Новосибирск: Наука, 1983.
В монографии излагаются новые научные результаты по теории уравнений переменного типа. Этот раздел теории дифференциальных уравнений в частных производных интенсивно развивается в связи с потребностями механики. В книге рассматриваются различные краевые задачи для уравнений переменного типа с точки зрения их однозначной разрешимости и качественного поведения решений, указана связь с задачами механики сплошной среды; для ряда задач приведены примеры численных расчетов.
Предназначена для научных сотрудников — математиков и механиков.
Ил. 22. Табл. 4. Библиогр, 191.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............... 7
Глава 1. Обозначения и справочный -материал..... 9
Глава 2. Уравнения переменного типа и задачи математической
физики.............. 15
§ 1. Квазилинейные уравнения переменного типа . . —
1.1. Линейные уравнения переменного типа ... —
1.2. Квазилинейные уравнения....... 19
§ 2. Модели математической физики, приводящие к уравнениям переменного типа........ 23
- 2.1. Трансзвуковые течения........ —
2.2. "Задачи с отрывом пограничного слоя ... 25
2.3. Газовая динамика с уравнением состояния Ван-дер-Ваальса........... —
2.4. Ударная волна в жидкости с пузырьками газа 27
2.5. Модель горения в турбулентном диффузионном факеле ............ —
2.6. Модели двухслойной мелкой воды и двухфазных жидкостей ........... 28
2.7. Порождение уравнений переменного типа разностными схемами......... 30
Комментарии............ 31
Глава 3. Нелинейные параболические уравнения с изменяющимся направлением времени........32
§ 1. Уравнения с асимптотически положительном коэффициентом при второй производной. Эволюционный случай.............—
1.1. Формулировка задачи ........ 32
1.2. Априорные оценки......... 33
1.3. Теорема о несуществовании ....... 44
1.4. Теоремы существования....... 46
1.5. Стабилизация и единственность ..... 54
1.6. Отклонение решения уравнения (1.1) от решения уравнения Бюргерса . . ... . . . 59
§ 2. Уравнения с асимптотически положительным коэффициентом при второй . производной. Стационарный случай........ . . .. . ' 62
2.1. Некоторые предварительные соображения . . 63
2.2. Вспомогательные задачи......• . 66
2.3; Первая краевая задача . ...... . . . 77
2.4. Решения типа бегущей волны..... 87
§ 3. Уравнения со знакопеременным коэффициентом при
производной по времени. Задача Дирихле ... 91
3.1. Формулировка задачи . ... . _. . . . . 92
3.2. Теорема существования . ...... 93
3.3. Теорема единственности....... 101
§ 4. Уравнения со знакопеременным коэффициентом при
второй производной. Неклассическая краевая задача 103
4.1. Формулировка задачи и некоторые предваритель-
. ные соображения......... —
4.2, Существование решения задачи (4.11), (4.15). Конечная скорость распространения возмущений 106
.4.3. Теорема существования задачи (4.1), (4.2) . . 111
4.4. Теорема единственности....... 113
Комментарии............. 115
Проблемы . . . . . . ... . ... . . 116
Глава 4. Нелинейные уравнения в частных производных третьего порядка............ 117
§ 1. Одномерный случай. Общие результаты .... —
1.1. Постановка задачи......... —
1.2. Разрешимость уравнения LQ п = /..... 119
1.3. Априорные оценки регулярных решений . . 122
1.4. Открытость множества т....... 128
1.5. Замкнутость множества т....... 134
1.6. Теорема единственности....... 136
1.7. Существование обобщенного решения . . . 137
1.8. Уравнения с нелинейными младшими членами 139
1.9. О повышении гладкости регулярных решений 142 1.10. Задача Коши и вторая .краевая задача . . . 146
§ 2. Вязкий баротропный газ ........ 149
2.1. Постановка задачи......... —
2.2. Существование регулярного решения .... 151
2.3. Переход к пределу по вязкости для газа Чаплыгина ............. 155
§ 3. Вырождающиеся уравнения....... 158
3.1. Стремление к нулю коэффициента |3 . . . . —•
3.2. Обращение в нуль функции F'-^ux) . . . . 160
3.3. Коэффициент [3 = 0, ^(иж)>0..... 165
3.4. Теорема единственности регулярных решений краевых задач при [5 = 0 . . . . . . . 167
§ 4. Многомерные уравнения........ 171
4.1. Локальная теорема существования и единственности гладкого решения первой начально-краевой задачи........... 172
4.2. Первая начально-краевая задача...... 178
- 4.3. Задача Коши.......: 195
Комментарии............. 197
, Проблемы .............. 200
Глава 5. Уравнения переменного типа, содержащие производную по t второго порядка ........ 200
§ 1. Полулинейные уравнения переменного типа ... •—
1.1. Постановка задачи......... 201
1.2. Свойства обобщенного решения..... 202
1.3. Теорема единственности....... 207
1.4. Вспомогательная задача....... —
1.5. Разрешимость исходной задачи..... 210
1.6. Метод Галеркина для уравнений переменного типа............. 212
§ 2. Квазилинейное уравнение переменного типа . . . 215
2.1. Постановка задачи . . .......
2.2. Редукция задачи......... 216
2.3. Разрешимость редуцированной задачи . . . 217
2.4. Разрешимость исходной задачи..... 220
§ 3. Неравенства для операторов переменного типа . . 223
3.1. Постановка задачи.........- 224
3.2. Вспомогательная задача . ,..... 225
3.3. Разрешимость исходной задачи..... 231
Комментарии............. 237
Проблемы.............. 238
Приложение 1. Н. Н. Маслова, В. А. Новиков. Численный анализ решений уравнения (3.1.1)..... 239
Приложение 2. Ю. А. Березин. Гидродинамические процессы в
нейтронных звездах........ 249
Приложение 3. Б. Ю. Скобелев, Н. Н. Яненко. Устойчивость стационарных течений жидкости со знакопеременной вязкостью.......... 252
Литература . . . . . .........• 260
ПРЕДИСЛОВИЕ
Идея написать эту книгу возникла как попытка собрать воедино и осмыслить имеющиеся результаты по нелинейным уравнениям переменного типа, которые представляют собой новую и быстро -развивающуюся область теории дифференциальных уравнений в частных производных.
Основное содержание монографии составляют результаты, полученные авторами в течение последнего десятилетия. К уравнениям, которые мы рассматриваем, повысился интерес в первую очередь механиков в связи с моделированием таких сложных явлений, как турбулентность, горение, трансзвуковые течения, устойчивость движений вязкой жидкости, старение материалов и т. д.
Все задачи в- настоящей книге рассмотрены в связи с возможными приложениями, и в этом отразились личные вкусы и пристрастия авторов.
При отборе материала мы не стремились к максимальной общности и не старались привести как можно большее количество имеющихся результатов по уравнениям переменного типа, а пытались удовлетворить двум требованиям:
а) продемонстрировать некоторые приемы, которые позволяют преодолеть ряд трудностей, возникающих при изучении нелинейных уравнений переменного типа;
б) наиболее наглядно отразить те проблемы, которые еще не нашли своего решения.
При решении краевых задач мы пользуемся ставшей уже стандартной схемой:
1) получение априорных оценок решения исходной задачи;
2) конструирование некоторой задачи, приближающей исходную;
. 3) предельный переход с использованием соображений компактности.
Цена: 150руб.
