АННОТАЦИЯ
Книга представляет собой мастерски написанный крупным математиком курс математического анализа, адресуемый автором «будущим учителям и научным работникам в области математики, физики и других естественных наук, а также инженерам». Первый том был впервые издан на русском языке в 1931 г. Последнее, 4-е издание первого тома, переработанное и значительно дополненное, вышло в конце 1967 г.
Второй том посвящен главным образом дифференциальному и интегральному исчислению функций многих переменных. По сравнению с первым русским изданием, вышедшим в 1931 г., настоящий перевод содержит многочисленные добавления автора, появившиеся в последних изданиях на немецком и английском языках.
Книга может' служить полезным учебным пособием для студентов и преподавателей университетов, педагогических институтов и втузов с повышенным курсом математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму русскому изданию............... 11
Из предисловия к первому немецкому изданию............. 13
Из предисловия ко второму немецкому изданию ............ 13
Из предисловия к английскому изданию . .'............... 13
Предисловие к третьему немецкому изданию .............. 14
Глава I. Краткий обзор основных понятий аналитической геометрии и векторного исчисления ................. 15
§ 1. Прямоугольные координаты и векторы............... 15
1. Системы координат (15). 2. Направления и векторы (17). 3. Сложение векторов (19). 4. Преобразование координат (20). 5. Умножение вектора на число (21). 6. Скалярное произведение двух векторов (21). 7. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов (22). 8. Уравнение прямой на плоскости и уравнение плоскости в пространстве (22). 9. Уравнение прямой в пространстве (24). Упражнения (26).
§ 2. Площадь треугольника. Векторное умножение. Объем тетраэдра 27
1. Площадь треугольника, построенного на векторах а и Ь в плоскости ху (27).
2. Векторное умножение двух векторов (28). 3. Вычисление координат векторного произведения по координатам перемножаемых векторов (30). 4. Объем тетраэдра (31). Упражнения (33).
§ 3. Элементарные сведения об определителях второго и третьего
порядка................................. 33
1. Законы 'составления и основные свойства (33). 2. Понятие об определителе четвертого и вообще любого порядка (37). 3. Приложение к системе линейных уравнений (37). Упражнения (40).
§ 4. Аффинные преобразования и умножение определителей ..... 41
1. Аффинное преобразование плоскости и пространства (41). 2. Умножение аффинных преобразований и разложение общего аффинного преобразования на примитивные преобразования (44). 3. Геометрический смысл определителя преобразования и теорема умножения определителей (46). Упражнения (50).
Смешанные упражнения к главе 1..........; , . 50
Глава II. Функции многих переменных и их производные ... 54
§ I. Понятие функции многих переменных................ 54
1. Функция и область ее задания (54). 2. Простейшие типы функций (58).
3. Геометрическо'е изображение функций (59).
§ 2. Непрерывность............................. 59
1. Определение (59). 2. Понятие предела функции нескольких переменных (61). 3. Порядок малости функции (62). Упражнения (64).
§ 3. Частные производные от функции многих переменных...... 65
1. Частные производные и их геометрический смысл (65). 2. Существование частных [производных по х и по у и непрерывность функции (68). 3. Изменение порядка дифференцирования (6"9). Упражнения (73).
§ 4. Полный дифференциал функции и его геометрический смысл . . 74
'. Понятие дифференцируемости (74). 2. Производная по заданному направлению (78). 3. Геометрическое истолкование. Касательная плоскость (81). 4. Полный дифференциал функции (83). 5. Применение к исчислению ошибок (84),
§ 5. Сложные функции и введение новых независимых переменных 85
1. Сложные функции и их непрерывность (85). 2. Теорема о днфференцируемости сложной функции, составленной из дифференцируемых звеньев (87). 3. Вычисление частных производных от сложной функции — правило цепочки (88). 4, Полный дифференциал сложной функции. Инвариантность полного дифференциала первого порядка (90). 5. Введение новых независимых переменных (92). Упражнения (95).
§ 6. Теорема о среднем значении и формула Тэйлора для функции
многих переменных .......................... 96
1. Постановка задачи и предварительные замечания (96). 2. Теорема о среднем значении (97). 3. Формула Тэйлора для функции многих переменных (98). Упражнений (99).
§ 7. Применение векторных методов................... 100
1. Векторная и скалярная функция точки — векторное и скалярное поле (100).
