К88 Математический анализ, т. I. Изд. 2, переработанное. Учебник для вузов. М., «Высшая школа», 1973. 614 с. с ил.
Учебник предназначен для студентов университетов и студентов высших технических учебных заведений прежде всего физико-математических и инженерно-физических специальностей. Может бы гь также рекомендован и студентам других специальностей, нуждающихся в углубленной математической подготовке. Он рассчитан как па изучающих математику ради нее самой, так и на интересующихся ма (ематнкой лишь с точки зрения ее применения. ' Особое внимание в учебнике обращено на изложение качественных и аналитических методов, вместе с гем в нем нашли свое отражение и некоторые геометрические вопросы теории функций Задачей учебника является не только изложение основных сведений из математического анализа, но и подготовка учащихся к чтению современной математической литературы.
В первом томе излагаются дифференциальное и интегральное исчис-
«Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства».
Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одну из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой».
Леонардо да Винчи*'.
Математика**' является точной абстрактной наукой, изучающей количественные соотношения и пространственные формы. Точность математики означает, что основным методом в математических исследованиях являются строгие логические рассуждения, а результаты исследований формулируются в строгой логической форме. Абстрактность же математики означает, что объектами ее изучения являются модели (математические). В этих моделях математика изучает соотношения между их элементами, количественные и качественные связи между ними, их форму. Одна и та же математическая модель может описывать с определенным приближением свойства очень далеких друг от друга по своему конкретному содержанию реальных явлений. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а лишь существующие между ними соотношения. Абстрактность математики порождает определенную трудность ее применения к описанию и решению конкретных задач, в то же самое время абстрактность математики придает ей силу, универсализм и общность. Роль математики, конечно, не сводится только к описанию с помощью тех или иных моделей определенных сторон каких-то явлений. Она представляет интерес и имеет большую ценность прежде всего сама по себе как наука, как знание. Математика дает мощные методы для познания мира, для изучения его закономерностей.
Математические методы исследования всегда играли и продолжают играть огромную, все увеличивающуюся роль в естествознании. В качестве примера можно привести уже ставшие хрестоматийными такие теоретические открытия, как открытие планеты Нептун, открытие электромагнитных волн или открытие позитрона, сделанные сначала математически «на кончике пера» и лишь потом нашедшие свое экспериментальное подтверждение.
*) Леонардо да Винчи. Избранные естественнонаучные произведения. М, АН СССР. 1955.
**) цаОгцла (греч.) — познание, наука.
Математика неустанно продолжает развиваться, в ней создаются новые методы, появляются новые разделы. Развитие математики в целом определяет уровень ее использования и оказывает существенное влияние на развитие других наук и техники. В свою очередь задачи практики, прогресс других фундаментальных и прикладных наук приводят к созданию новых направлений математики, стимулируют ту или иную направленность математических исследований, расширяют возможность применения математических методов. В силу всего этого область применения математики постоянно увеличивается. В последнее время благодаря появлению быстродействующих вычислительных машин в использовании математических методов произошел большой качественный скачок. Они стали применяться не только в тех областях, где математика использовалась уже давно (например, в механике, физике), но и в тех областях человеческого знания, где математика еще совсем недавно либо применялась мало, либо ее применение даже не представлялось возможным (медицина, экономика, лингвистика, социология и т. п.). Проникновение качественных и количественных математических методов в другие науки, использование в этих науках уже имеющегося математического аппарата, создание новых математических понятий и методов для описания и изучения рассматриваемых явлений, т. е. все то, что обычно называется математизацией науки, является характерной чертой всего естествознания наших дней. Современный научный работник или инженер должен в достаточной степени хорошо владеть как классическими, так и современными математическими методами исследования, которые могут применяться в его области. Для того чтобы иметь возможность с успехом применять математические методы при изучении того или иного вопроса, нужно, конечно, прежде всего иметь необходимые знания, уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, знать границы допустимого использования рассматриваемой математической модели. Этим, однако, не исчерпываются характерные особенности решения задач математическими методами, да и вообще математического творчества, т. е. познания объективно существующих математических истин. Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенных из них и для выбора способа ее решения необходимо обладать еще математической интуицией, фантазией и чувством гармонии, позволяющими предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен. Однако интуитивно почувствовать ожидаемый результат и наметить путь исследований с помощью правдоподобных рассуждений — это далеко не все. Интуитивное чувство гармонии является в математике лишь первой, хотя и весьма важной ступенью; интуитивные соображения и правдоподобные рассуждения отдаются на суд холодного рассудка для их изучения, доказательства или опровер-
жения. Для записи проводимых исследований и получающихся результатов используются язык цифр, разнообразные математические символы и словесные логические описания.
