Теория разностных схем численного решения дифференциальных уравнений является одной из основных частей современной вычислительной математики.
Книга предназначена для первоначального ознакомления с теорией разностных схем и является учебным пособием для студентов университетов, высших учебных заведений с расширенной программой по математике, а также может быть использована как учебное руководство для студентов других вузов, в которых преподаются численные методы решения дифференциальных уравнений. Некоторые разделы книги представляют интерес и для специалистов в области методов вычислений.
Илл. 57, библ. 28 названий.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................. 9
Предисловие ко второму изданию................... 10
Введение............................... 11
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава 1. Разностные уравнения первого и второго порядка. Примеры разностных схем.................. 15
§ 1. Простейшие разностные уравнения.............. 15
1. Разностные уравнения (15). 2. Порядок разностного уравнения (18).
3. Общее решение разностного уравнения (18).
Задачи............................ 20
§ 2. Разностное уравнение первого порядка ...... ...... 21
1. Фундаментальное решение (21). 2. Условие ограниченности фундаментального решения (2?). 3. Частное решение (23).
Задачи............................ 25
§ 3. Разностное уравнение второго порядка ............ 25
1. Общее решение однородного уравнения ("6). 2. Общее решение неоднородного уравнения. Фундаментальное решение (29). 3. Оценка фундаментального решения через коэффициенты разностного уравнения (34). Задачи............................ 38
Глава 2. Краевая задача для уравнения второго порядка..... 38
§ 4. Постановка задачи. Признаки хорошей обусловленности .... 38
1. Постановка задачи (38). 2. Определение хорошей обусловленности (39). 3. Достаточный признак хорошей обусловленности (4D). 4. Критерий хорошей обусловленности краевой задачи с постоянными коэффициентами (42). 5. Критерий хорошей обусловленности задачи с переменными коэффициентами (42). 6. Обоснование критерия хорошей обусловленности краевой задачи с постоянными коэффициентами (44). 7. Общие краевые задачи для систем разностных уравнений (48). Задачи............................ 50
э 5. Алгоритм решения краевой задачи — прогонка......... 51
1- Описание прогонки (51). 2. Пример вычислительно неустойчивого алгоритма (53). Задачи............................ 55
1*
Глава 3. Обоснование метода прогонки . .'............ 56
§ 6. Свойства хорошо обусловленных краевых заДач........ 56
1. Оценки решений краевой задачи с возмущенными коэффициентами (56).
2. Доказательство критерия хорошей обусловленности (61). 3. Свойства хорошо обусловленных задач (64).
§ 7. Обоснование метода прогонки для хорошо обусловленных краевых задач.......................... 65
1. Оценки прогоночных коэффициентов (65). 2. Оценка влияния на результат ошибок округления в процессе вычислений (67).
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Глава 4. Элементарные примеры разностных схем......... 71
§ 8. Понятие о порядке точности и об аппроксимации....... 71
1. Порядок точности разностной схемы (71). 2. Скорость сходимости решения разностного уравнения (75). 3. Порядок аппроксимации (77).
§ 9. Неустойчивая разностная схема................ 78
1. Способы аппроксимации прочзводной (78). 2. Пример неустойчивой разностной схемы (78).
Глава 5. Сходимость решений разностных уравнений как следст-
ствие аппроксимации и устойчивости........... 82
§ 10. Сходимость разностной схемы................ 82
I. Понятие о сетке и сеточной функции (82). 2. Сходящиеся разностные схемы (87). 3. Проверка сходимости разностной схемы (90).
Задачи.......................... . 92
§ 11. Аппроксимация дифференциальной краевой задачи разностной
схемой ...................... ..... 92
1. Невязка 6f(ft> (92). 2. Вычисление невязки (94). 3. Аппроксимация порядка hk (,96). 4. Примеры (97). 5. Разбиение разностной схемы на подсистемы (100). 6. Замена производных разностными отношениями (103). 7. Другие способы построения разностных схем (105).
Задачи...........................106
§ 12. Определение устойчивости разностной схемы. Сходимость как
' следствие аппроксимации и устойчивости...........106
1. Определение устойчивости (106). 2. Зависимость между аппроксимацией, устойчивостью и сходимостью (108). 3. Сходящаяся разностная схема для интегрального уравнения (114),
§ 13. О выборе норм....................... Н5
§ 14. Достаточный признак устойчивости разностных схем решения
задачи Коши ........................123
1. Вводный пример (124). 2. Каноническая запись разностной схемы (125). 3. Устойчивость как ограниченность норм степеней оператора перехода (127). 4. Примеры исследования устойчивости (128). 5. Неединственность канонической записи (133).