2. Векторная функция скалярной переменной и ее производная (102). 3. Длина дуги пространственной кривой. Дифференциал дуги (104). 4. Кривизна простран-
ственной кривой (105). 5. Приложение к механике точки. Разложение ускорения на касательное и нормальное (108). 6. Градиент скалярного поля (109). 7. Дивергенция и ротор векторного поля (112). Упражнения (114).
Дополнения к главе II....................... 115
§ 1. Принцип точки сгущения в пространстве многих измерений и
его приложения ............................ 115
1. Формулировка принципа точки сгущения (115). 2. Некоторые понятия теории точечных множеств (117). 3. Теорема Гейне — Бореля о покрытии (120). Упражнения (121).
§ 2. Более подробное исследование понятия предела функции многих
переменных............................... 121
1. Двойные последовательности и us. пределы (121). 2. Двойной предел в случае непрерывно изменяющихся независимых переменных (125J.3, Теорема Днни о равномерной сходимости монотонных последовательностей функций (126). Упражнения (127).
§ 3. Однородные функции.......................... 128
Упражнения (131).
Смешанные упражнения к главе II............. 131
Глава III. Построение дифференциального исчисления и его
приложения.............................. 134
§ 1. Неявные функции ........................... 134
1. Общие замечания (134). 2. Геометрическое истолкование (134). 3. Теорема существования неявной функции и правило ее дифференцирования (136). 4. Примеры (138). 5. Теорема существования неявной функции нескольких переменных (139). 6. Доказательство существования и непрерывности неявной функции (141). Упражнения (144).
§ 2. Неявное задание плоских кривых и неявное задание поверхностей 144
1. Неявное задание плоской кривой (144). 2. Особые точки плоской кривой (149).
3. Неявное задание поверхности (150). Упражнения (153).
§ 3. Системы функций, преобразования и отображения......... 153
1. Первая интерпретация системы функций: преобразование и отображение (153).
2. Вторая интерпретация системы функций: введение новых, криволинейных координат (158). 3. Система трех функций от трех независимых переменных (160).
4. Формулы дифференцирования обратных функций (163). 5. Умножение отображений и преобразований (165). 6. Разложение произвольного преобразования на примитивные (167). 7. Общая теорема об обращении преобразования и о системах неявных функций (170). 8. Взаимная зависимость функций (172). 9. Несколько слов о преобразованиях в пространстве п измерений (174). Упражнения (175).
§ 4. Приложения .............................. 177
1. Параметрическое задание поверхности (177). 2. Линейный »лемент поверхности (180). 3. Понятие о конформном отображении (183). Упражнения (185).
§ 5. Семейства кривых и семейства поверхностей; их огибающие . . . 186
1. Понятие семейства кривых и семейства поверхностей (186). 2. Огибающая и ди-скриминантная кривая однопараметрического семейства плоских линий (18S).
3. Примеры (191). 4. Огибающая семейства поверхностей (197). Упражнения (199).
§ 6. Максимумы и минимумы ....................... 200
1 Определение (200). 2. Необходимые условия экстремума (202). 3. Примеры (203). 4. Условные экстремумы (206). 5. Доказательство правила неопределенных множителей для условного экстремума функции двух переменных (209). 6. Обобщение метода неопределенных множителей (211). 7. Примеры (216). Упражне-
ння (219)' п, оо,
Дополнения к главе 111 ...................... Ы\
§ 1. Достаточные условия экстремума функции двух переменных . .- . 221
1. Постановка вопроса (221). 2. Исследование квадратичной формы Q (ft, k) (221). 3. Достаточные условия максимума и минимума (223). 4. Примеры (225). Упражнение (226).
§ 2. Особые точки плоских кривых.................... 226
Упражнения (229).
§ 3. Особые точки поверхностей ..................... 229
§ 4. Связь между уравнениями движения жидкости в форме Эйлера
и в форме Лагранжа ......................... 232
§ 5. Представление замкнутой кривой с помощью семейства ее касательных................................. 233
Смешанные упражнения к главе III ............ 235
Глава IV. Кратные интегралы..................... 238
§ 1. Обыкновенные интегралы как функции параметра......... 238
1. Определения и примеры (238). 2. Непрерывность и дифференцируемость интеграла как функции параметра (240). Упражнения (245).
§ 2. Интеграл от непрерывной функции по плоской или пространственной области............................... 246
1. Интеграл по плоской области (двойной интеграл) как объем (246). 2. Общее аналитическое определение двойного интеграла (247). 3. Примеры (251). 4. Обозначения, дополнения, основные правила (253). 5. Свойства двойного интеграла, его оценка и теорема о среднем значении (254). 6. Интегралы по трехмерным и многомерным областям (тройные и многократные интегралы) (257). 7. Дифференцирование по области. Масса и плотность (258).
