Жевержеев В. Ф., Кальницкий Л. А., Сапогов Н. А.
Специальный курс высшей математики для втузов. «Высшая школа», 1970.
В книге излагаются следующие специальные главы: теория функции комплексного переменного, ряды и интеграл Фурье, операционное исчисление, элементы линейной алгебры, теория вероятностей, математическая статистика.
В каждой главе приведены задачи и примеры с подробными решениями и иллюстрациями, а также подобрано достаточное количество примеров и задач для упражнений.
Книга предназначена в качестве учебного пособия для студентов втузов, изучающих математику по расширенной программе. Она может быть использована инженерами, желающими повысить- свою математическую квалификацию.
Избранная авторами методика изложения делает пособие вполне пригодным для самостоятельного овладения предметом.
В книге 102 рисунка, 12 таблиц.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние годы во втузах нашей страны значительно увеличен курс математики. Наряду с традиционными разделами геометрии и анализа стали излагаться специальные главы математических дисциплин, необходимые современному инженеру. Особое значение приобрело изучение теории функций комплексного переменного, алгебры, теории вероятностей и математической статистики.
Студенты должны усвоить обширный и разнообразный комплекс математических идей, понятий и методов в ограниченное время. В отечественной литературе имеется много превосходных руководств по указанным разделам математики, но не всегда доступных студентам втузов.
Авторы предлагаемой книги ставили перед собой задачу написать руководство по некоторым разделам высшей математики, доступное для студентов втузов.
Включая в книгу значительное число подробно разобранных задач и упражнений, авторы стремились сделать книгу пригодной для самостоятельного изучения.
Книга может быть использована инженерно-техническими работниками с целью повышения своей математической квалификации. Предполагается, что читатель знаком с общим курсом высшей математики в объеме известных учебников для втузов А. Ф. Берманта или Н. С. Пискунова.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр. Предисловие......................3
Г л а в а I
Функции комплексного переменного
§ 1. Комплексные числа.................. 5
1.1. Комплексные числа........ .......6
1.2. Сложение и вычитание.......* .....9
1.3. Умножение и деление........ '.....'. 11
1.4. Возвышение в степень и извлечение корня ....... 13
1.5. Сфера комплексных чисел............. 15,-
§ 2. Функции комплексного переменного............16
1.6. Области и их границы. Окрестности.......... 16
1.7. Функции комплексного переменного......... 19
1.8. Предел последовательности............'.22
1.9. Предел функции................. 23
1.10. Непрерывность функции.............. 24
§ 3. Простейшие трансцендентные функции........... 27
1.11. Показательная функция.......... ... 27
1.12. Логарифмическая функция............. 28
1.13. Тригонометрические функции............ 29
1.14. Обратные тригонометрические функции......... 30
1.15. Гиперболические функции............. 31
1.16. Функции обратные гиперболическим.......... 32
1.17. Общая степенная функция ............. 32
§ 4. Производная и дифференциал.............. 34
1.18. Производная ...............' . . . 34
1.19. Условия Коши—Римана.............. 34
1.20. Аналитические функции. Дифференциал ..."..... 36
1.21. Связь аналитических функций с гармоническими ..... 39
1.22. Геометрический смысл аргумента и модуля производной . . 40
1.23. Конформные отображения ............. 42
§ 5. Конформные отображения............... 44
1.24. Общие принципы .....'.......... . 44
1.25. Линейная функция..............! . 46
1.26. Инверсия ................... 48
1.27. Функция да ="=--................ 50
1.28. Дробно-линейная функция............. 51
1.29. Степенная функция................ 57
1.30. Радикал .'....•............... 59
1.31. Показательная функция............. 62
1.32. Логарифмическая функция............. 64
1.33. Функция Жуковского . ............. 66
1.34. Тригонометрические функции............ 70
1.35. Аналитические продолжения. Принцип симметрии .... 72 § 6. Интегрирование функций комплексного переменного...... 76
1.36. Интеграл от функции комплексного переменного..... 76
1.37. Вычисление контурных интегралов..........78
1.38. Теорема Коши................. 79
1.39. Независимость контурного интеграла от пути интегрирования 82
1.40. Неопределенный интеграл.............. 84
1.41. Формула Ньютона—Лейбница............ °5
1.42. Формула Коши..............• • • • jjjj
1.43. Производные высших порядков от аналитической функции 88
1.44. Теорема о среднем и некоторые ее следствия...... 89
§ 7. Ряды ....................... 9
1.45. Числовые ряды.................. ••'
1.46. Функциональные ряды ..............' QC
1.47. Степенные ряды . . ,.............. 96
1.48. Ряд Тейлора................... 99
1.49. Ряд Лорана................... }}«-
1.50. Нули аналитической функции............ |«7
