.3. Свертка............................. 310
§ 18.4. Разбиение единицы...................... 313
Г л ава 19 Интеграл Лебега
§ 19.1. Мера Лебега....................•...... 316
§ 19.2. Измеримые функции...................... 326
§ 19.3. Интеграл Лебега...............:....... 333
§ 19.4. Интеграл Лебега на неограниченном множестве...... 364
§ 19.5. Обобщенная производная по Соболеву........... 368
§ 19.6. Пространство обобщенных функций О'........... 380
§ 19.7. Неполнота пространства L'p.................. 383
§ 19.8. Продолжение функции. Теорема Вейерштрасса...... 385
Предметный указатель......................... 389
Цена: 150руб.
