АННОТАЦИЯ
Книга возникла из лекционных курсов, читавшихся авторами в Ленинградском и Московском уни-* верситетах и содержавших систематическое изложение основ современной топологии. Она охватывает следующие разделы этих курсов: основы общей топологии, симплициаяьные и_ клеточные пространства, элементарную часть дифференциальной топологии, расслоения и гомотопические группы.
Книга рассчитана на студентов-математиков и физиков университетов и пединститутов, а также на аспирантов и научных работников в области математики и смежных областях.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................>...... 7
Теоретико-множественные термины и обозначения, употребляемые в этой книге, но не являющиеся общепринятыми.............. 9
г л А в А 1 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ I. Основные понятия . . •.......................13
1. Топология (13). 2. Метрика (16). 3. Подпространства (17). 4. Непрерывные отображения (19). 5. Аксиомы отделимости (23). 6. Аксиомы счетности (26). 7. Компактность (28).
§ 2. Конструкции...........................33
1,. Суммы (33). 2. Произведения (33). 3. Факторизация (37). 4. Склеивание (40). 5. Проективные пространства (44). 6. Более специальные конструкции (47). 7. Пространства непрерывных отображений (51). 8. Случай пространств с отмеченной точкой (54). 9. Упражнения (59).
§ 3. Гомотопии............................60
1. Общие определения (60). 2. Пути (64). 3. Связность и й-связ-ность (65). 4. Локальные свойства (69). 5. Пары Борсука (70). 6. Корсы (73). 7. Гомотопические свойства топологических конструкций (75). 8.,Упражнения (81).
Г Л А В А 2
КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Клеточные пространства и их топологические свойства......82
1. Основные понятия (82). 2. Склеивание клеточных пространств из шаров (87). 3. Канонические клеточные разбиения сфер, шаров и проективных пространств (88). 4. Дальнейшие топологические, свойства клеточных пространств (89). 5. Клеточные конструкции (94). 6- Упражнения (98). . .
1 2. Симплициальные пространства...................98
1- Евклидовы симплексы (98), 2. Симплициальные пространства и симплициальные отображения (101). 3. Симплициальные схемы (104). 4. Полиэдры (106). 5. Симплициальные конструкции (107). 6. Звезды. Линки. Регулярные окрестности (113). 7. Симплициальная аппроксимация непрерывного отображения (117). 8. Упражнения (118).
§ 3. Гомотопические свойства клеточных пространств.........119
1. Клеточные пары (119). 2. Клеточная аппроксимация непрерывного отображения (121). 3. Клеточные й-связные пары (125). 4. Симплици-альная аппроксимация клеточных пространств (129). 5. Упражнения (130).
г л А в А з ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
§ 1. Основные понятия . . ........-
...................131
. .г-- (131). 2. Дифференциальные структуры (139). 3. Ориентации (148). 4. Многообразия касательных векторов (153). 5. Вложения, погружения и субмерсии (159). 6. Комплексные структуры (163). 7. Упражнения (168).
§ 2. Многообразия Штифеля и Грассмана...............168
1. Многообразия Штифеля (168). 2. Многообразия Грассмана (174). 3. Некоторые многообразия Штифеля и Грассмана малых размерностей (181). 4. Упражнения (182).
§ 3. Отступление: три теоремы анализа................. 183
1. Аппроксимация функций многочленами (183). 2. Особые значения (186). 3. Невырожденные критические точки (190).
§ 4. Вложения. Погружения. Сглаживания. Аппроксимации.......193
1. Пространства гладких отображений (193). 2. Простейшие теоремы вложения (196). 3. Трансверсализации и трубки (197). 4. Сглаживание отображений в замкнутом случае (200). 5. Гладкое склеивание многообразий (203). 6. Сглаживание отображений при наличии края (208). 7. Приведение отображений в общее положение (213). 8. Отображения, трансверсальные к подмногообразию (218). 9. Повышение класса гладкости многообразия (221). 10. Аппроксимация отображений вложениями и погружениями (226). 11. Упражнения (229).
§ 5. Простейшие структурные теоремы.................231
1. Функции Морса (231). 2. Кобордизмы и хирургия (235). 3. Двумерные многообразия (245). 4. Упражнения (253).
г Л А в А 4 РАССЛОЕНИЯ
§ 1. Расслоения без групповой структуры............... 254
1. Общие определения (254). 2. Локально тривиальные расслоения (256). 3. Расслоения Серра (258). 4. Расслоения пространств отображений (281). 5. Упражнения (264).
§ 2. Отступление: топологические группы и группы преобразований . . .264 '
1. Топологические группы (264). 2. Группы гомеоморфизмов (269). 3. Действие (272). 4. Упражнения (283).
§ 3. Расслоения с групповой структурой................283
1. Пространства с/-^структурой (283). 2. Расслоения Стинрода (285). 3. Ассоциированные расслоения (290). 4. Расслоения Эресмана — -. Фельдбау (294). 5. Упражнения (296).
