Монография посвящена современным статистическим методам планирования оптимальных экспериментов, с которыми приходится сталкиваться при выяснении механизмов явлений. С математической точки зрения в монографии рассматриваются вопросы, связанные с проблемой анализа и планирования регрессионных экспериментов. Оптимальными считаются такие эксперименты, которые позволяют получить наибольшее количество сведений об изучаемых явлениях при заданных затратах (время, денежные или материальные затраты). Методы планирования подобных экспериментов начали интенсивно развиваться лишь в последнем десятилетии.
Таблиц 10, рисунков 35, библиография — 77 названий.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................... 5
Введение ............................. 7
Глава 1. Регрессионный анализ и критерии оптимальности
регрессионных экспериментов.......... 17
§ 1.1. Основные элементы матричной алгебры......... 17
§ 1.2. Общие требования, предъявляемые к оценкам..... 26
§ 1.3. Наилучшие линейные оценки.............. 28
§ 1.4. Поиск оценок при нелинейной параметризации. Наилучшая квазилинейная оценка ............. 38
§ 1.5. Оценка дисперсии результатов наблюдений. Эффективность эксперимента .................. 41
§ 1.6. Регрессионный анализ при наличии ошибок в определении контролируемых переменных .......... 45
§ 1.7. Анализ экспериментальных данных в случае одновременного измерения нескольких величин ........ 55
§ 1.8. Способы сравнения результатов экспериментов .... 57 § 1.9. Функция потерь для регрессионных экспериментов ... 61 § 1.10. Понятие плана эксперимента. Непрерывные нормированные планы........................ 63
Глава 2. Непрерывные оптимальные планы (статические
методы)....................... 70
§ 2.1. Основные свойства информационной матрицы..... 70
§ 2.2. Эквивалентность D-оптимальных и минимаксных планов.
Основные свойства этих планов............. 74
§ 2.3. Полиномиальная одномерная регрессия......... 89
§ 2.4. Тригонометрическая регрессия на отрезке....... 101
§ 2.5. Численные методы построения D-оптимальных планов . . 104 § 2.6. Некоторые особенности итерационной процедуры построения D-оптимальных планов ............. 113
§ 2.7. Усеченные D-оптимальные планы............ 124
§ 2.8. Нелинейная параметризация поверхностей отклика. Локально D-оптимальные планы.............. 130
§ 2.9. Линейные критерии оптимальности........... 132
§ 2.10. Итерационный метод построения линейно оптимальных
планов .......................... 143
§ 2.11. Планы, минимизирующие Sp D (г)............ 148
§ 2.12. Планы, минимизирующие среднее по области значение
дисперсии оценки поверхности отклика ......... 153
§ 2.13. Экстраполяция в точку................. 156
§ 2.14. Квадратичные потери.................. 164
Глава 3. Свойства и методы построения точных оптимальных планов .................. 167
§ 3.1. Дискретные планы .................... 167
§ 3.2. Свойства и методы построения точных D-оптимальных
планов........................... 173
§ 3.3. Построение точных линейно оптимальных планов .... 180 § 3.4. Построение квазиоптимальных планов при неадекватных
моделях ......................... 184
Г лав а 4. Последовательные методы планирования экспериментов по уточнению и определению оценок искомых параметров ............... 184
§ 4.1. Некоторые особенности современных экспериментальных
исследований....................... 194
§ 4.2. Последовательные D-оптимальные планы (линейная параметризация и постоянная во времени эффективность эксперимента) ....................... 196
§ 4.3. Последовательные линейно оптимальные планы (линейная параметризация и постоянная во времени эффективность эксперимента)....................... 207
§ 4.4. Последовательное планирование при нелинейной параметризации ........................ 210
§ 4.5. Планирование при неизвестной функции эффективности
эксперимента ....................... 224
§ 4.6. Планирование при наличии ошибок в определении контролируемых переменных................ 227
§ 4.7. Построение оптимальных планов при изменении во времени экспериментальных условий............ 228
Глава 5. Планирование экспериментов в случае одновременного измерения нескольких величин . . 234
§ 5.1. Основные свойства информационной матрицы...... 234
§ 5.2. О-оптимальные планы.................. 236
§ 5.3. Линейно оптимальные планы.............. 246
§ 5.4. Последовательное планирование............. 249
Глава 6. Дискриминирующие эксперименты ....... 251
§ 6.1. Постановка задачи.................... 251
§ 6.2. Критерии опирающиеся на меры, зависящие от разности
сумм взвешенных квадратичных отклонений...... 256
§ 6.3. Метод отношения вероятностей............. 277
§ 6.4. Дискриминация на основе энтропийной меры информации 284
Глава 7. Обобщенные критерии оптимальности..... 293
§7.1. Эксперименты, минимизирующие обобщенные потери . . 293 § 7.2. Информационный подход к общей проблеме поиска
истинной математической модели............. 296
Литература............................ 309
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная монография посвящена недавно возникшему и быстро развивающемуся направлению —планированию экспериментов. Основное внимание уделяется планированию экспериментов по поиску математических моделей изучаемых процессов.
В гл. 1 излагаются сведения из регрессионного анализа, в размере, необходимом для построения математического аппарата планирования экспериментов. В основу построения схемы регрессионного анализа положено понятие наилучшей линейной оценки (или наилучшей квазилинейной оценки для случая нелинейной зависимости математических моделей от неизвестных параметров). Подобный подход позволяет развить теорию оптимального эксперимента по определению оценок неизвестных параметров, не опираясь на конкретный вид функции распределения результатов наблюдений. Первый параграф указанной главы носит вспомогательный характер и содержит сведения из матричной алгебры. Цель его — собрать воедино необходимые при регрессионном анализе и планировании эксперимента основные формулы матричной алгебры, разбросанные по разным источникам, и тем самым облегчить читателю ознакомление с основным материалом. Заключительные параграфы первой главы посвящены формулировке основных критериев оптимальности экспериментов по определению и уточнению неизвестных параметров. Там же вводится формальное определение эксперимента и плана эксперимента.
Гл. 2 посвящена изложению основных свойств непрерывных статических оптимальных планов для различных критериев оптимальности. Здесь же исследуются как аналитические, так и численные методы построения
Цена: 150руб.
