Математика	Физика	Химия	Биология	Техника и технологии
	Основы вычислительной математики-Б.П.Демидович Москва 1963 стр.658
Основы вычислительной математики-Б.П.Демидович Москва 1963 стр.658 АННОТАЦИЯ Книга посвящена изложению важнейших методов — — - быть^ полезна также для лиц, работаю^ в области прикладной математики. ОГЛАВЛЕНИЕ к первому изданию.................... 9 Предисловие ко второму изданию............... . . . . 12 Введение. Общие правила вычислительной работы ......... 13 ГН&ва I. Приближенные числа................... 17 § 1. Абсолютная и относительная погрешности.......' . . 17 52. Основные источники погрешностей............. 20 3. Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра. ,Число верных знаков.................... 21 § 4. Округление чисел...................... 24 § 5. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа........... . 25- § 6. Таблицы для определения предельной относительной погрешности по числу верных знаков и наоборот......... 28 § 7. Погрешность суммы .....'.............. . 31 §, 8. Погрешность разности................... 33 § 9. Погрешность произведения...............'... 35 § 10. Число верных знаков произведения........ '..... 37 § 11. Погрешность частного................... 38 § 12. Число верных знаков частного............... 39 § 13. Относительная погрешность степени............. 39 § 14. Относительная погрешность корня .,............ 39 § 15. Вычисления без точного учета погрешностей........ 4j § 16. Общая формула для погрешности............. . 41 § 17. Обратная задача теории погрешностей........... 43 § 18. Точность определения аргумента для функции, заданной таблицей.......................... 46 § 19. Способ границ.......................... 48 § 20. Понятие о вероятностной оценке погрешности....... 51 Литература к первой главе...................... 52 Глава II. Некоторые сведения из теории цепных дробей .... 53 § 1. Определение цепной дроби .'.-...-............ 53 § 2. Обращение цепной дроби в обыкновенную и обратно .... 54 § Зт Подходящие дроби . . ................... 56 § 4. Бесконечные цепные дроби ................. 64 § 5. Разложение функций в цепные дроби ............ 70 Литература ко-второй главе . . . . ..................... 73 Глава III. Вычисление значений функций......... ... 74 § 1. Вычисление значений полинома. Схема Горнёра....... 74 § 2. Обрбщенная схема Горнёра ................. 77 § 3. Вычисление значений рациональных дробей . . . . .' . . . . 79 § 4. Приближенное нахождение сумм числовых рядов...... 80 § 5. Вычисление значений аналитической функции........ 86 § 6. Вычисление значений показательной функции........ 88 § 7. Вычисление значений логарифмической функции ....... 92 § 8. Вычисление значений тригонометрических функций..... 95 § 9. Вычисление значений гиперболических функций....... 98 § 10. Применение метода итерации для приближенного вычисления значений функции...................... 100 § 11. Вычисление обратной величины............... 101 § 12. Вычисление квадратного корня............... 104 § 13. Вычисление обратной величины квадратного корня ...... 108 § 14. Вычисление кубического корня............... 108 Литература к третьей главе..................... 111 ,ii Глава IV. Приближенное решение алгебраических и трансцен- дентных уравнений................... 112 § 1. Отделение корней...................... 112 § 2. Графическое решение уравнений.............. 116 § 3. Метод половинного деления................. 118 § 4. Способ пропорциональных частей (метод хорд)....... 119 § 5. Метод Ньютона (метод касательных)............ 123 § 6. Видоизмененный метод Ньютона........\|...... 131 § 7. Комбинированный метод.................. 132 § 8. Метод итерации. . ..................... . 135 § 9. Метод итерации для системы двух уравнений ........ 148 § 10. Метод Ньютона для системы двух уравнений........ 152 § 11. Метод Ньютона для случая комплексных корней ., . . . . . 153 Литература к четвертой главе.................... 157 Глава V. Специальные приемы для приближенного решения алгебраических уравнений............... 158 § 1. Общие свойства алгебраических уравнений . . . . _..... 158 § 2. Границы действительных корней алгебраических уравнений 163 § 3. Метод знакопеременных сумм................ 165 § 4. Метод Ньютона ...................... 167 § 5. Число действительных корней полинома........... 169 f6. Теорема Бюдана — Фурье.................. 171 7. Идея метода Лрбачевского — Греффе............ 176 § 8. Процесс квадрирования корней............... 178 § 9. Метод Лобачевского — Греффе для случая действительных различных корней...................... 