§ 3. Приведение кратного интеграла к повторному обыкновенному
интегралу................................ 260
1. Двойной интеграл по прямоугол&ной области (260). 2. Следствия. Изменение порядка интегрирования. Дифференцирование под знаком интеграла (263). 3. Распространение результата на двумерные области более общего вида (265). 4. Приведение тройного интеграла к повторному (269). Упражнения (270). § 4. Преобразование кратных интегралов................• . 270
1. Общая формула преобразования двойного интеграла к нозым переменным (271).
2. Преобразование л-кратного интеграла к новым переменным интегрирования (276). Упражнения (277).
§ 5. Несобственные кратные интегралы.................. 278
1. Интеграл от функции, имеющей конечные разрывы (278) 2. Кратный интеграл от функции, обращающейся в бесконечность в изолированных точках (279).
3. Интеграл от функции, обращающейся в бесконечность вдоль линии (282).
4. Интеграл по бесконечной области (283). 5. Заключительные замечания и некоторые дополнения (284).
§ 6. Приложения к геометрии....................... 286
1. Вычисление объема с помощью двойного интеграла. Примеры (286). 2. Вычисление объема с помощью тройного интеграла. Объем в цилиндрических и сферических координатах (288). 3. Площадь кривой поверхности (290). 4. Площадь поверхности, заданной параметрическими уравнениями (294). Упражнения (296).
§ 7. Приложения к физике......................... 297
1. Статический момент и центр массы (центр тяжести) (297). 2. Момент инерции (300). 3. Физический маятник (302). 4. Потенциал поля тяготения (304). Упражнения (30S).
Дополнения к главе IV...................... 310
§ 1. Существование кратного интеграла................. 310
1. Понятие меры плоской и пространственной области (310). 2. Теоремы о кусочно гладкой дуге плоской кривой и о кусочно гладком куске поверхности (314). 3. Доказательство CVmPCTHr.RflHua ттипйипгл ,л11та™., „., ~~ „„.,„ — ,.—.--". J------- ,~,~
§ 2. Обобщенные формулы Гульдина. Полярный планиметр...... 317
1. Об одном преобразовании двойного и тройного интеграла (317). 2. Обобщенная формула Гульдина для плоскости и для пространства. Полярный планиметр (319). Упражнение (322).
§ 3. Объем и площадь в пространстве любого числа измерений . . . 322
1. Площадь поверхности и интегрирование по поверхности в пространстве, число измерений которого больше трех (322). 2. Площадь поверхности и объем единичного шара в n-мерном пространстве (324). 3. Обобщения. Параметрические представления (326). Упражнения (329).
§ 4. Несобственные интегралы как функции параметра ......... 329
5. Вычисление интегралов Френеля (339). Упражнения (340).
§ 5. Интеграл Фурье ............................ 341
1. Введение (341). 2. Доказательство интегральной теоремы Фурье (343).
§ 6. Интегралы Эйлера (гамма-функция и бета-функция)........ 346
1. Определение и функциональное уравнение гамма-функции (346). 2. Выпуклые функции и их свойства (347). 3. Теорема Бора (350). 4. Представление гамма- > функции в виде бесконечного произведения (353). 5. Функция In Г (х) а ее производные (356). 6. Формула дополнения (357). 7. Бета-функция и ее функциональное уравнение (358). 8, ' Связь между бета-функцией и гамма-функцией (359). Упражнения (361).
§ 7. Дифференцирование и интегрирование нецелого порядка. Интег^'
ральное уравнение Абеля ....................... 362
§ 8. Замечание по поводу определения площади кривой поверхности 364
Смешанные упражнения к главе IV............ 366
Глава V. Криволинейные интегралы. Интегралы по поверхности 368
§ 1. Криволинейные интегралы ...................... 368
1. Определение криволинейного интеграла. Обозначения (368). 2. Векторная запись криволинейного интеграла (370). 3. Основные свойства (372). 4. Механическое истолкование криволинейного интеграла (374). 5. Криволинейный интеграл в поле градиента. Интегрирование полного дифференциала (375). 6. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования (376). 7. Условие, при котором вектор поля является градиентом — условие интегрируемости выражения Fi
интегральные теоремы для плоских векторных полей....... 384
1. Интегральная теорема Гаусса [теорема Остроградского для плоскости] (384).
