ОТ РЕДАКТОРА
Эволюция геометрии, началом которой послужили глубокие (и, кстати сказать, весьма «геометричнь/» в своей основе) исследования Б. Римана, относящиеся еще ко второй половине прошлого века, привела к тому, что современное научное творчество весьма далеко ушло от «наивной» геометрии греческих математиков и их продолжателей, какими являлись многие выдающиеся немецкие и французские геометры первой половины XIX века. Как это не парадоксально, в настоящее время «геометрическое видение» зачастую более необходимо для специалиста по математическому анализу или по алгебре, чем для математика, называющего себя геометром; это проявляется, в частности, в том, что подавляющее большинство изданных за последние годы научных монографий по геометрии начисто лишено чертежей. По-видимому, естественная неудовлетворенность геометров таким положением дела сыграла существенную роль в возникновении за последние десятилетия некоторых новых направлений геометрических исследований (в большей своей части связанных с теорией выпуклых фигур и тел), напротив, весьма насыщенных чисто геометрическими соображениями. Одним из таких направлений — причем, быть может, тем из них, которое ближе всего стоит к элементарной или «школьной» геометрии, — и является комбинаторная геометрия.
Содержание комбинаторной геометрии не очерчено пока сколько-нибудь отчетливо. Этот термин, по-видимому, впервые был предложен замечательным швейцарским геометром Гуго Хадвигером, одним из авторов настоящей книги (см., в частности, статью [116]1)). Также и последующее раз-( витие комбинаторной геометрии весьма тесно связано с именем^
') Цифры в квадратных скобках отсылают читателя к библио-j графическому указателю в конце книги.
Г. Хадвигера и его многочисленных учеников и сотрудников, из числа которых следует отметить второго автора этой книги швейцарца Ганса Дебруннера, а также неоднократно упоминаемых в книге израильского геометра Бранно Грюнбаума и немца Людвига Данцера. Прилагательное «комбинаторная» в названии нового раздела геометрии подчеркивает широкое использование здесь чисто комбинаторных соображений, связанных с целыми числами; в этом отношении комбинаторная геометрия родствена комбинаторной топологии, также тесно связанной — во всяком случае на первом этапе развития этой дисциплины — с комбинаторными соображениями элементарно-геометрического характера *). Однако существенное отличие комбинаторной геометрии от комбинаторной топологии состоит в широком использовании наряду с топологическими и чисто метрических соображений, в частности—в учете размеров рассматриваемых фигур и тел. В ряде отношений комбинаторная геометрия тесно примыкает также к так называемой дискретной геометрии, изучающей оптимальные (в том или ином отношении) расположения дискретных систем геометрических фигур (см., например, книгу Л. Фейеш Тот [113]); имеет она и ряд точек соприкосновения с вопросами, относящимися, по существу, к теории меры (ср., например, В. А. За л га л л ер [47]).
Весьма важной чертой комбинаторной геометрии является ее удивительная наглядность, выражающаяся в чрезвычайной простоте большинства результатов, опирающихся лишь на самые элементарные представления, доступные школьникам. Впрочем, эта простота формулировок теорем и используемых в их доказательствах средств вовсе не означает тривиальности; большинство относящихся к комбинаторной геометрии предложений являются глубоко неочевидными, иногда даже неожиданными. Это соединение элементарности и глубины больше всего привлекает в комбинаторной геометрии и мы надеемся, что его по достоинству оценят все читатели настоящей книги.
Разумеется, эта книга вовсе не является систематическим курсом комбинаторной геометрии—да такой курс в настоящее время и невозможно создать. Авторы выбрали из
1) См. интересную статью Г. Хадвигера [125]; из русской научно-популярной литературы можно указать читателю большую -татью В. Г. Болтянского и В. А. Ефремовича [10] и маленькую заметку [165].
СОДЕРЖАНИЕ
От редактора........................4
Из предисловия авторов .................. 8
Введение .......................... 9
Теоремы Доказательства
§ 1. Принадлежность точек прямым и окружностям .................... 11 72
§ 2. Целочисленные расстояния, соизмеримые углы 14 74
§ 3. Выпуклые оболочки; отделимость...... 17 76
§ 4. Теорема Хелли; пересечения выпуклых фигур 18 78
§ 5. Задачи о покрытиях............ 29 85
§ 6. Геометрия точечных множеств и выпуклость 39 99
§ 7. Реализация расстояний........... 40 108
§ 8. Простейшие парадоксы теории множеств . . 48 114
§ 9^ Чистая комбинаторика; графы....... 52 120
§ 1C. Дальнейшие теоремы типа теоремы Хелли . . 59 130
Приложение. Комбинаторная геометрия п-мер-
ного пространства............... 153
Литература ................... 163
Цена: 150руб.