« 4 Классификация расслоений СтИнрода...............297
1 Расслоения Стинрода и гомотопии (297). 2. Универсальные расслоения (301). 3. Расслоение Милнора (304). 4. Сужение структурной группы (307). 5. Упражнения (308).
§ 5. Векторные расслоения.......................308
1 Общие определения (308). 2. Конструкции (315). 3-. Классические , универсальные векторные расслоения (321). 4. Важнейшие сужения структурной группы (327). 5. Упражнения (329).
§ 6. Гладкие расслоения........... -^............33°
1 Основные понятия (330). 2. Сглаживания'и аппроксимации (333). з' Гладкие векторные расслоения (337). 4. Касательные и нормальные расслоения (343). 5. Степени (348). 6. Упражнения (355).
Г л А в А 5 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
§ 1. Общая теория........................., . 357
1. Абсолютные гомотопические группы (357). 2. Отступление: ансамбли (361). 3. Ансамбли гомотопических групп топологического пространства (363). 4. Относительные гомотопические группы (367). 5. Отступление: последовательности групп и гомоморфизмов и я-после-довательности (372). 6. Гомотопическая последовательность пары (379).
7. Ансамбли гомотопических групп слоев расслоения Серра (383).
8. Гомотопическая последовательность расслоения Серра (386).
9. Воздействие других структур (391). 10. Другие описания гомотопических групп (396). 11. Аддиционные теоремы (400). 12. Упражнения (402).
§ 2. Гомотопические группы сфер и классических многообразий .... 403
1. Надстройка в гомотопических группах сфер (403). 2. Простейшие гомотопические группы сфер (408). 3. Композиционное умножение (412). 4. Информация: гомотопические группы сфер (414). 5. Гомотопические группы проективных пространств и линз (416). 6. Гомотопические группы классических групп (418). 7. Гомотопические v группы многообразий и пространств Штифеля (419). 8. Гомотопические группы многообразий и пространств Грассмана (420). 9. Упражнения (421). .
§ 3. Гомотопические группы клеточных пространств..........„422
1. Гомотопические группы одномерного клеточного пространства (422).
2. Эффект приклеивания шаров (423). 3. Фундаментальная группа клеточного пространства (425). 4. Гомотопические группы компакт--ных поверхностей (428). 5. Гомотопические группы букетов (430).. 6. Гомотопические группы ^-связной клеточной пары (432). 7. Про- ' странство с заданными гомотопическими группами (435). 8. Восемь поучительных примеров (436). 9. Упражнения (438).
§ 4. Слабая гомотопическая эквивалентность...............439
1. "Основные понятия (439). 2; Отношение к конструкциям (444). 3. Клеточная аппроксимация топологического пространства (448). 4. Упражнения (4531.
Ul JIAUJLE.HMK
§ 5. Умножение Уайтхеда.......................454
1. Класс wd (т, n) (454). 2. Определение и простейшие свойства произведения Уайтхеда (457). 3. Применения (459). 4. Упражнения (461).
§ 6. Продолжение теории расслоений..................461
1. Слабая гомотопическая эквивалентность и расслоения Стинро-да(461). 2. Теория накрытий (463). 3. Ориентации (472). 4. Некоторые расслоения над сферами (474). 5. Упражнения (475).
Цитированная литература.......................478
Указатель терминов ........,_.................479
Указатель обозначений........... . ............. 486
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга представляет собой обработку части большого лекционного курса, который мы читали в нескольких вариантах в Ленинградском и Московском университетах. В курсе излагались начала основных разделов топологии: теории гомологии, теории гомотопий, теории расслоений и топологии многообразий. Рамки курса довольно точно определялись установившимся термином элементарная топология, главное значение которого состоит в том, что применяемый аппарат не слишком сложен. В книгу вошли те главы курса, в которых алгебра играет подчиненную роль. Более алгебраизированные части курса мы предполагаем опубликовать в виде отдельной книги.
Переработка лекций в книгу оказалась связанной с обычными в таких случаях приобретениями и потерями: тщательность изложения повысилась в ущерб наглядности, геометрические описания заменились формулами, требующими расшифровки, и т. п. Все же нам кажется, что книга сохранила главные качества нашего лекционного курса: его элементарность, систематичность и учебный характер. Предполагаемая подготовка читателя ограничивается стандартными сведениями из теории множеств, алгебры и анализа, которыми студенты-математики овладевают за' первые полтора года обучения. Изложение сопровождается примерами и упражнениями. Мы надеемся, что книга сможет служить учебником топологии.
Наиболее существенное отличие книги от соответствующей части нашего лекционного курса заключается в расположении материала: в книге он излагается значительно более последовательно. По нашим наблюдениям слишком последовательное лекционное изложение элементарной топологии скучновато, и менее эффективно, чем перемешивание геометрии с алгеброй и с приложениями. Это замечание" кажется нам уместным как предостережение преподавателю, который пожелал бы воспользоваться нашей книгой как руководством. Впрочем, и читать ее совсем не обязательно подряд; читатель, который захочет поскорее добраться до гомотопических групп или любой другой главы, легко сможет это сделать.
Цена: 150руб.
