ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Примеры составления интегральных уравнений (9). 2. Классификация интегральных уравнений (13). 3. Ортогональные системы функций (16). 4. Уравнения Фредгольма второго рода (23). 5. Метод последовательных приближений и резольвента (26). 6. Теорема существования и единственности (30). 7. Знаменатель Фредгольма (32). 8. Уравнение Фредгольма при любом X (38). 9. Союзное интегральное уравнение (41). 10. Случай собственного значения (42). П. Миноры Фредгольма (48). 12. Вырожденные уравнения (50). 13. Примеры (52). 14. Обобщение полученных результатов (54). 15. Принцип выбора (57). 16. Принцип выбора (продолжение) (60). 17. Неограниченные ядра (63). 18. Интегральные уравнения с неограниченными ядрами (68). 19. Случай собственного значения (71). 20. Уравнения с непрерывным повторным ядром (73). 21. Симметричное ядро (75). 22. Разложение по собственным функциям (79). 23. Теорема Дини (84). 24. Разложение повторных ядер (86). 25. Классификация симметричных ядер (92). 26. Экстремальные свойства собственных функций (95). 27. Теорема Мерсера (98). 28. Случай слабо полярного ядра (100). 29. Неоднородное уравнение (103). 30. Аппарат Фредгольма в случае симметричного ядра (105). 31. Эрмитовские ядра (109). 32. Уравнения, приводимые к симметричным (110). 33. Примеры (113). 34. Ядра, зависящие от параметра (116). 35. Пространство непрерывных функций (118). 36. Линейные операторы (123). 37. Существование собственного значения (129). 38. Последовательность собственных значений и теорема разложения (131). 39. Пространство комплексных непрерывных функций (135). 40. Интегральные вполне непрерывные операторы (136). 41. Нормальные операторы (138). 42. Случай функций нескольких переменных (142). 43. Уравнения Вольтерра (143). 44. Преобразование Лапласа (147). 45. Свертывание функций (154). 46. Уравнения Вольтерра специального вида (156), 47. Уравнения Вольтерра первого рода (159). 48. Примеры (162). 49. Нагруженные интегральные уравнения (166). 50. Интегральное уравнение Фурье (170). 51. Уравнение в случае бесконечного промежутка (171). 52. Примеры (173). 53. Случай полубесконечного промежутка (179).
54. Однородное уравнение (183). 55. Примеры (186). 56. Интегральные уравнения первого рода с ядром Коши (189). 57. Предельные задачи для аналитических функций (190). 58. Интегральные уравнения второго рода с ядром Коши (194). 59. Предельные задачи для случая отрезка (197).
60. Обращение интеграла типа Коши (201).
ГЛАВА II
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
61. Постановка задач (203). 62. Основные леммы (205). 63. Уравнение Эйлера в простейшем случае (206). 64. Случай нескольких функций и производных высших порядков (209). 65. Случай кратных интегралов. Уравнения Остроградского (212). 66. Замечания по поводу уравнений Эйлера и Остроградского (214). 67. Примеры (216). 68. Изопериметри-ческие задачи (223). 69. Условный экстремум (227). 70. Примеры (230)_ 71. Инвариантность уравнений Эйлера и Остроградского (236). 72. Параметрическая форма (239). 73. Геодезические линии в и-мерном про-
' странстве (242). 74. Естественные граничные условия (245). 75. Функционалы более общего типа (247). 76. Общая форма первой вариации (249). 77. Условие трансверсальности (252). 78. Канонические переменные (255). 79. Поле экстремалей в трехмерном пространстве (257). 80. Теория поля в общем случае (262). 81. Особый случай (265). 82. Теорема Якоби (267). 83. Разрывные решения (269). 84. Односторонний экстремум (273). 85. Вторая вариация (274). 86. Условие Якоби (275). 87. Слабый и сильный экстремум (279). 88. Функция Вейерштрасса (281). 89. Примеры (282). 90. Принцип Остроградского — Гамильтона (284). 91. Принцип наименьшего действия (287). 92. Струна и мембрана (289). 93. Стержень и пластинка (291). 94. Основные уравнения теории упругости (292). 95. Абсолютный экстремум (296). 96. Абсолютный экстремум (продолжение) (299). 97. Прямые методы вариационного исчисления (о04).