Следует отметить, что в математике справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой его на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов, что не имеет для математики доказательной силы, а чисто логическим путем, по законам формальной логики. При математическом доказательстве гипотезы, при математическом решении задачи правильный выбор аппарата и метода — залог успеха и, более того, часто причина того, что в результате будет получено больше полезной информации об изучаемом предмете, чем заранее предполагалось. Это связано с тем, что математический аппарат таит в себе много скрытой информации и скрытого богатства, накапливавшихся в нем в течение веков, благодаря чему формулы могут оказаться «умнее» применяющего их и дать больше, чем от них ожидалось. Конечно, и эксперименты и примеры также играют большую роль в математических исследованиях: они могут или дать иллюстрацию утверждения, или опровергнуть его, или натолкнуть на какую-либо (в том числе и новую) идею. За последние годы в связи с быстрым развитием вычислительной техники особенно возросло значение математического эксперимента в прикладных исследованиях: здесь открывались качественно совершенно новые возможности и перспективы.
Безусловно, вся эта схема весьма идеализирована. Прежде всего использование знаний, математического аппарата, интуиции, чувства гармонии, фантазии, логики, эксперимента происходит не последовательно по этапам — все это все время взаимодействует между собой в течение всего процесса. Далее, далеко не всегда удается довести проводимые исследования до желаемого конца, но было бы, например, большим заблуждением думать, что для математики имеют значение только доказанные утверждения, только исследования, доведенные в известном смысле до логического завершения. Можно привести много примеров математических теорий и положений, которые, будучи сформулированы лишь в виде гипотез, тем не менее оказывали или оказывают существенное влияние на развитие математики или ее приложений.
Окончательные результаты, полученные в математике, описывая те или иные свойства логических абстрактных моделей, имеют в определенном смысле абсолютный и вечный характер и, следовательно, не меняются и не могут измениться в связи с развитием наших знаний. Так, например, за последние две тысячи лет наши представления об окружающем нас мире и об управляющих им закономерностях претерпели существенные изме--„„,,„ „ ^г^одля ПигЬягооа осталась и останется всегда такой же,
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................ 8
Глава первая Дифференциальное исчисление функций одного переменного
§ 1. Вещественные числа ..................... 13
1.1. Свойства вещественных чисел ... ,............ 13
1.2. Обозначения......................... 22
§ 2. Верхние и нижние грани множеств.............. . 24
2.1. Свойства верхних и нижних граней множеств........ 24
2.2. Сечения в глножестве вещественных чисел.......... 29
§ 3. Предел последовательности................... 30
3.1. Определение предела последовательности и некоторые его свойст-
ва ............................. 30
3.2. Пределы монотонных последовательностей.......... 35
3.3. Теорема Больцано — Вейерштрасса и критерий Коши .... 38
3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности 42
3.5. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями.................. 45
3.6. Изображение вещественных чисел бесконечными десятичными дробями........................... 50
3.7. Счетность рациональных чисел. Несчетность вещественных чисел............................ 57
3.8*. Верхний и нижний пределы последовательностей...... 61
§ 4. Функции и их пределы...................... 63
4.1. Понятие функции...................... 63
4.2. Способы задания функции................. 69
4.3. Элементарные функции и их классификация......... 72
4.4. Первое определение предела функции............ 74
0.о. Второе определение предела функции............. 78
4.6. Свойства пределов функций.................. 83
4.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции...... 85
4.8. Пределы монотонных функций................ 86
4.9. Критерий Коши существования предела функции....... 88
§ 5. Непрерывность функции в точке................ 91
5.1. Точки непрерывности и точки разрыва функции....... 91
5.2. Свойства функций, непрерывных в точке......... . . 95
§ 6. Свойства функций, непрерывных на промежутках........ 97
6.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений...................... 97
6.2. Промежуточные значения непрерывной функции....... 98
6.3. Обратные функции.................•..... 100
§ 7. Непрерывность элементарных функций............. 106
7.1. Многочлены и рациональные функции............ 106
7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции . . . . 107
7.3. Тпигонометоические и обоатные тоигонометпические ЛУНКНИИ 115
§ 8. Сравнение функций. Вычисление пределов............Цб
8.1. Некоторые замечательные пределы..............Цб
8.2. Сравнение функций.....................121
8.3. Эквивалентные функции...................127
8.4. Метод выделения главной части функции. Применение к вычислению пределов ....................129
ф 9. Производная и дифференциал .................133