180 § 10. Метод Лобачевского—Греффе для случая комплексных корней 183 § 11. Случай пары комплексных корней.............. 186 § 12. Случай двух пар комплексных корней........... 190 § 13. Метод Бернулли...................... 195 Литература к пятой главе . . .................... 198 Глава VI. Улучшение сходимости рядов............. 199 § 1. Улучшение сходимости числовых рядов........... 199 § 2. Улучшение сходимости степенных рядов методом Эйлера — Абеля............................ 205 § 3. Оценки коэффициентов Фурье................ 210 § 4. Улучшение сходимости тригонометрических рядов Фурье, методом А. Н. Крылова.................... 213 § 5. Приближенное суммирование тригонометрических рядов ... 222 Лниература к шестой главе..................... 224 Глава VII. Алгебра матриц ....................225 § 1. Основные определения...................225 § 2. Действия с матрицами...................226 § 3. Транспонированная матрица.................230 § 4. Обратная матрица.....................231 § 5. Степени матрицы......................236 § 6. Рациональные функции матрицы..............237 § 7. Абсолютная величина и норма матрицы...........238 § 8. Ранг матрицы........................244 § 9. Предел матрицы......................245 § 10. Матричные ряды......................247 §11. Клеточные матрицы.............,.......252 § 12. Обращение матриц при помощи разбиения на клетки .... 255 § 13. Треугольные матрицы....................260 § 14. Элементарные преобразования матриц............ . 263 § 15. Вычисление определителей.................264 Литература к седьмой главе.....................267 Глава VIII. Решение систем линейных уравнений ........268 § 1. Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений..........................268 § 2. Решение систем с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера.....................-......268 § 3. Метод Гаусса........................272 § 4. Уточнение корней. .....................279 § 5. Метод главных элементов..................281 § 6. Применение метода Гаусса для вычисления определителей . . 283 § 7. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.......285 § 8. Метод квадратных корней................. 287 § 9. Схема Халецкого......................290 § 10. Метод итерации......................294 § 11. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации............................ 301 § 12. Метод Зейделя.......................303 § 13. Случай нормальной системы................305 § 14. Метод релаксации.....................307 § 15. Исправление элементов приближенной обратной матрицы . . 310 Литература к восьмой главе.....................314 Глава IX . Сходимость итерационных процессов для систем линейных уравнений..................315 § 1. Достаточные условия сходимости процесса итерации.....315 § 2. Оценка погрешности приближений процесса итерации . . . .317 § 3. Первое достаточное условие сходимости процесса Зейделя . . 320 § 4. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по да-норме...........................322 § 5. Второе достаточное условие сходимости процесса Зейделя . . 323 § 6. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по /-норме...........................325 § 7. Третье достаточное условие сходимости процесса Зейделя . . 326 Литература к девятой главе.....................328 J л а в а X. Основные сведения из теории линейных векторных пространств...................... . 329 § 1. Понятие линейного векторного пространства........ 329 § 2. Линейная зависимость векторов..........- - - ячп § 3. Скалярное произведение векторов.............. 335 § 4. Ортогональные системы векторов.............. 338 § 5. Преобразования координат вектора при изменениях базиса . . 340 § 6. Ортогональные матрицы.................. 342 § 7. Ортогонализация матриц ....-.-............. 343 § 8. Применение методов ортогонализации к решению систем линейных уравнений...................... 351 § 9. Пространство решений однородной системы......... 356 § 10. Линейные преобразования переменных........... 359 § 11. Обратное преобразование.................. 365 § 12. Собственные векторы и собственные 'значения матрицы . . . 367 § 13. Подобные матрицы..................... 372 § 14. Билинейная форма матрицы................. 375 § 15. Свойства симметрических матриц............. . 376 § 16. Свойства матриц с действительными элементами...... 381 Литература к десятой главе ..................... 385 Глава XI . Дополнительные сведения о сходимости итерационных'процессов для систем линейных уравнений. . . 