Работа содержит исследование ряда вопросов геометрии «в целом». В частности рассмотрены: проблема регулярности выпуклой поверхности с регулярной метрикой в пространствах постоянной кривизны, изометрическое погружение в целом двумерного риманова многообразия в трехмерное, изометрические преобразования пунктированных поверхностей в эвклидовом пространстве, жесткость неодносвязных поверхностей в рима-новом пространстве.
Книга рассчитана на студентов, аспирантов и научных работников в области геометрии.
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая работа посвящена исследованию ряда вопросов геометрии «в целом». Некоторые из них рассматривались в предыдущих публикациях автора и здесь получают дальнейшее продвижение или окончательное решение. Другие вопросы рассматриваются впервые.
Первый лараграф работы содержит исследование регулярности выпуклой поверхности с регулярной метрикой в пространстве Лобачевского. Для случая эвклидова и эллиптического пространства такое исследование проведено в работах автора {1] и [2]. В заметке [3] решение вопроса было намечено для любого пространства постоянной кривизны. Однако это решение для случая пространства Лобачевского нельзя считать удовлетворительным, так как оно относится только к поверхностям положительной гауссовой кривизны. В настоящей работе вопрос о регулярности выпуклой поверхности с регулярной метрикой в пространстве Лобачевского получил такое же естественное решение, как для эвклидова и эллиптического пространств. Теперь мы можем формулировать теорему для случая любого пространства постоянной кривизны в следующей естественной форме:
Если выпуклая поверхность в пространстве постоянной кривизны имеет регулярную метрику и гауссова кривизна ее всюду больше кривизны пространства, то поверхность регулярна. Именно, если метрика поверхности k раз дифференцируема (k > 5), то поверхность дифференцируема по крайней мере k — 1 раз. Если метрика поверхности аналитическая, то поверхность аналитическая. . . ,:
Во втором параграфе работы рассматривается-вопрос об ^оценках нормальных кривизн замкнутой, гомёоморф-нои сфере поверхности с положительной внешней-крив из-
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр. Введение.........• 3
§ 1. О регулярности выпуклых поверхностей с регулярной
метрикой в пространствах постоянной кривизны. ... 7
1. Постановка вопроса и результат..... 7
2. Метод доказательства....... 10
3. Априорные оценки нормальных кривизн шапки . . 16
4. Оценка нормальных кривизн во внутренних точках шапки............ 26
5. Оценка угла наклона касательных плоскостей шапки вдоль ее края ,........,29
§ 2. Оценка нормальной кривизны замкнутой выпуклой
поверхности в римановом пространстве..... 32
1. Постановка вопроса. Формулировка теоремы. Подход
к доказательству .......... 32
2. Вывод основного неравенства . . ... 36
3. Вычисление производных функции о" .... 42
4. Окончание доказательства теоремы . ... 47 § 3. Изометрическое погружение в целом двумерного ри-
манова многообразия в трехмерное ...... 51
§ 4. Изометрические преобразования пунктированной поверхности в эвклидовом пространстве . . . . . 56
1. Постановка вопроса и формулировка теоремы . . 56
2. Специальное риманово пространство неположительной кривизны . .......... 59
3. Доказательство теоремы...... 62
§ 5. Жесткость не гомеоморфных сфере, замкнутых поверхностей в римановом пространстве..... 65
1. Формулировка теорем ....... 65
2. Доказательство теоремы 1 ...... 68
3. Подход к доказательству теоремы 2 . ... 75
Дополнение. /. Полное решение проблемы об изометрическом погружении двумерного, гомеоморфного сфере ри-манова многообразия в трехмерное риманово пространство 80
Дополнение II. О регулярности выпуклой поверхности с регулярной метрикой в эвклидовом пространстве . . 85
Цитированная литература ....... -88
Цена: 150руб.
