Широко используется концепция обобщенного' решения, дана специальная глава, посвященная теории обобщениях функций. Аппарат теории обобщенных функций -позволяет строго определить понятие фундаментального решения, что дает возможность проще и физически нагляднее исследовать и решать краевые задачи.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . Глав а 1
Постановка краевых задач математической физики:
§ 1. Некоторые понятия и предложения теории множеств,
теории функций н теории операторов....... 1
Д. Точеяные множества в /?" (Щ. 2. Класс» функций Ср (О) и Ср (О) (13). 3. Пространство непрерывных функций' С (-Г) (14). 4. Интеграл Лебега (16). 5. Пространство функций <ег (О) (22). 6. Ортонормальные системы: (К). 1. Полные ортонорыальные системы (28). 8. Линейные операторы и функционалы (31). 9. Линейные уравнения (34). 10. Эрмитовы операторы (36).
§ 2. Основные уравнения математической физики' .... 3f
1. Уравнение колебание (38). 2, Уравнение «иффузии (42). 3. Стационарное уравнение (44). 4. Уравнение переноса (45). 5. Уравнения гидродинамики (46). 6. Уравнения Максвелла (47). 7. Уравнение Шредингера (48). 8. Уравнение Клейна — Гордона и уравнение Дирака (48). .
§ 3. Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка ...,...;...... 49
1. Классификация уравнении в точке (49). 2. Выражение оператора Лапласа в сферических, и- цилиндрических координатах (52). 3. Характеристические поверхности (характеристики) (53). 4. Канонические вид уравнений с двумя независимыми переменными (6о). 5. Пример. Уравнение Триполи (60).
§ 4. Постановка основных краевых задач для дифференциального уравнения второго порядка . . . . . . . . 62
1. Классификация краевых задач (62), 2. Задача Коши (63). 3. Роль характеристик в постановке задачи Кош» (65). 4. Краевая задача для уравнения эллиптического твое (*)» 5. Смешанная задача (67). ? Корректность постановки задач математической физики (68). 7. Теорема Ковалевской (69), 8. Пример Адамара (70). 9., Классические н обобщенны» решени* (71). I*
ОГЛАВЛЕНИЕ
Г лава II Обобщенные функции
§ 5. Основные и обобщенные функции......... 73
1. Введение (73). 2. Пространство основных функций & (75). ЗГ Пространство обобщенных функций 3>' (79). 4. Носитель обобщенной функции (80). 5. Регулярные обобщенные фуЛ<-ции (82). 6. Сингулярные обобщенные функции (84). 7. <Шр-мулы Сохоцкого (85). 8. Линейная замена переменных в oJIfi-щенных функциях (87). 9. Умножение обобщенных фртис-ций (88). 10. Упражнения (89).
§ 6. Дифференцирование обобщенных функций..... 89
1. Производные обобщенной функции (89). 2. Свойства обобщенных производных (90). 3. Примеры, я = 1 (92). 4. Упражнения (97). 5. Примеры, п > 2 (97).
. § 7. Прямое произведение и свертка обобщенных функций ........................106
1. Определение прямого произведения (106). 2. Коммутативность прямого произведения (110). 3. Дальнейшие свойства прямого произведения (112). 4. Свертка обобщенных функций (113). 6. Условие существования свертки (116). 6. Дифференцирование свертки (118). 7. Регуляризация обобщенных функций (119). 8. Примеры сверток. Ньютонов потенциал (120). 9. Упражнения (123).
§ 8. Обобщенные функции медленного роста......124
1. Пространство основных функций <5* (124). 2. Пространство обобщенных функций медленного роста <&" (125). 3. Примеры обобщенных функций медленного роста (126). 4. Структура обобщенных функций с точечным носителем (128). 5. Прямое произведение обобщенных функций медленного роста (130). 6. Свертка обобщенных функций медленного роста (132).
§ 9. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного робта ............132
ФУРЬе ООиищемпшл 4/j".«*.— - --:„0. й Ппммопы /1
5. Преобразование Фурье свертки (139) 6. Примеры, п 7. Упражнения (144). 8. Примеры, л > 2 (14>).
Глава III Задача Коши
§ 10. Фундаментальные- решения линейных дифференциальных операторов...............150
1. Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений (ISO). 2. Фундаментальные решения (152). 3. Уравнения
ОГЛАВЛЕНИЕ
с правой частью (154). 4. Метод спуска (155). S. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора с обыкновенными производными (159). 6. Фундаментальное решение оператора теплопроводности (159). 7. Фундаментальное решение волнового оператора (160). 8. Фундаментальное решение оператора Лапласа (163). 9. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца (165). 10. Фундаментальное решение оператора Коши — Римана (166). 11. Фундаментальное решение оператора переноса (166). 12. Упражнения (167).
