ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов серии.............................. 8
Предисловие к третьему изданию . . .................... 9
Предисловие к первому изданию....................... 10
Введение.................................... 11
Глава 1. Комплексная переменная и функции комплексной переменной
§ 1. Комплексное Число и действия над комплексными числами .... 12 1. Понятие комплексного числа (12). 2. Действия над комплекс-ньми числами (12). 3. Геометрическая интерпретация комплексных чисел (14). 4. Извлечение корня из комплексного числа (15).
§ 2. Предел последовательности комплексных чисел.......... 17
1. Определение сходящейся последовательности (17). 2. Критерий Коши (19). 3. Бесконечно удаленная точка (20).
§ 3. Понятие функции комплексной переменной. Непрерывность ... 21 1. Основные определения (21). 2. Непрерывность (23). 3. Примеры (26).
§ 4. Дифференцирование функции комплексной переменной...... 30
• 1. Определение. Условия Коши—Римаца (30). 2. Свойства аналитических функций (33). 3. Геометрический смысл производной функции комплексной переменной (35). 4. Примеры (36).
§ 5. Интеграл по комплексной переменной............... 38
1. Основные свойства (38). 2. Теорема Коши (41). 3. Неопределенный интеграл (43).
§ 6. Интеграл Коши............................ 46
1. Вывод формулы Коши (46). 2. Следствия из формулы Коши (48). 3. Принцип максимума модуля аналитической функции (49).
§ 7. Интегралы, зависящие от параметра................ 51
1. Аналитическая зависимость от параметра (51). 2. Существование производных всех порядков у аналитической функции (53).
Глава 2. Ряды аналитических функций.................. 57
§ 1. Равномерно сходящиеся ряды функций комплексной переменной 57 1. Числовые ряды (57). 2.'Функциональные ряды. Равномерная сходимость (58). 3. Свойства равномерно сходящихся рядов. Теоремы Вейерштрасса (61). 4. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (65).
§ 2. Степенные ряды. Ряд Тейлора................... 66
1. Теорема Абеля (66). 2. Ряд Тейлора (70).
§ 3. Единственность определения аналитической функции....... 74
1. Нули аналитической функции (74). 2. Теорема единственности (75).
б . , ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 3. Аналитическое продолжение. Элементарные функции комплексной переменной............................... 79
' § 1. Элементарные функции комплексной переменной. Продолжение
с действительной оси...................-...... 79
1. Продолжение с действительной оси (79). 2'. Продолжение соотношений (83). 3. Свойства элементарных функций (86). 4. Ото- • бражения элементарных функций (90). § 2. Аналитическое продолжение. Понятие римановой поверхности . . 94
1. Основные принципы. Понятие римановой поверхности (94).
2. Аналитическое продолжение через границу (97). 3. Примеры построения аналитического продолжения. Продолжение через границу (98). 4. Примеры построения аналитического продолжения. Продолжение с помощью степенных рядов (103). 5. Правильные и особые -точки аналитической функции (105). 6. Понятие полной аналитической функции (109).
Глава 4..Ряд Лорана и изолированные особые точки.......... 111
§ 1. Ряд Лорана.............................. Щ
1. Область сходимости ряда Лорана (111). 2. Разложение аналитической функции в ряд Лорана (113).
§_2. Классификация изолированных особых точек однозначной аналитической функции ..............*.....'......... 115
Глава 5. Теория вычетов и их приложения . . . ~............ 123
§ 1. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке . . 123
1. Определение и формулы вычисления вычета (123). 2. Основная
теорема теории вычетов (125). § 2'. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов .... 128
2я
1, Интегралы вида §/?(cose, sin в) db (128). 2. Интегралы вида
о - . • •
00 00
, - ^ f(x)dx (130). 3. Интегралы вида § А*/ (х) dx. Лемма Жор-
—оо . —оо
дана (132). 4. Случай многозначных функций (138).
§ 3. Логарифмический вычет...................... . . ' 143
Ь Понятие логарифмического вычета (143). 2. Подсчет ЧИСЛА нулей аналитической функции (145).
Глава 6. Конформное отображение.......... . . ........ 148
§ 1. Общие свойства ...................... -....... 148
1. Определение конформного отображения (148). 2. Простейшие примеры (152). 3. Основные принципы (165). 4. Теорема Рима-на (160). _ '
§ 2. Дробно-линейная функция............. t ........ 163
§ 3. Функция Жуковского......... . .............. 173
§ 4. Интеграл Шварца —Кристоффеля. Отображение многоугольников . . , ................................. 175
*
Главл 7. Применение аналитических функций к решению краевых задач .................... . ................. 184
§ 1. Общие положения............г..........'. . . . 184
1. Связь аналитических и гармонических функций (184). 2. Сохранение оператора Лапласа при конформном отображении (185).
3. Задача Дирихле (187). 4. Построение функции источника (190).
§ 2. Приложения-«.задачам механики и физики............. 191
1. Плоское установившееся движение жидкости (191). 2. Плоское электростатическое поле (203).
ОГЛАВЛЕНИЕ '
Глава 8. Основные понятия операционного исчисления......... 2!2
§ 1, Определения и основные свойства преобразования Лапласа . . . 212 1. Определение преобразования Лапласа (212). 2. Изображение элементарных функций (216). 3. Свойства изображения (218). 4. Таблица свойств изображений (226). 5. Таблица изображений (226).
S 2 Определение оригинала по изображении)............. ^27
1. Формула Меллина (228). 2. Условия существования оригинала (231). 3. Вычисление интеграла Меллина (234). 4. Случай регулярной на бесконечности функции (238). •
§ 3. Решение задач для линейных дифференциальных уравнений операционным методом......................... 241
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (241). 2. Уравнение теплопроводности (245). 3, Краевая задача для уравнения в частных производных (247).
Приложение 1. Метод перевала..................... 249
1. Вводные замечания (249). 2, Метод Лапласа (252), 3. Метод перевала (259).
Приложение 2. Метод Винера—Хопфа................ 267
1. Вводные замечания (267). 2. Аналитические свойства преобразования Фурье (271). 3. Интегральные уравнения с ядром, зависящим от разности аргументов (273). 4. Общая схема метода Винера —Хопфа (278). 5. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям с ядром, зависящим от разности аргументов (2§3). 5.1. Вывод уравнения Милна (283). 5.2. Исследование решения уравнения Милна (287). 5.3. Дифракция на плоском экране (290)-6. Решение краевых задач для уравнения в частных производи ных методом Винера^Хопфа (291).
Приложение 3, Функции многих комплексных переменных..... 29В
1. Основные определения (296). 2. Понятие аналитической функ-•• шш многих комплексных переменных (297). 3. Формула Коши (298). 4. Степенные ряды (300). 5, Ряд Тейлора (302), 6, Анали, тическое продолжение (303).
Приложение 4. Метод Ватсона..................... 306
Литература..................... -.............- 314
Предметный указатель..............'............... 315
Цена: 150руб.
