Книга посвящена получению теорем о больших уклонениях для широких классов семейств марковских процессов. Материал охватывает теоремы, устанавливающие поведение больших уклонений с точностью до логарифмической эквивалентности и с точностью до эквивалентности при выполнении аналогов условия конечности экспоненциальных моментов, теоремы об асимптотике вероятностей больших уклонений, происходящих в результате больших скачков процесса.
Для научных работников в области математики и смежных областях, а также для студентов и аспирантов математических специальностей.
Киблипгп. 72 няяи.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Общие понятия, обозначения, вспомогательные ре-
зультаты ........................ 18
§ 1.1. Обшие обозначения. Преобразование Лежандра ... 18
§ 1.2. Компенсаторы. Меры Леви ............ 21
§ 1 .3. Компенсирующие операторы марковских процессов . 26
Глава 2. Оценки, связанные с функционалом действия для мар-
ковских процессов ................... 32
§ 2.1. Кумулянта. Функционал действия ........ 32
§ 2.2. Вывод нижней оценки для вероятности прохождения
трубочки .................... 37
§ 2.3. Вывод верхней оценки для вероятности прохождения
вдали от множеств ФЖ|). [0 т~] (')> Ф*0- [о, Г] (0 • • 46 § 2.4. Урезанный функционал действия и оценки, связан-
ные с ним .................... 53
Глава 3. Функционал действия для семейств марковских про-
цессов ......................... 61
§ 3.1. Свойства функционала Sj- , г (ф) ......... 61
§ 3.2. Теоремы о функционале действия для семейств марковских процессов в Rr. Случай существования экспоненциальных моментов ............. 65
§ 3.3. Перенесение на многообразие. Теоремы о функционале
действия, связанные с урезанными кумулянтами . . 74
Глава 4. Частные случаи .................. 81
§ 4.1. Проверка выполнения условий А— Д §§ 3.1—3.3 . 81 § 4.2. Схемы процессов с малыми частыми скачками. Случаи очень больших уклонений, не очень больших уклонений, сверхбольших уклонений ....... 85
§ 4.3. Случай очень больших уклонений ........ 92
§ 4.4. Случай не очень больших уклонений ..... . . 99
1*
§ 4.5. Некоторые другие схемы не очень больших уклонений ...................... 1C
§ 4.6. Случай сверхбольших уклонений......... 1]
Глава 5. Точная асимптотика больших уклонений...... 1]
§ 5.1. Случай винеровского процесса.......... Ц
§ 5.2. Процессы с малыми частым /скачками....... И
Глава 6. Асимптотика вероятностей больших уклонений, происходящих в результате больших скачков марковского процесса ......................... 1с
§ 6.1. Условия, накладываемые на семейство процессов.
Вспомогательные результаты........... К
§ 6.2. Основные теоремы................ 1^
§ 6.3. Применения к суммам независимых случайных величин ...................... If
Список литературы..................... К
Предметный указатель ................... \'i
Указатель обозначений ................... Г
ВВЕДЕНИЕ
1 Задачи о больших уклонениях для случайных процессов.— 9 ,'Дпа крайних типа поведения вероятностей больших уклонений.— з" 'Грубые теоремы о больших уклонениях; функционал действия.— 4 Обзор работ по большим уклонениям для случайных процессов.— Г) Схема получения грубых теорем о больших уклонениях, принятая в данной книге.—6. Выражение: k (0) 5 (<р) является функционалом действия равномерно по такому-то классу начальных точек.— 7. Обзор содержания глаз 3—6. —8. Нумерация.
1. В последние десятилетия интенсивно развивается новая отрасль теории вероятностей — предельные теоремы для случайных процессов. Обобщение по сравнению с классическими предельными теоремами для сумм независимых случайных величин здесь идет одновременно в двух направлениях. Во-первых, вместо сумм независимых величин рассматриваются случайные процессы, принадлежащие тем или иным широким классам. Во-вторых, вместо распределения одной суммы — распределения значения случайного процесса в один момент времени — или совместного распределения значений в конечном числе моментов времени рассматриваются распределения в бесконечномерном функциональном пространстве. Для случайных процессов, которые строятся по суммам независимых случайных величин, это сводится к рассмотрению совместного распределения неограниченно растущего числа сумм.
Введем понятия, связанные с распределениями в функциональных пространствах. Пусть %(t), t? [О, Т],—случайный процесс, принимающий значения в измеримом пространстве (X, %). Пусть X—какое-то пространство, состоящее из функций к: [О, Т]-+Х. Определим в X о-алгебру 33^°- ТЦХ), порожденную всеми цилиндричес-кими множествами \х ? X: (к (/,),- . •, * (О) € С\, tt ? [О, Т], <- t J3 . в функциональном пространстве X под измеримостью мы всегда в дальнейшем будем понимать измеримость относительно ^°- ТЦХ). Если все реализации g процесса ?(/) принадлежат X, определяется распределе-
Цена: 150руб.