Задачи...................•.......135
ОГЛАВЛЕНИЕ --;- 5
§ 15. Необходимый спектральный .признак устойчивости ...... 136
1. Ограниченность норм степеней оператора перехода необходима для устойчивости (136). 2. Спектральный признак устойчивости (138). 3. Обсуждение спектрального признака устойчивости (139). Задачи ...........................143
§ 16. Ошибки округления.....................144
I. Ошибки в коэффициентах (144). 2. Ошибки в вычислениях (147).
§ 17. Количественная характеристика устойчивости.........149
§ 18. Прием исследования устойчивости нелинейных задач.....155
Глава 6. Употребительные разностные схемы...........157
§ 19. Схемы Рунге — Кутта и Адамса...............157
1. Схемы Рунге—Кутта (158). 2. Схемы Адамса (16Э). 3. Замечания об устойчивости (163). 4. Обобщение на системы уравнений (164).
§ 20. Методы решения краевых задач...............166
1. Метод стрельбы (166). 2. Метод прогонки (169). 3. Метод Ньютона (169).
Ч ACTЬ ТРЕТЬЯ
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Глава 7. Простейшие приемы построения и исследования разностных схем........................171
§ 21. Напоминание и иллюстрация основных определений......171
1. Определение сходимости (171). 2. Определение аппроксимации (172).
3. Определение устойчивости (175).
Задачи...........................182
§ 22. Простейшие приемы построения аппроксимирующих разностных схем..........................183
1. Замена производных разностными отношениями (183). 2. Метод неопределенных коэффициентоа (191). 3. Схемы с пересчетом, или схемы предиктор-корректор (200). 4. О других приемах (202).
Задачи..........................'. 202
§ 23. Примеры конструирования граничных условий при построении
разностных схем....................... 204
Задачи............................ 209
§ 24. Условие Куранта, Фридрихса и Леви, необходимое для сходимости .......................... 210
1. Условие Куранта, Фридрихса и Лгня (210). 2. Примеры разностных схем для задачи Коши (211). 3. Примеры разностных схем для задачи Дирихле (217). Задачи...........................219
лава 8. Некоторые основные приемы исследования устойчивости 221
э 25. Спектральный анализ разностной задачи Коши........221
1. Устойчивость по начальным данным (221). 2. Необходимое спектральное условие устойчивости (222). 3. Примеры (224). 4. Интегральное представление решения (231). 5. Выглаживание разностного решения как Действие аппроксимационной вязкости (237).
Задачи........ „ 239
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 26. Принцип замороженных коэффициентов...........240
1. Замораживание коэффициентов во внутренних точках (240). 2. Признак Бабенко и Гельфанда (243).
Задачи...........................249
§ 27. Представление решений некоторых модельных задач в виде
конечных рядов Фурье....................251
1. Ряды Фурье для сеточных функций (251). 2. Представление решений разностных схем для уравнения теплопроводности на отрезке (254). 3. Представление решений разностных схем для двумерной задачи теплопроводности (257). 4. Представление решения разностной схемы для задач о колебаниях струны (260). Задачи...........................262
§ 28. Принцип максимума.....................262
1. Явная разностная схема (263). 2. Неявная разностная схема (265). 3. Сопоставление явной и неявной разностных схем С>66).
Глава 9. Понятие о разностных схемах для расчета обобщенных
решений.........................268
§ 29. Обобщенное решение....................268
1. Механизм возникновения разрывов (269). 2. Определение обобщенного решения (270). 3. Условие на линии разрыва решения (272). 4. Распад произвольного разрыва (273). 5. Другое определение обобщенного решения (275).
§ 30. Построение разностных схем................ . 275
1. Схема с искусственной вязкостью (276). 2. Метод характеристик (277). 3. Дивергентные разностные схемы (278).
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
ЗАДАЧИ С ДВУМЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ Глава 10. Понятие о разностных схемах расщепления.......284
§ 31. Конструкция схем расщепления...............284
Задачи...........................288
§ 32. Экономичные разностные схемы...............28$
Задачи ...........................29С
§ 33. Расщепление по физическим факторам............29fi
Глава II. Эллиптические задачи..................29?
§ 34. Простейшая разностная схема для задачи Дирихле......29{
1. Аппроксимация (298). 2. Устойчивость (299).
Задачи...........................30J
§ 35. Метод установления.....................30^
1. Идея метода установления (334). 2. Анализ явной схемы установления (337). 3. Схема переменных направлений (339). 4. Выбор точности (311). 5. Границы применимости методов (311).