2. Векторная запись теоремы Гаусса (387). 3. Теорема Стокса для плоскости (388). 4. Формулы Грина (390). 5. Двойной интеграл от якобиана (391). 6. Преобразование плоского лапласиана к новым (в частности, полярным) коердинатам (392).
§ 3. Наглядное истолкование интегральных теорем для плоскости и их
приложения............................... 393
1. Гидромеханическое истолкование теоремы Гаусса. Дивергенция и производительность источников (393). 2. Интерпретация теоремы Стокса в поле скоростей и в силовом поле (396). 3. Преобразование двойного интеграла (397).
§ 4. Интеграл по поверхности........................ 398
1. Интегрирование по ориентированной области (398). 2. Определение интеграла по поверхности (403). 3. Физическое истолкование интеграла по поверхности (407).
§ 5. Интегральные теоремы Гаусса и Грина в пространстве...... 408
1. Теорема Гаусса в пространстве (408). 2. Физический смысл теоремы Гаусса в пространстве (412). 3. Теоремы Грина (414). 4. Приложения теорем Гаусса и Грина в пространстве (414). Упражнения (416).
§ 6. Теорема Стокса в пространстве ................... 416
1. Формулировка и доказательство теоремы (416). 2. Физический смысл теоремы Стокса (419).
§ 7. Принципиальные соображения о связи между дифференцированием
и интегрированием в пространстве многих переменных ...... 421
Упражнения (424). .
Дополнения к главе V ...................... 425
§ 1. Замечания к теоремам Гаусса и Стокса............... 425
§ 2. Представление векторного поля, лишенного источников, в виде
ротора.................................. 427
Упражнения (429).
Смешанные упражнения к главе V............. 430
Глава VI. Дополнительные сведения о 'дифференциальных уравнениях ..............|................... 435
§ 1. Дифференциальные уравнения движения точки в пространстве . . 435
1. Уравнения движения (435). 2. Закон сохранения энергии (437). 3. Равновесие. Устойчивость (438).
§ 2. Примеры из механики точки..................... 440
1. Движение материальной точки, брошенной под углом к горизонту (440). 2. Малые колебания около положения ровновесия (441). 3. Движение планет (444). Упражнения (450).
§ 3. Некоторые сведения из общей теории дифференциальных уравнений первого порядка ........................ 450
1. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка (451).
2. Дифференциальное уравнение семейства кривых. Особые решения. Ортогональные траектории (454). Я. Интегрирующий множитель (457). 4. Теорема существования и единственности решения (459). о. Системы дифференциальных уравнений первого порядка и дифференциальные уравнения высшего порядка (462). 6. Интегрирование с помощью степенного ряда (метод неопределенных коэффициентов) (463). Упражнения (465).
§ 4. Линейные дифференциальные уравнения любого порядка..... 468
1. Определение. Теорема существования и единственности решения. Принцип суперпозиции (468). 2. Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы функций (470). 3. Необходимое условие линейной зависимости и функций (472). 4. Необходимое и достаточное условие линейной независимости п решений л. д. у. п-го порядка без правой части (474). 5. Фундаментальные системы решений л. д. у. без правой части. Структура его общего решения (475). 6. Частный случай л. д. у. второго порядка (478). Упражнения (479). 7. Л. д. у. л-го порядка без правой части с постоянными коэффициентами (480). Упражнения (483). 8. Л. д. у. с правой частью и с переменными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных (483). 9. Вынужденное движение простейшей колебательной системы (486). Упражнения (487). 10. Определение частного решения по краевым условиям. Нагруженный канат и нагруженная балка (488).
§ 5. Потенциал гравитационного и электростатического поля. Уравнение Лапласа .............................. 493
1. Потенциал непрерывного распределения массы или заряда (493). 2. Двойной слой и его потенциал (495). 3. Дифференциальное уравнение потенциала (496). 4. Однородный двойной слой (497). 5. Теорема о среднем значении (500). 6. Краевая задача для окружности. Интеграл Пуассона (502). Упражнения (504).
§ 6. Дальнейшие примеры дифференциальных уравнений с частными
производными.............................. 504
1. Некоторые сведения с многообразии решений (505). 2. Одномерное волновое уравнение (506). 3. Волновое уравнение в трехмерном пространстве (508). 4. Уравнения Максвелла в вакууме (510). Упражнения (512).
Глава VII. Элементы вариационного исчисления ......... 514
§ 1. Введение ................................ 514
1. Постановка задачи (514). 2. Необходимые условия экстремума (518). Упражнения (520).