9.1. Определение производной..................133
9.2. Дифференциал функции...................136
9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала.....139
9.4. Физический смысл производной и дифференциала.......143
9.5. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями...............146
9.6. Производная обратной фун-кции................149
9.7. Производная и дифференциал сложной функции......151
9.8. Гиперболические функции и их производные.........158
§ 10. Производные и дифференциалы высших порядков ........160
10.1. Производные высших порядков...............160
10.2. Высшие производные суммы и произведения функций . . , 162
10.3. Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций и от функций, заданных параметрически . ... 164
10.4. Дифференциалы высших порядков.............166
§ 11. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций.......169
11.1. Теорема Ферма......................169
11.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях . . 170
§ 12. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.......176
О
12.1. Неопределенности вида -Q.................177
со
12.2. Неопределенности вида —................. 180
§ 13. Формула Тейлора........................ 186
13.1. Вывод формулы Тейлора................... 186
13.2. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки............ 190
13.3. Примеры разложения по формуле Тейлора......... 192
13.4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод выделения главной части)................... 195
§ 14. Исследование поведения функций...............198
14.1. Признак монотонности функции...............198
14.2. Определение наибольших и наименьших значений функций. 199
14.3. Выпуклость и точки перегиба................205
14.4. Асимптоты.........................211
14.5. Построение графиков функций...............213
§ 15. Вектор-функция........................223
15.1. Понятие предела и непрерывности для вектор-функции . . . 223
15.2. Производная и дифференциал вектор-функции........226
§ 16. Длина дуги кривой.......................229
16.1. Понятие кривой......................229
16.2* Параметрически заданные кривые.............233
16.3. Ориентация кривой. Дуга кривой. Сумма кривых. Неявное задание кривых...................... . 236
• 16.4. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной
вектор-функции....................... 23?
16.5. Длина дуги кривой и дифференциал длины дуги...... 241
16.6. Плоские кривые...................... 248
16.7. Физический смысл производной вектор-функции...... 250
§ 17. Кривизна кривой........................ 250
17.1. Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие скорости ............................ 250
17.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление....... 254
17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость....... 256
17.4. Центр кривизны и эволюта кривой............. 258
17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоских кривых . ... 259
Глава вторая
Дифференциальное исчисление функций многих переменных § 18. Множества на плоскости ив пространстве............264
18.1. Окрестности и пределы последовательностей точек......264
18.2. Различные типы множеств.................273
§ 19. Предел и непрерывность функций многих переменных...... 283
19.1. Предел функции....................... 284
19.2. Непрерывность функций................... 290
19.3. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций..... 293
19.4. Теоремы о функциях, непрерывных на множествах..... 294
19.5. Равномерная непрерывность функций. Модуль непрерывности 296
§ 20. Частные производные. Дифференцируемостъ функций многих переменных .......................... 303
20.1. Частные производные и частные дифференциалы ..... 303
20.2. Дифференцируемость функций в точке........... 306
20.3. Дифференцирование сложной функций............. 314
20.4. Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных. Правила вычисления дифференциалов . 316
20.5. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала........................ 323
20.6. Производная по направлению. Градиент........... 325
§ 21. Частные производные и дифференциалы высших порядков.....330
21.1. Частные производные высших порядков...........330
21.2. Дифференциалы высших порядков.............333
Глава третья Интегральное исчисление функций одного переменного
§ 22. Определение и свойства неопределенного интеграла.......339
22.1. Первообразная и неопределенный интеграл.........339
22.2. Табличные интегралы....................342
22.3. Интегрирование подстановкой (замена переменного) . . . 344
22.4. Интегрирование по частям.................347
§ 23. Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах .... 349
23.1. Комплексные числа.....................349
23.2. Некоторые понятия анализа в области комплексных чисел . 354
23.3. Разложение многочленов на множители...........357
23.4*. Общий наибольший делитель многочленов.........360
23 .5. Разложение правильных рациональных дробей на элементарные............................365
§ 24. Интегрирование рациональных дробей.............371
24.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей. ... 371
24.2. Общий случай.......................374
24.3*. Метод Остроградского...................376