98. Примеры (305).
ГЛАВА III
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 1. Уравнения первого порядка.
99. Линейные уравнения с двумя независимыми переменными (311).
100. Задача Коши и характеристики (314). 101. Случай любого числа переменных (319). 102. Примеры (325). 103. Вспомогательная теорема (327). 104. Нелинейные уравнения первого порядка (329). 105. Характеристические многообразия (334). 106. Метод Коши (335). 107. Задача Коши (338). 108. Единственность решения (340). 109. Особый случай (343). ПО. Любое число независимых переменных (345). 111. Полный, общий и особый интегралы (348). 112. Полный интеграл и задача Коши (350). 113. Примеры (353). 114. Случай любого числа
ОГЛАВЛЕНИЕ
переменных (356). 115. Теорема Якоби (359). 116. Системы двух уравнений первого порядка (360). 117. Метод Лагранжа-Шарпи (362). 118. Система линейных уравнений (365). 119. Полные и Якобиевы системы (367). 120. Интегрирование полных систем (369). 121. Скобки Пуассона (370). 122. Метод Якоби (373). 123. Канонические системы (374). 124. Примеры (376). 125. Метод мажорантных рядов (377). 126. Теорема Ковалевской (380). 127. Уравнения высших порядков (386). 2. Уравнения высших порядков.
128. Типы уравнений второго порядка (388). 129. Уравнения с постоянными коэффициентами (390). 130. Нормальные формы при двух независимых переменных (392). 131. Задача Коши (395). 132. Характеристические полосы (398). 133. Производные высших порядков (400). 134. Вещественные и мнимые характеристики (403). 135. Основные теоремы (404). 136. Промежуточные интегралы (406). 137. Уравнения Монжа-Ампера (408). 138. Характеристики при любом числе независимых переменных (409). 139. Бихарактеристики (412). 140. Связь с вариационной задачей (416). 141. Распространение поверхности разрыва (419). 142. Сильные разрывы (421). 143. Метод Римана (424). 144. Характеристические начальные данные (429). 145. Теорема существования (431). 146. Метод последовательных приближений (433). 147. Формула Грина (435). 148. Формула Соболева (439). 149. Формула Соболева (продолжение) (444). 150. Построение функции и (447). 151. Общий случай начальных данных (451). 152. Обобщенное волновое уравнение (454). 153. Случай любого числа независимых переменных (456). 154. Основные неравенства (459). 155. Теоремы единственности и непрерывной зависимости решений (462). 156. Случай волнового уравнения (466). 157. Вспомогательные предложения (470). 158. Обобщенные решения волнового уравнения (474). 159. Уравнения эллиптического типа (478). 160. Обобщенные решения уравнения Пуассона (481). § 3. Системы уравнений.
161. Характеристики систем уравнений (484). 162. Кинематические условия совместности (485). 163. Динамические условия совместности (492). 164. Уравнения гидродинамики (493). 165. Уравнения теории упругости (496). 163. Анизотропное упругое тело (498). 167. Электромагнитные волны (5СО). 168. Сильные разрывы в теории упругости (504). 169. Характеристики и большие частоты (508). 170. Случай двух независимых переменных (510). 171. Примеры (512).
ГЛАВА IV ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Предельные задачи в случае обыкновенного дифференциального уравнения.
172. Функция Грина линейного уравнения второго порядка (515).
173. Приведение к интегральному уравнению (519). 174. Симметрия функции Грина (521). 175. Собственные значения и собственные
функции предельной задачи (523). 176. Знак собственных значений (525). 177. Примеры (527). 178. Обобщенная функция Грина (529). 179. Полиномы Лежандра (531). 180. Функции Эрмита и Лагерра (539). 181. Урав- -нение четвертого порядка (540). 182. Уточненные теоремы разложения В. А. Стеклова (542). 183. Оправдание метода Фурье для уравнения теплопроводности (547). 184. Оправдание метода Фурье для уравнения колебаний (549). 185. Теоремы единственности (552). 186. Экстремальные свойства собственных значений и функций (555). 187. Теорема Куранта (556). 188. Асимптотическое выражение собственных значений (561). 189. Асимптотическое выражение собственных функций (566). 190. Метод Ритца (568). 191. Пример Ритца (570).