§ 11. Запаздывающий потенциал ............ . 168
1. Свойства фундаментального решения волнового оператора (168). 2. Дополнительные сведения о свертках (171). 3. Запаздывающий потенциал (174). 4. Поверхностные запаздывающие потенциалы (178).
§ 12. Задача Коши для волнового уравнения ...... 183
1. Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения (183). 2. Постановка обобшенной задачи Коши для волнового уравнения (184). 3. Решение обобщенной задачи Коши (186). 4, Решение классической задачи Коши (188). 5. Упражнения (190).
§ 13. Распространение волн ........ . ...... 191
1. Распространение волн в пространстве (191). 2. Распространение волн на плоскости (193). 3. Распространение волн на прямой (195). 4. Метод распространяющихся волн (198). 5. Метод отражений. Полубесконечная струна (201). 6. Метод отражений. Конечная струна (203).
§ 14. Задача Коши для уравнения теплопроводности . . . 206
1. Тепловой потенциал (20f>). 2. Поверхностный тепловой потенциал (208). 3. Постановка обобщенной задачи Коши для уравнения теплопроводности (209). 4. Решение задачи Коши (211). 5. Упражнения (212).
Глава IV Интегральные уравнения -
§15. Метод последовательных приближений. . . . . . . 215
1. Интегральные уравнения с непрерывным ядром (215).
2. Повторные ядра. Резольвента (219). 3. Интегральные уравнения Вольтерра (222). 4. Интегральные уравнения с полярным ядром (225). 5. Упражнения (230).
§ 16. Теоремы Фредгольма .......... ..... 232
1. Интегральные уравнения с вырожденным ядром (232). 2. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром (235). 3. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с непрерывным • ядром (238). 4. Следствия из теорем Фредгольма (242). 5. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с полярным ядром (244). 6. Упражнения (247).
ОГЛАВЛЕНИЕ
. 247
'••чятья'да^4
, 18. Теорема Гильберта - Шмидта к ее следствия
s ... __•_* ... тшптова непр*
254
leopeua * n«i«.x,_..._
1. Теорема Гильберта — Шмидта для эрмитова непрерывного
ядра (254). 2. Билинейное разложение повторных ядер (258).
3. Билние*ное разложение эрмитова непрерывного одра (259).
4. Решение неоднорояявге яггегрллыюго уравнения с армить-вым непреривяыы ядром (961). 5. Положительные ядра (263). № 6. Распространение теории Гильберта—Шмииа на ннтеграль- Я ные уравнения с эрмитовым полярным ядром (264). 7. Теорема (J Ентча (266). 8. Метод Келлога (268). 9. Упражнения (272).
Глава V
Глава v
Краевые задачи для эллиптических уравнений
§ 19. Задача на собственные значения . . . . . . . . . . 273
1. Постановка задачи на собственные значения (273). 2. Формулы Грина (274). 3. Свойства оператора Z (275). 4. Свойства собственных значений и собственных функций оператора I (277). 5. Метод Фурье (разделение переменных) (281). Б. Примеры (283). 7. Физический смысл собственных значений и собственных функций (287). 8. Единственность решения неоднородной краевой задачи (287). 9. Упражнения {288). '
§ 20. Задача Штурма г- Лиувилля ."...... . . . . . . 288
1. Функция Грина (289). 2. Сведение задачи Штурма— Лиу-виляя к интегральному уравнению (292). 3. Свойства собственных значений и собственных функций (294). 4. Нахождение собственных значений и собственных функций (295),
§ 21. Гармонические функции
- - «K11V О ' РЯ|
МуМЗ \ои«;. и. -----
ранне особенностей гармонической щенно-гармонические функции (305). гармонических функций (306). 9. вилла (307). 10. Упражнения (308).
§ 22. Ньютонов потенциал
§ 23. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона
в пространстве .- . .' . . . . . . . . .' . ... . . 324
1. Поетяяовв всноышх краевых задач (324). 2. Поведение гар-мовлпескоД функции на весконечностяЙ25). 3. Теоремы единственности решения краевых замч ЙСЯ). 4. Сведете краевых задач к нпгегральным уравнениям (329). S. Исследование интегральных уравнений теории потешшала i"~"
§ 24. Функция Грина задачи Дирихле .......... 336
1. Определение и свойства функции Грина (336). 2. Примеры построения функция Грина (метод отражений) (339). 3. Решение краевой задачи с помощью функции Грина (342). 4: Формула Пуассона (343). 5. Сведение краевой задачи к интегральному уравнению (344). 6. Свойства собственных значений и собственных функций (347). 7. Упражнения (349).