1.51. Особые точки.................. '""
1.52. Связь между нулями и полюсами.........• „
1.53. Поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки .................' ' ' пс
§ 8. Вычеты функции................... 1|1*
1.54. Вычет функции в конечной изолированной особой точке . .116
1.55. Вычет функции в конечном полюсе......... 117
1.56. Вычет функции в бесконечно удаленной точке...... 120
1.57. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов 122
Глава II Элементы гармонического анализа
§ 1. Тригонометрические многочлены и ряд Фурье........ 127
2.1. Периодические функции.............. 127
2.2. Тригометрические многочлены............ 128
2.3. Формулы Эйлера—Фурье...........• . '30
2.4. Ряд Фурье. Теорема Дирихле ............ 131
2.5. Ряд Фурье для функции, заданной на интервале длины Т . .133
2.6. Ряды Фурье для четной и нечетной функции....... 134
2.7. Ряды Фурье для функции, заданной на интервале 0, —^-\ 140
2.8. Практический гармонический анализ......... . 142
2.9. Связь между рядом Фурье и рядом Лорана . . . . . . .146
§ 2. Ряды Фурье усиленной сходимости.............148
2.10. Порядок убывания коэффициентов Фурье....... . 148
2.11. О важности быстроты сходимости рядов Фурье.....152
2.12. Разложение функции в быстро сходящийся ряд Фурье (метод А. С. Малиева)................153
2.13. Усиление сходимости рядов Фурье (метод А. Н. Крылова) 156 § 3. Спектры периодических функций............. 164
2.14. Комплексное представление гармонического колебания . . . .164
2.15. Амплитудный и фазовый спектры периодической функций. . .165
2.16. Равенство Парсеваля............... 167
2.17. Высокочастотное колебание............. 168
§ 4. Интеграл Фурье........,.......• • .172
2.18. Интегральная теорема Фурье ............ 172
2.19. Аналогия с рядами Фурье..............174
2.20. Действительная форма интеграла Фурье........-176
2.21. Порядок убывания спектральной функции.......179
2.22. Равенство Парсеваля для непериодических функций ... 181
Глава III Операционное исчисление
§ 1. Оригиналы и изображения ............... 183
3.1. Оригиналы и изображения......... , . • . 183
3.2. Существование изображений ...... . . . •. . .
3.3. Примеры вычисления изображений. Дифференцирование
• и интегрирование изображений.....: . . . . . . 1
§ 2. Основные теоремы операционного исчисления. Изображение периодических оригиналов.................. !
. 3.4. Теорема подобия................. 1
. ,3.5. Теорема запаздывания...............192
Д6. Теорема смещения................196
,'. 3.7. Теорема умножения................197
3.8. Изображения периодических оригиналов........ 20Q
5 3. Дифференцирование и интегрирование оригиналов. Приложение
: ; ,к интегрированию линейных дифференциальных уравнений с по-. стоянными коэффициентами . . ..............20$
3.9. Дифференцирование оригиналов...........203
: 3.10. Интегрирование оригиналов.............205
.3.11. Интегрирование обыкновенных линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами.......205
: 3.12. Интегрирование систем линейных уравнений.......208
1 ; 3.13. Интеграл Дюамеля.................20{
§ 4. Теоремы разложения . . . . . . . ...........211
3.14. Первая теорема разложения.............211
3.15. Вторая теорема разложения............21!
§ 5. Изображение некоторых специальных функций ........ 22(
3.16. Импульсные функции Дирака............22(
' 3.17. Гамма-функция и изображения дробных степеней .... 22' =- 3.18. Функции Бесселя................22^
' § б; Общий способ определения оригинала по изображению . . . .22!
3.19. Интеграл Бромвича................ 22!
3.20. Формула обращения Римана—Меллина........23
•'" 3.21. Нахождение оригинала в случае, когда его изображение явля-
; ется мероморфной функцией..............23!
3.22. Нахождение оригинала путем непосредственного применения формул обращения................23!
• 3.23. Преобразование Фурье и его связь с преобразованием Лап-
ласа ............„...... ... 231
Г л а в а IV . Элементы линейной алгебры
§ 1. Матрицы...................... 24
•4.1. Первоначальные'понятия...............24
' • '4.2. Определители -п-го порядка. Свойства и некоторые теоремы 24
' '4Д Действия над матрицами...............24
*• -4~4. Линейные преобразования и матрицы.........24
:' '4.5. Транспонирование матриц ........,......2?
'' '4.6. Обратная матрица.................2Е
' '• -4.7. Решение матричных уравнении...........2Е
4.8. Клеточные (блочные) матрицы............2J
'- -;4.9. Треугольные матрицы . , . ... . . .......2J
'• '4.-10. Ортогональные матрицы- .............. 2(
i;''4,ll. Модуль -и норма -матрицы . ... .........2(
4.12. Элементарные преобразования матриц.........2(
4.13. Ранг матрицы . . .м i *...-.'•...........2(
§ 2. Элементы теории линейных векторных пространств......21
4.14. Определение линейного векторного пространства.....21
, ;4.15. Линейная зависимость векторов . . ... ; . ... ..21
• -'-'-A IA- ОООЧРПНПГТК Базис и координаты : •.'' :. :. '. . . . : • . .2'
^ .1 *.