§ 2. Уравнения эллиптического типа.
192. Ньютонов потенциал (572). 193. Потенциал двойного слоя (575). 194. Свойства потенциала простого слоя (583). 195. Нормальная производная потенциала простого слоя (585). 196. Нормальная производная потенциала простого слоя (продолжение) (587). 197. Прямое значение нормальной производной (589). 198. Производная потенциала простого слоя по любому направлению (593). 199. Логарифмический потенциал (597). 200. Интегральные формулы и параллельные поверхности (599). 201. Последовательности гармонических функций (605). 202. Постановка внутренних предельных задач для уравнения Лапласа (607). 203. Внешние задачи в случае плоскости (607). 204. Преобразование Кельвина (613). 205. Единственность решения задачи Неймана (617). 206. Решение предельных задач в трехмерном случае (620). 207. Исследование интегральных уравнений (622). 208. Своака результатов, касающихся решений предельных задач (627). 209. Предельные задачи на плоскости (630). 210. Интегральное уравнение сферических функций (631). 211. Тепловое равновесие излучающего тела (631). 212. Метод Шварца (634). 213. Доказательство леммы (635). 214. Метод Шварца (продолжение) (637). 215. Суб- и супергармонические функции (642). 216. Вспомогательные предложения (645). 217. Метод нижних и верхних функций (647). 218. Исследование граничных значений (650). 219. Уравнение Лапласа в n-мерном пространстве (655). 220. Функция Грина оператора Лапласа (656). 221. Свойства функции Грина (659). 222. Функция Грина в случае плоскости (662). 223. Примеры (665). 224. Функция Грина и неоднородное уравнение (667). 225. Собственные значения и собственные функции (671). 226. Нормальная производная собственных функций (675). 227. Экстремальные свойства собственных значений и функций (677). 228. Уравнение Гельмгольца , и принцип излучения (679). 229. Теорема единственности (681). 230. Принцип предельной амплитуды (683). 231. Предельные задачи для уравнения Гельмгольца (684). 232. Диффракция электромагнитной волны (690). 233. Вектор магнитной напряженности (692). 234. Единственность решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений (693).
235. Уравнение 4р — Xt>==0 (696). 236. Асимптотическое выражение собственных значений (701). 287. Доказательство вспомогательной теоремы (706). 238. Линейные уравнения более общего вида (715).
239. Линейные эллиптические уравнения второго порядка (716).
240. Тензор Грина (720). 241. Плоская статическая задача теории упругости (722).
§ 3. Уравнения параболического и гиперболического типов.
242. Зависимость решений уравнения теплопроводности от начального и предельного условий и свободного члена (724). 243. Потенциалы для уравнения теплопроводности в одномерном случае (727). 244. Тепловые источники в многомерном случае (730). 245. Функция Грина урав-нения теплопроводности (732). 246. Применение преобразования Лапласа (733). 247. Применение конечных разностей (737). 248. Метод Фурье (740). 249. Неоднородное уравнение (742). 250. Свойства решений уравнения теплопроводности (746). 251. Обобщенные потенциалы простого и двойного слоя в одномерном случае (748). 252. Суб- и суперпараболические функции (754). 253. Основные неравенства для решений волнового уравнения (755). 254. Случай неоднородного уравнения (759). 255. Метод Фурье и обобщенные решения (764). 255. Исследование ряда Фурье (768). 257. Предположения о контуре (774). 258. Вспомогательные предложения (776). 259. Преобразование контурных интегралов (778). 260. Доказательство основного неравенства (781). 261. Производные собственных функций (784). 262. Доказательство вспомогательных предложений (785). 263. Предельная задача цля сферы (789). 264. Колебания внутренней части сферы (792). 265. Исследование решения (796). 266. Предельная задача для телеграфного уравнения (799). Алфавитный указатель.........................801
Цена: 600руб.