386 § 1. Сходимость матричных степенных рядов........... 386 § 2. Тождество Гамильтона — Кели................. 389 § 3. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса итерации для системы линейных уравнений........... 390 § 4. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса .Зейделя для системы линейных уравнений.......... 392 § 5. Сходимость процесса Зейделя для нормальной системы .... 395 § 6. Способы эффективной проверки условий сходимости...... 397 Литература к одиннадцатой главе.................. 401 Глава XII. Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы...................402 § 1. Вводные замечания ........ .^............402 § 2. Развертывание вековых определителей ...........402 § 3. Метод А. М. Данилевского.................404 § 4. Исключительные случаи в методе А. М. Данилевского . . . 410 . § 5. Вычисление собственных векторов по методу А. М. Данилевского . . -.........................411 § 6. Метод А. Н. Крылова .................... 412 § 7. Вычисление собственных векторов по методу А. Н. Крылова 416 § 8. Метод Леверрье..........,............417 § 9. Понятие о методе неопределенных коэффициентов......419 § 10. Сравнение различных методов развертывания векового определителя..........................421 § Ц. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы и соответствующего собственного вектора.....421 § 12. Метод скалярных произведений для нахождения первого собственного значения действительной матрицы.......428 § 13. Нахождение второго собственного значения матрицы и второго собственного вектора . ....... ......... 431 § 14. Метод исчерпывания....................434 § 15. Нахождение собственных элементов положительно' определенной симметрической матрицы..............437 § 16. Использование коэффициентов характеристического полинома матрицы для ее обращения.................442 § 17. Метод Л. А. Люстерника улучшения сходимости Процесса итерации для решения системы линейных уравнений .... 444 Литература к двенадцатой главе...................449 Глава XIII. Приближенное решение систем нелинейных уравнений ...........................450 & 1. Метод Ньютона....................... 450 § 2. Общие замечания о сходимости процесса Ньютона..... 456 S 3* Существование корней системы и сходимость процесса s Ньютона.......................... 460 § 4. Быстрота сходимости процесса Ньютона.......... 465 § 5. Единственность решения.................. 466 § 6. Устойчивость сходимости процесса Ньютона при варьировании начального приближения................ 469 § 7. Модифицированный метод Ньютона............ 471 § 8. Метод итерации...................... 474 § 9. Понятие о сжимающем отображении............ 477 § 10. Первое достаточное условие сходимости процесса итерации ............................ 481 § 11. Второе достаточное условие сходимости процесса итерации 483 § 12. Метод скорейшего спуска (метод градиента)........ 485 § 13. Метод скорейшего спуска для случая системы линейных уравнений......................... 490 § 14. Метод степенных рядов.................. 494 Литература к тринадцатой главе................... 496 Глава XIV. Интерполирование функций.............497 § 1. Конечные разности различных порядков.........'. . 497 § 2. Таблица разностей.....................500 § 3. Обобщенная степень....................505 § 4. Постановка задачи интерполирования............507 § 5. Первая интерполяционная формула Ньютона........508 § 6. Вторая интерполяционная формула Ньютона......... 514 § 7. Таблица центральных разностей............... 518 § 8. Интерполяционные формулы Гаусса............. 519 § 9. Интерполяционная формула Стирлинга........... 521 § 10. Интерполяционная формула Бесселя............. 521 § 11. Общая характеристика интерполяционных формул с постоянным шагом............. . v.......... 524 § 12. Интерполяционная формула Лагранжа............ 527 § 13. Вычисление лагранжевых коэффициентов.......... 531 § 14. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа 535 § 15. Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона 537 § 16. Оценки погрешностей центральных интерполяционных формул 539 § 17. О наилучшем выборе узлов интерполирования....... 540 § 18. Разделенные разности.................... 542 § 19. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих значений аргумента..................... 544 § 20. Обратное интерполирование для случая равноотстоящих узлов 547 § 21. Обратное интерполирование для случая неравноотстоящих узлов............................ 550 § 22. Нахождение корней уравнения методом обратного интерполирования......................... 