4.17. Арифметическое линейное пространство........27}
—- ..... УП
274 277 277 278 280 , 280 . 280
4.18. Евклидово пространство
4.19. Преобразование координат . • .
4.20. Ортогональный базис .....
4.21. Подпространства .......
4.22. Изоморфизм линейных пространств
4.23. Линейные оболочки. Гиперплоскость § 3. Решение систем линейных уравнений . .
4.24. Формулы Крамера . . :...........
4.25. Вычисление ранга матрицы.............283
4.26. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера—
Капелли....................285
4.27. Система линейных однородных уравнений ........290
§ 4. Характеристические числа и собственные векторы матрицы. Подобные матрицы.................• • 291
4.28. Характеристические числа и собственные векторы матрицы 291
4.29. Теорема Гамильтона—Кэли.............294
4.30. Подобные матрицы................297
Г л ав а V Теория вероятностей
§ 1. Вероятность и ее основные свойства ............ 300
5.1. Испытания и события...............300
5.2. Частота и ее устойчивость..............300
5.3. Частные случаи, объединение и пересечение событий . . . 302
5.4. Примеры...................304
5.5. Поле событий.................. 304
5.6. Свойства частот событий поля............306
5.7. Определение вероятностей событий поля ......... 307
§ 2. Примеры вычисления вероятностей............; 309
5.8. Применение теоремы сложения вероятностей......309
5.9. Классическое определение вероятностей........ 310
• 5.10. Примеры классического подхода к вычислению вероятностей 312
§ 3. Условные вероятности. Независимость событий и испытаний . . .'. 314
5.11. Условные частоты событий.............: .. 314
5.12. Определение условной вероятности..........' 315
5.13. Условная вероятность как вероятность на поле SB.....316
5.14. Вероятность совмещения событий........... 317
5.15. Теорема умножения вероятностей........... 318
5.16. Независимость двух событий........, . . . . 319
5.17. Независимость п событий и испытаний.........319
5.18. Надежность механизмов и систем........'..' . .320
§ 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса........322
5.19. Формула полной вероятности............; 322
5.20. Формула Байеса........„ ........323
§5. Схема Бернулли................... 325
5.21. Определение и примеры • >............325
5.22. Число осуществлений событий за п испытаний ..... 326, § 6. Теорема Лапласа.................. . 327 •
5.23. Локальная форма теоремы Лапласа.........ч 327
5.24. Интегральная форма теоремы Лапласа.....«... 328
525. Функция Ф(х) и таблица ее значений.........330
5.26. Вычисление вероятностей по теореме Лапласа......332
$ 7. Закон больших чисел для схемы Бернулли. Теорема Пуассона . . 333
5.27. Закон больших чисел................ 333
е «о п—_«.„„„ *пп.™ля rivaccoua............336
5 8. Случайные величины и распределение вероятностей. Закон боль-
•ших чисел.....................338
5.29. Понятие случайной величины.........., . 338
5.30. Распределение вероятностей случайной величины.....339
,5.31. Числовые характеристики случайной величины.....341
5.32. Примеры случайных величин.............344
5.33. Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин ....................345
5.34. Вычисление M\i и ?>ц.............. . 347
5.35. Закон больших чисел............... 348
§ 9. Нормальное распределение. Центральная предельная теорема . . 352
5.36. Нормальное распределение и смысл его параметров .... 352
5.37. Центральная предельная теорема......... . . 354
§ 10. Векторные случайные величины.............357
5.38. Случайный вектор и его распределение вероятностей . . . 357
5.39. Частные и условные распределения вероятностей компонентов случайного вектора................359
5.40. Коэффициент корреляции..............362
5.41. Равномерное распределение в двумерной области.....364
5.42. Нормальное распределение двух измерений.......365
Глава VI Основные понятия математической статистики
§ 1. Выборка и выборочные распределения ..........367
6.1. Генеральная совокупность и выборка . ,.......367
6.2. Распределение выборки.............. 368
6.3. Числовые характеристики выборки..........369
6.4. Выравнивание эмпирических данных .........371
;б.5. Выборочные распределения.............373
§ 2. Оценка параметров генеральной совокупности........375
. 6.6. Точечные оценки.................375
6.7. Доверительные интервалы..............379
6.8. Выборочные распределения некоторых статистик.....382
.6.9. Доверительные интервалы (продолжение).......386
§ 3. Статистическая проверка гипотез.............388
6.10. Описание способа проверки гипотез..........388
6.11. Критерии значимости для проверки гипотез о среднем значении .....................391
.6.12. Критерии согласия................393
§ 4. Построение эмпирических линий регрессии..........396
6.13. Выборка из двумерной генеральной совокупности и ее числовые характеристики................396
. 6.14. Линии регрессии выборки..............397
Ответы к задачам главы I .... г............400
Ответы к задачам главы II.................404
Ответы к задачам главы III.................408
Ответы к задачам главы IV.................411
Ответы к задачам главы V.................411
Ответы к задачам главы VI.................411
Цена: 150руб.
