На основе понятия пространства состояний рассмотрены методы статистического анализа дискретных и непрерывных динамических систем. Во всех случаях вероятность перехода системы из начального состояния в конечное представляется в- виде суммы по всем возможным траекториям.
Развита диаграммная техника решения комбинаторно— вероятностных задач, основанная на интерпретации этих задач как дискретных марковских динамических систем.
Показано, что для непрерывных систем' плотность вероятности перехода может быть записана в виде континуального интеграла по обобщенной условной Mjepe Зине pa. Дана методика приближенного вычисления континуальных интегралов на основе метода Монте-Карло. Рассмотрен алгоритм расчета пвказате— лей качества сложных систем и комплексов управления, находящихся под действием случайных помех.
Пособие предназначено для студентов старших курсов МИФИ, слушателей ФПС и ФПКСП, специализирующихся в области статистического анализа динамических систем. '
п е» н я е н т ы ;
ОГЛАВЛЕНИЕ ,
Предисловие..................................,.......1...................... 5
Глава 1. Математические .модели случайных процессов
в динамических системах...............,.............. ; 1
8 1. Пространство состояний и основные типы 'динамических систем......................................,....... '
§ 2. Марковские случайные процессы...................... 9
§ 3. Плотность вероятности перехода—.................. 13
§ 4. Стохастический дифференциальные уравнения и
' , диффузионные марковские процессы................. 14
, § 5. Вероятность перехрда как сумма по траекториям
динамической системы.................................... 18
Глава 2. Релейно-ймпульсные системы...................... • 21
§ 1. Диаграмма переходов..........'........................... 21
§ 2. Цепи Маркова................................................. 22
§ 3. Решение. вероятностных задач с помощью диа-
• о л'
граммы переходов.........».........................:...... ^°
§ 4. Уравнения динамики и матрица вероятностей
. . перехода.............................-................,......<... 36
§ 5. Дискретные допредельные модели непрерывных
марковских процессов.................................... 37
Глава 3. Представление решения уравнения А.Н. Колмогорова через континуальные интегралы 4О § 1. Решение уравнения А.Н. Колмогорова как предел
конечнократных интегралов;.............................. 4О
§ 2. Функционал действия и стохастический интеграл 47 § 3. Плотность^ вероятности перехода и континуальные i
интегралы..................................;....................
§ 4. Интегральное уравнение для плотности.вероятно—
' С?/^
сти перехода............„..................................... vj*.
§ 5. Многомерный случай......,....................А..........'
Глава 4. Континуальные интегралы и приближенные
методы расчета.дадак^ердся:й1с.л€а1шш»»1№а. динамических систем............./............,..;.....' oj
• ' ' ' ' ' *! ' ("* "^
, § 1. Показатели качества и континуальные интегралы ^ _^ § 2. Метод существенной выборки............•••••........••• , . аи
§ 3. Уравнение Эйлера—Лагранжа для траекторий с минимальным значение*, действия.......................... 72
§ 4. Линейные системы. Приближенный метод расчета нелинейных систем при малой интенсивности помех.....,.......................................................... 74
§ 5. Соотношение неопределенности для диффузионных
марковских процессов...................................... ' 81
Список литературы...................................................... 82
ПРЕДИСЛОВИЕ
В-настоящее время аппарат континуальных интегралов Широко используется в теоретической и математической физике и вычислительной математике (см: [12, 14 - 21^ и цитируемую там литературу).
Тем не менее круг работ, связанных с применением функциональных интегралов к анализу характеристик динамических систем, находящихся под действием случайных возмущений, крайне ограничен. Единственной монографией в этой области является книга \15\ , .выпущенная в издательстве 'Наука* в 1979 году. Однако в этой книге в основном развивается формальный математический аппарат и она рассчитана на читателей с высоким' уровнем специальной математической подготовки. Учебники и учебные пособия по этой тематике отсутствуют.
'В настоящем пособии с единых методических,позиций рассмотрены вопросы статистического анализа дискретных и непрерывных нелинейных динамических систем.
Первая глава является вводной. В ней даны понятия о Про—, странстве состояний и основных типах динамических систем. Рассмотрены марковские детерминированные и недетерминированные процессы. Приведено уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) для плотности вероятности перехода в непрерывных динамических системах, поведение которых описывается диффузионными марковскими процессами. Более подробные сведения по этим вопросам даны в [1, 2J. В конце главы сформулировано лравило расчета вероятности перехода как суммы по всем возможным траекториям динамической системы.
Для дискретных систем, рассмотренных во второй главе, применение этого правила не встречает методических трудностей. Для непрерывных систем (главы 3 и 4) суммирование по траекториям базируется на математическом аппарате, континуальных интегралов. Этот аппарат впервые был применен в физике Р. 1Фейнманом для решения Задач квантовой механики [з] . Аналогия между уравнениями ФПК и Шредингера (см. § 5 главы 4) позволяет использовать континуальные интегралы для статистического анализа динамических систем. На основе этого ал— парата может быть разработан целый ряд новых приближенных и
Цена: 150руб.