551 § 23. Метод интерполяции для развертывания векового определителя ............................ 553 § 24. Интерполирование функций двух переменных....... 555 § 25. Двойные разности высших порядков............ 557 § 26. Интерполяционная формула Ньютона для функции двух пере- менных.......................... 558 Литература к четырнадцатой главе.................. 561 Глава XV. Приближенное дифференцирование . . . ....... 562 § 1. Постановка вопроса..................... 562 § 2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона......... 563 § 3. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на формуле Стирлинга..................... 567 § 4. Формулы численного дифференцирования для равноотстоящих точек, выраженные через значения функции в этих точках 571 § 5. Графическое дифференцирование............... 574 § 6. Понятие о приближенном вычислении частных производных 575 Литература к пятнадцатой главе ..... .............. 576 Глава XVI. Приближенное интегрирование функций ....... 577 § 1. Общие замечания......................577 § 2. Квадратурные формулы Ньютона — Котеса.........580 § 3, Формула трапеций и ее остаточный член..........582 § 4. Формула Симпсона и ее остаточный член..........583 § 5. Формулы Ньютона — Котеса высших порядков.......586 § 6. Общая формула трапеций (правило трапеций)........588 § 7. Общая формула Симпсона (параболическая формула) .... 589 § 8. Понятие о квадратурной формуле Чебышева........593 § 9. Квадратурная формула Гаусса...............597 § 10. Некоторые замечания о точности квадратурных формул . . . 604 § 11. Экстраполяция по Ричардсону...............607 § 12. Числа Бернулли......................611 § 13. Формула Эйлера — Маклорена...............613 § 14. Приближенное вычисление несобственных интегралов .... 618 § 15. Метод Л. В. Канторовича выделения особенностей.....621 § 16. Графическое интегрирование................624 § 17. Понятие о кубатурных формулах .............627 § 18. Кубатурная формула типа Симпсона............629 Литература к шестнадцатой главе..................633 Глава XVII. Метод Монте-Карло................. 634 § 1. Идея метода Монте-Карло.................. 634 § 2. Случайные числа ...................... 63S, § 3. Способы получения случайных чисел............ 638 § 4. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло .... 641 § 5. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Монте-Карло........................ 650 Литература к семнадцатой главе................... 658 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Бурное развитие новейшей техники и все большее внедрение современных разделов математики в инженерные исследования неизмеримо повысили требования к математической подготовке инженеров и научных работников, занимающихся прикладными вопросами. Математическое образование •инженера-исследователя в настоящее время не может ограничиться традиционными разделами так называемого «классического анализа», сложившегося, в основных своих направлениях, к началу нашего века. От инженера, работающего в научно-исследовательском институте, требуется теперь знание многих разделов современной математики и в первую очередь основательное владение методами и приемами вычислительной математики, так как решение почти каждой инженерной задачи должно быть доведено до численного результата. Вычислительная техника наших дней представляет новые мощные средства для фактического выполнения счетной работы. Благодаря этому во многих случаях стало возможным отказаться от приближенной трактовки прикладных вопросов и перейти к решению задач в точной постановке. Это предполагает использование более глубоких специальных разделов математики (нелинейные дифференциальные уравнения, функциональный анализ, теоретико-вероятностные методы и др.). Разумное использование современной вычислительной техники не мыслимо без умелого применения методов приближенного и численного анализа. Этим и объясняется чрезвычайно возросший как У нас, так и за рубежом интерес к методам вычислительной математики. В нашей стране было издано несколько оригинальных и переводных книг, посвященных приближенным и численным методам. Однако это не удовлетворяет в полной мере потребности читателей, так как многие из этих книг стали библиографической редкостью, а часть из них устарела или носит слишком специальный характер. Основное назначение настоящей книги — дать в известной мере систематическое и современное изложение важнейших методов и приемов вычислительной математики на базе общего втузовского Цена: 300руб.
Назад	Заказ	На главную страницу