Теория особенностей дифференцируемых отображений — бурно развивающаяся область современной математики, являющаяся грандиозным обобщением исследования функций на максимум и минимум и имеющая многочисленные приложения в математике, естествознании и технике (так называемые теории бифуркаций и катастроф). Главы книги посвящены теории устойчивости гладких отображений, критическим точкам гладких функций, особенностям каустик и волновых фронтов в геометрической оптике.
Книга является первой частью задуманной авторами большой монографии. Во второй части будут изложены алгебро-топологические аспекты теории.
Книга рассчитана на математиков — от студентов второго курса до научных работников, а также на всех потребителей теории особенностей в механике, физике, технике и других науках.
ПРЕДИСЛОВИЕ
. . .нет ничего увлекательнее и грандиознее, ничто такие ошеломляет и не захватывает человеческого духа, как начало какой-нибудь науки. С первых же пяти-шести лекций вас уже окрыляют самые яркие надежды, вы уже кажетесь себе хозяином истины. И я отдался наукам беззаветно, страстно, как любимой женщине. Я был их рабом и, кроме них, не хотел знать никакого другого солнца. День и ночь, не разгибая спины, я зубрил, разорялся на книги, плакал, когда на моих глазах люди эксплоатировали науку ради личных целей. Но я недолго увлекался. Штука в том, что у каждой науки есть начало, но вовсе нет конца, все равно, как у периодической дроби. Зоология открыла тридцать пять тысяч видов. . .
А. П. Чехов. На пути
В этой книге изложены начала «зоологии» особенностей дифференцируемых отображений. Эта теория — молодая отрасль анализа, занимающая в современной математике центральное положение: здесь пересекаются пути, ведущие от самых абстрактных отделов математики (алгебраическая и дифференциальная геометрия и топология, группы и алгебры Ли, комплексные многообразия, коммутативная алгебра и т. п.) к наиболее прикладным областям (дифференциальные уравнения и динамические системы, оптимальное управление, теория бифуркаций и катастроф, коротковолновые и перевальные асимптотики, геометрическая и волновая оптика).
Основные приложения теории особенностей заключаются в выделении и детальном исследовании в каждой ситуации небольшого набора наиболее часто встречающихся стандартных особенностей, которые только и могут быть у объектов общего положения: все более сложные особенности распадаются на простейшие при малом шевелении объекта. Мы приводим довольно полные списки, рисунки и определители таких простейших особенностей для целого ряда объектов (функций, отображений, многообразий, бифуркаций, каустик, волновых фронтов и т. д.), стараясь по возможности сократить читателю путь от исходных начал к приложениям. В соответствии с этим мы стремились изложить основные идеи, методы и результаты теории особенностей таким образом, чтобы читатель мог, не задерживаясь на обосновательной, теологической части теории, как можно быстрее научиться применять ее методы и результаты.
Особые усилия были приложены к тому, чтобы изложение основных идей и методов не заслонялось техническими деталями. С наибольшей подробностью рассматриваются наиболее фундаментальные и простые вопросы, в то время как изложение более специальных и трудных частей теории носит характер обзора.
У читателя настоящей книги предполагаются лишь очень небольшие математические познания (умение дифференцировать
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ......................... 3
Глава I. Основные понятия................. 5
§ 1. Простейшие примеры ................... 5
§ 2. Классы 21 ........................ 23
§ 3. Квадратичный дифференциал особенности.......... 47
§ 4. Локальная алгебра особенности и подготовительная теорелш
Вейерштрасса....................... 56
§ 5. Локальная кратность голоморфного отображения...... 66
§ 6. Устойчивость и инфинитезимальная устойчивость...... 89
§ 7. Доказательство теоремы устойчивости ........... 102
§ 8. Нереальные деформации ................. 111
9. Классификация устойчивых ростков по генотипам...... 121
§ 10. Обзор дальнейших результатов .............. 133
Глава II. Критические точки гладких функций....... 143
§ 11. Начало классификации критических точек......... 145
§ 12. Квазиоднородные и полуквазиоднородные особенности..... 149
§ 13. Классификация квазиоднородных функций......... 168
§ 14. Спектральные последовательности для приведения к нормальным формам ....................... 180
§ 15. Списки особенностей ................... 188
§ 16. Определитель особенностей ................ 203
§ 17. Вещественные, симметричные и краевые особенности..... 216
Глава III. Особенности каустик и волновых (фронтов .... 229
§ 18. Лагранжевы особенности ................. 229
§ 19. Производящие семейства ................. 238
§ 20. Лежандровы особенности ................. 248
§21. Классификация лагранжевых и лежандровых особенностей ... 261
§ 22. Бифуркации каустик и волновых фронтов ......... 278
Литература .......................... 292
Предметный указатель ..................... 303
Цена: 150руб.
