3 Методы математической физики. Учебн. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. М., «Просвещение», 1977. 199 с. с ил.
В книге изложен учебный, материал по математической теории поля, дифференциальным уравнениям в частных производных и линейной алгебре в объеме, соответствующем учебной программе по курсу «Методы1 математической физики» для физико-математических факультетов педагогических институтов.
ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Физика в своем историческом развитии постепенно превращалась из науки описательной в науку точную. Для характеристики различных явлений и процессов, происходящих в природе и технике, физики все шире используют математические методы, или, ка'к принято говорить, соответствующий математический аппарат.
Для этой цели пришлось прежде всего ввести меру каждого физического свойства. Пока физики имели дело с простейшими свойствами тел, в качестве меры каждого из них можно было ограничиться скалярными величинами, обычно показывающими, во сколько раз мера данного свойства у рассматриваемого тела больше некоторого единичного масштаба. Так были введены такие скалярные величины, как длина, площадь, объем, масса, время, температура, электрический заряд, энергия и т. п.
Со временем выяснилось, что для количественного описания быстроты движения, изменения этой быстроты, взаимодействия тел и т. п. скалярные величины не подходят. В этих случаях оказались пригодными более сложные математические величины — направленные отрезки, или векторы.
В конце XIX века физикам стало ясно, что для характеристики деформаций, инерции при вращательном движении, усилий в деформированных твердых телах и т. п. необходимы величины еще более сложной математической природы—тензоры.
С другой стороны, развитие количественных методов показало, что одно и то же физическое свойство в разных точках исследуемого объекта может принимать различные значения, и поэтому для математического описания необходимо знать совокупность значений соответствующей величины во всех точках рассматриваемого объекта. Так в
1*
ОГЛАВЛЕНИЕ €
я
Предмет математической физики................ пг,
Частьпервая. ,
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Глава /. Скалярные, векторные и тензорные поля на плоскости б
§ 1. Скалярное поле и векторное поле его градиента..... _
§ 2. Аналитическое определение понятия вектора ...*...'.* 13
§ 3. Векторные поля и их дифференциальная характеристика . ! 16
§ 4. Тензоры и их свойства ................. \$
§ 5. Тензорная алгебра...................| 23?
§ 6. Тензор как аффинор................'.'.'. 2<з\
§ 7. Главные направления тензора.............| 28
§ 8. Тензорный эллипс...................' 32?
Глава II. Ортогональные векторы и тензоры в трехмерном и
многомерном евклидовых пространствах. Векторный анализ 34?
§ 1. Векторы и тензоры в я-мерном пространстве......._f
§ 2. Тензор деформации..................' з?|
§ 3. Тензор напряжений................... 411
§ 4. Тензор инерции.................... 43i
§ 5. Скалярный и векторный инварианты тензора-производной ;
векторного поля.................... 49?
§ 6. Физический и аналитический смысл дивергенции вектор- •'
ного поля....................... 51
§ 7. Физический и аналитический смысл ротора векторного поля 56
§ 8. Оператор Гамильтона («Набла»-исчисление)....... 61
§ 9. Формула Грина....................| 65,
§ 10. Классификация векторных полей............ бб!,
§ 11. Физические векторные и тензорные поля в четырехмер- .-
ном пространстве-времени...................'69.:
Глава ///. Теория поля в криволинейных системах координат 74 |у
§ 1. Криволинейные координаты...............'•— '$..
§ 2. Коэффициенты Лямэ.................. . Т/-*,'
§ 3. Основные дифференциальные операции в криволинейных ' ' ;j
координатах......................, 3|1'д1
Ч а сть вто р а я '. •.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ',•'
Глава I. Вывод основных дифференциальных уравнений матема- !''
тической физики. Общий интеграл этих уравнений .... 87
§ 1. Поперечные колебания струны. Волновое уравнение ... —
§ 2. Уравнение теплопроводности.........'...... 90.
§ 3. Основное уравнение электростатики ........... 95
§ 4. Уравнение переменного электромагнитного поля в потенциалах........................... . 96
§ 5. Уравнение Шредингера.................. 99
§ 6. Понятие об общем интеграле уравнения в частных произ--
водных......................... JOO
§ 7. Колебания бесконечной струны.............. Юо
Глава //. Нахождение частных решений уравнений в частных
производных путем разделения переменных........ '09
§ 1. Охлаждение стержня конечной длины.......... "°
« 2. Колебания струны конечной длины............ 114
§ 3. Решение задачи Дирихле для круга........... 118
s 4. Стационарное распределение температуры в прямоугольном
* брусе.......................... 121
§ 5. Охлаждение тонкой пластины.............. 124
§ 6. Охлаждение бесконечного стержня............ 127
Глава ///. Интегрирование уравнений математической физики в
цилиндрической системе координат............ 131
§ 1. Решение уравнения Лапласа в цилиндрических координатах. Уравнение Бесселя................. —
§ 2. Решение уравнения Бесселя. Функции Бесселя...... 133
§ 3. Решение задачи Дирихле для цилиндра.......... 136
Глава IV. Интегрирование уравнений математической физики в
сферической системе координат.............. 139
§ 1. Решение уравнения Лапласа в сферических координатах.
Уравнение Лежандра.................. —
§ 2. 'Решение уравнения Лежандра.............. 141
§ 3. Полиномы Лежандра................... 143
§ 4. Сферические и щаровые функции............. 146
§ 5. Стационарное распределение температуры в шаре..... 147
Глава V. Метод функций Грина................ 148
§ 1. Метод Грина решения краевых задач........... 149
§ 2. Функция Грина для шара................ 152
§ 3. Функция Грина для полупространства.......... 155
Часть третья.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Глава 1. Элементы линейной алгебры............. 157
§ 1. Линейное векторное пространство . . ............ 159
§ 2. Размерность линейного пространства........... 164
§ 3. Евклидово пространство................. 167
§ 4. Комплексное линейное пространство........... 171
• Глава П. Аффинные преобразования............. 172
.§ I. Линейное операторы и операции над ними........ —.-
. § 2. Матричная алгебра.................... 177
$%•&' Исследование линейных преобразований с помощью матриц.
Характеристический многочлен.............. 181
§ 4. Линейные преобразования в унитарном пространстве . . . 187 § 5. Лийейные операторы в действительном евклидовом прост-
ранстее......................... 192
Цена: 150руб.