§ 25. Интегрирование некоторых иррациональностей.........380
(' Г I ax + b\r\ i a.x-srb\ri\
25.1. Интегралы вида \R\x, —L-} , .... --—}\dx. . . . 381
J L \cx + d I \cx + dj J
25.2. Интегралы вида J R (x, Уax2 + bx + c)dx. Подстановки Эйлера 384
25.3. Интегралы от дифференциального бинома..........387
С Р (х)
25.4. Интегралы вида I , п . ' dx . . ..........389
J у ах2 + bx + с § 26 Интегрирование некоторых трансцендентных функций.....392
26.1. Интегралы вида \R (sin x, cos x)dx..............392
26.2. Интегралы вида J sin"1*: cosnx dx.....,........394
26.3. Интегралы вида J sin ад: cos ftxdx.............395
26.4. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся
с помощью интегрирования по частям...........396
26.5. Интегралы вида J R (sh x, ch x} dx..............397
26.6. Замечания об интегралах, не выражающихся через элементарные функции........................398
$ 27. Определенный интеграл.....................400
27.1. Определение интеграла по Риману.............400
27.2. Ограниченность интегрируемой функции...........403
27.3. Верхние и нижние интегральные суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу..................405
27.4. Необходимые и достаточные условия интегрируемости . . . 408
27.5. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций . . . 410
§ 28. Свойства интегрируемых функций...............411
28.1. Свойства определенного интеграла.............411
28.2. Теорема о среднем для определенного интеграла......420
28.3. Интегрируемость кусочно-непрерывных функций.....424
§ 29. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.....426
29.1. Непрерывность интеграла по верхнему пределу.......426
29.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу. Существование первообразной у непрерывной функции.......427
29.3. Формула Ньютона — Лейбница...............429
§ 30. Методы вычисления определенного интеграла..........431
ЗОЛ. Замена переменного.....................431
30.2. Интегрирование по частям.................433
§ 31. Мера плоских открытых множеств..............435
31.1. Определение меры (площади) открытых множеств.......435
31.2. Свойства меры открытых множеств.............438
§ 32. Некоторые геометрические и физические приложения определенного
интеграла......................... 446
32.1. Вычисление площадей.................... 446
32.2. Объем тел вращения.................... 452
32.3. Вычисление длины кривой................. 454
32.4. Площадь поверхности вращения.............457
32.5. Работа силы........................460
32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой . 461
§ 33. Интегралы от неограниченных функций............464
33.1. Определение интеграла от неограниченной функции .... 464
33.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов на конечном промежутке...............469
33.3. Несобственные интегралы от неотрицательных на конечном промежутке функции ..................472
33.4. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся на конечном промежутке несобственные интегралы..............479
§ 34. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
34.1. Определение несобственных интегралов с бесконечными пределами............................482
34.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов ..........................484
34.3. Несобственные интегралы с бесконечными пределами от неотрицательных функций....................488
34.4. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы с бесконечными пределами. Метод улучшения сходимости интегралов.....................492
Глава четвертая Ряды § 35. Числовые ряды ........................591
35.1. Определение ряда и его сходимость.............501
35.2. Свойства сходящихся рядов.................504
35.3. Критерий Коши сходимости ряда..............506
35.4. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Метод выделения главной части га-го члена ряда......507
35.5. Знакопеременные ряды...................521
35.6. Абсолютно сходящиеся ряды. Использование абсолютно сходящихся рядов для исследования сходимости произвольных рядов............................524
35.7. Сходящиеся ряды, несходящиеся абсолютно. Признаки Дирихле
и Абеля .....................•.....532
§ 36. Функциональные последовательности и ряды..........540
36.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов . 540
36.2. Равномерная сходимость последовательностей и рядов . . . 544
36.3. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей 555
§ 37. Степенные ряды........................561
37.1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда ... 561 37.2.* Формула Коши — Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.........................569
37.3. Аналитические функции...................572
37.4. Вещественные аналитические функции............573
37.5. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора ........ 577
37.6. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора . . , . . 582
37.7. Разложение з степенные ряды и суммирование их методом почленного дифференцирования и интегрирования.......589
$ 38. Кратные ряды........................592
38.1. Кратные числовые ряды..................592
38.2. Кратные функциональные ряды...............598
Цена: 150руб.