§ 2. Дифференциальное уравнение Эйлера для простейшего случая . . 520
1. Вывод дифференциального уравнения Эйлера (520). 2. Доказательства обеих лемм (523). 3. Замечания по поводу интегрирования дифференциального уравнения Эйлера. Примеры (524). Упражнения (528). 4. Случай, когда уравнение •эилера обращается в тождество (528).
§ 3. Обобщения............................... 529
• Функционалы, зависящие от многих функциональных аргументов (529). 2. Важ-цыи частный случай. Примеры (531). Упражнение (533). 3. Принцип Гамильтона,
Уравнения Лагранжа. (533). 4. Функционалы, содержащие производные выше первого порядка (S35). 5. Функционал, имеющий вид кратного интеграла (536). 6. Задачи с дополнительными условиями. Множитель Эйлера (538). Упражнение (540, 542).
Смешанные упражнения к главе VII ............ 54
Глава VIII. Функции комплексной переменной ........... 5<
§ 1. Введение ................................ 5'
1. Пределы и бесконечные рады с комплексными членами (544). 2. Степенной ряд (547). 3. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда (548). 4. Определение показательной функции, тригонометрических и гиперболических функций с помощью степенных рядов (551). Упражнения (552).
§ 2. Основные понятия теории функций комплексной переменной ... 51
1. Требование дифференцируемости (552). 2. Правила дифференцирования. Основные свойства показательной функции (555). Упражнение (557). 3. Конформные отображения. Обратные функции (557). Упражнения (558).
§ 3. Интегрирование аналитических функций ............... 5!
1. Определение интеграла (559). 2. Теорема Коши (561). 3. Приложения. Логарифм, показательная функция и общая степенная функция (563). Упражнения (567).
§ 4. Интегральная формула Коши и ее приложения .......... ,5(
1. Формула Коши (568). 2. Разложение аналитической функции в степенной ряд ,^ (570). Упражнение (572). 3. Теория аналитических функций и теория потенциала (573). Упражнение (573). 4. Теорема, обратная теореме Коши (573). 5. Нули, полюсы и вычеты аналитической функции (574). Упражнения (576).
§ 5. Приложение к вычислению действительных определенных интег-
ралов .................................. 5"
со
1. Вывод формулы \ - dx — ~ (577). 2. Доказательство формулы О
Т , 1 ,--TaS
\ е~~ х cos ах их = -=- V ке * (578). 3. Приложение теоремы вычетов к ий-
J ^
тегрированию рациональных функций (579). Упражнения (581, 582). 4. Теорема
тов и линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
со
(582). 5. Доказательство формулы J e~ x^dx — УК с помощью теории вычетов
— оо
(583). 6. Многозначные функции и аналитическое продолжение (585). 7. Пример аналитического продолжения. Гамма-функция (587).
Смешанные упражнения к главе VIII ............ 5<
Сводка важнейших теорем и формул ................... 5!
Ответы и указания ............................. 6'
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Второй том немецкого оригинала этого курса вышел первым изданием в 1928 г. С него был сделан русский перевод, опубликованный в 1931 г. Дополнения, внесенные автором во второе немецкое издание (1931 г.), не успели включить в русское издание.
В 1936 г. был напечатан при участии автора английский перевод второго тома с многочисленными изменениями и дополнениями, а в 1955 г. вышло третье исправленное и дополненное немецкое издание. Что интерес к этой книге не ослабевал, доказывают многочисленные последующие допечатки (уже без изменений) обоих вариантов второго тома (английского до 1945 г. и немецкого до 1963 г.).
В настоящем русском издании соединен весь материал, содержащийся в английском варианте второго тома и в его третьем немецком издании. Как и в первом томе наибольшие по объему дополнения взяты из английского издания — это главы VII и VIII, посвященные элементам вариационного исчисления и теории функций комплексной переменной, а затем многочисленные задачи и упражнения ко всему содержанию книги, а также ответы и указания к ним.
В работе над переводом мы руководствовались главным образом интересами самого широкого круга советских читателей и прежде всего нуждами наших студентов. Для того чтобы возможно лучше приспособить книгу к их потребностям, мы позволили себе сделать кое-какие изменения и перестановки. Кроме того, книга снабжена добавлениями, вставками, пояснительными примечаниями. Для облегчения чтения все это помещено в тексте в квадратных скобках. Замеченные недосмотры исправлены без специальных оговорок.
Нет сомнения, что и второй том будет полезным пособием для широкого круга преподавателей математики, а также для аспирантов и научных работников в различных областях физики и техники; его
Цена: 300руб.