§ 25. Сферические функции ;.............;.. 35Э
1. Определение сферической функции (350). 1. Дифференциала -вое уравнение для сферических функций (351). 3. Полиномы Лежандра (353). 4. Производящая функция (354). 5. Присоеди-непные функции Лежандра (357). 6. Сферические функции (358). 7. Формула Лапласа (360), 8. Разделение переменных в уравнении Лапласа (361). 9. Решение задач Дирихле и Неймана для шара (363).
§ 26. Краевые задачи для уравнения Лапласа на плоскости . . Г.................... 365
1. Поведение гармонической функции на бесконечности (365).
2. Постановка и единственность решения основных краевых задач (367). 3. Логарифмический потенциал (368). 4. Разрешимость поставленных краевых задач (371). 5. Решение краевых
• задач для круга (374). 6. Функция Грина задачи Дирихле (376).
7. Решение задачи Дирихле для односвязной области (378).
8. Упражнения (379).
§ 27. Уравнение Гельмгольца......... г .... 38Э
1. Условия излучения Зоммерфельда (381). 2. Однородное уравнение Гельмгольца (382). 3. Потенциалы (384). 4. -Принцип предельного поглошеиия (386). 5. Принцип предельной амплитуды (387). 6. Краевые задачи для уравнения Гельйгольца (388). 7. Упражнения (390).
^лав а VI
Смешанная задача
§ 28. Метод Фурье.................... 392
1. Однородное гиперболическое уравнение (393). 2. Неоднородное гиперболическое уравнение (395). 3. Параболическое уравнение (397). 4. Уравнение Шредингера (398). 5. Эллиптическое уравнение (398). 6. Примеры (400). 7. Упражнения (408).
§ 29. Смешанная задача для уравнения гиперболического
типа.........'..............- t 407
1. Классическое решение. Интеграл энергии (407). 2. Единственность и непрерывная зависимость классического решения (409). 3. Функции, непрерывные в J?3(Q) (413). 4. Обобщенное решение (416). 5. Единственность и непрерывная, зависимость обобщенного решения (419). 6. Существование обобщенного решения (420). 7. Упражнения (422).
§ 30. Смешанная задача для уравнения параболического
типа........................423
1. Классические решения. Принцип максимума (423). 2. Единственность и непрерывная зависимость классического решения (425). 3. Обобщенное решение (427). 4. Единственность и непрерывная зависимость обобщенного решения (428). 5. Существование обобщенного решения (429).
Литература.......................431
Предметный указатель .................. 433
ПРЕДИСЛОВИЕ
В этой книге рассматриваются классические краевые задачи для дифференциальных уравнений математической физики. В отличие от традиционных способов изложения здесь широко используется, концепция обобщенного решения. Обобщенные решения возникают при решении интегральных соотношений типа локального баланса, и учет этих решений приводит' к обобщенным постановкам задач математической физики.
Точное определение обобщенного решения опирается на понятие обобщенной производной и вообще обобщенной функции. Аппарат теории обобщенных функций служит удобным средством для исследования краевых задач математической физики в обобщенной (и классической) постановке. Поэтому специальная глава в этой книге посвящена изложению теории обобщенных-функций.
В книге принята Следующая схема расположения материала. В главе I излагается постановка и классификация краевых задач математической физики, а также приводятся некоторые необходимые для дальнейшего сведения из анализа. Глава II содержит элементы теории обобщенных функций. В главе III исследуется обобщенная задача Коши для волнового уравнения и уравнения теплопроводности. Особенность изложения состоит в том, что начальные условия включаются в источники, действующие мгновенно. Глава IV содержит теорию интегральных уравнений с полярным ядром. Доказываются теоремы Фредгольма, Гильберта — Шмидта, Ентча и Келлога. В главе V рассматриваются краевые задачи для эллиптических уравнений. Излагается теория сферических функций. В главе VI изучаются смешанные задачи для гиперболических и параболических уравнений. Дается обоснование метода Фурье.
Многие параграфы содержат задачи для упражнений. Ряд задач сформулирован в виде теорем, которые являются
Цена: 150руб.