Задачи...........................31
ОГЛАВЛЕНИЕ 7
S 36. Итерации с переменным шагом................312
1. Идея Ричардсона (312). 2. Чебышевский набор параметров (313).
3. Нумерация итерационных параметров (316). 4. Метод Дугласа —Рэк-форда (320).
Задачи ,'..........................322
§ 37. Метод Федоренко......................323
1. Идея метода (324). 2. Описание алгоритма (325).
Глава 12. Понятие о вариационно-разностных и проекционно-раз-
ностных схемах.....................327
§ 38. Вариационные и проекционные методы............327
1. Вариационная постановка краевых задач (327). 2. Сходимость миннми-. зирующих последовательностей (331). 3. Вариационный метод Ритца (335).
4. Проекционный метод Галеркина (341). 5. Способы решения алгебраической системы (343). 6. Вычислительная устойчивость (343).
Задачи...........................343
§ 39. Построение и свойства вариационно-разностных и проекцион-
но-разностных схем.....................344
1. Определение вариационно-разностных и проекционно-разностных схем (344). 2. Пример вариационно-разностной схемы для первой краевой задачи (346), 3. Пример вариационно-разностной схемы для третьей краевой задачи (354). 4. О методике доказательства сходимости (358).
5. 'Сопоставление вариационно-разностных схем с общими вариационными и обычными разностными (358).
Задача...........................359
ЧАСТЬ ПЯТАЯ
УСТОЙЧИВОСТЬ ЭВОЛЮЦИОННЫХ РАЗНОСТНЫХ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ КАК ОГРАНИЧЕННОСТЬ НОРМ СТЕПЕНЕЙ
НЕКОТОРОГО ОПЕРАТОРА
Глава 13. Конструкция оператора перехода............362
§ 40. Слоистая структура решений эволюционных задач......362
Задачи...........................365
§ 41. Запись разностных краевых задач в виде цр+1 = Rhup + трр 365 1. Канонический вид (365). 2. Устойчивость как равномерная ограничь i-ность норм степеней Rh (368). 3. Пример (372). Задачи........................ 374
X 42. Использование частных решений при конструировании оператора перехода........................375
3. Некоторые способы оценки норм степеней операторов .... 387
1. Необходимые спектральные условия ограниченности II Л? II (387). о р I! " II
- спектральный критерий ограниченности степеней самосопряженного оператора (389). 3. Признаки самосопряженности (39D). 4. Оценки собственных значений оператора Дд (391). 5. Выбор скалярного умноже-
ия (393). 6. Критерии устойчивости Самарского (394). Задачи...........................395
Глава 14. Спектральный признак устойчивости несамосопряженных эволюционных краевых задач............396
§ 44. Спектр семейства операторов {R^}..............396
1. Необходимость усовершенствования спектрального признака устойчивости (396). 2. Определение спектра семейства операторов (398). 3. Необходимое условие устойчивости (399). 4. Обсуждение понятия спектра семейства операторов {Rh} (400). 5. Близость необходимого признака устойчивости к достаточному (401).
§ 45. Алгоритм вычисления спектра семейства разностных операторов над сеточными функциями на отрезке..........403
1. Характерный пример (404). 2. Алгоритм вычисления спектра в общем случае (411).
Задачи . ..........................412
§ 46. Ядра спектров семейств операторов.............412
§ 47. Об устойчивости итерационных алгоритмов решения несамосопряженных разностных уравнений.............415
Дополнение. Метод внутренних граничных условий.......419
1. Класс систем разностных уравнений (419). 2. Фундаментальное решение (420). 3. Граница сеточной области (420). 4. Разностные аналоги ий-' тегральных формул Коши и типа Коши (421). 5. Внутренние граничные условия (423). 6. Оператор граничного проектирования (423). 7. Общая краевая задача (423). 8. Основная идея метода внутренних граничных условий (424). 9. Устойчивость внутренних граничных условий (424). 10. Дополнительная идея (425). П. Сопоставление метода внутренних граничных условий с методом сингулярных интегральных уравнений (426).
Библиографические комментарии....................429
Литература..............................434
Предметный указатель........................436
ПРЕДИСЛОВИЕ
Многие вопросы естествознания приводят к краевым задачам для дифференциальных уравнений. С целью решения этих задач на электронных вычислительных машинах их приближенно заменяют разностными схемами.
Книга предназначена для первоначального ознакомления с теорией разностных схем и написана как учебное пособие для студентов технических вузов, Московского физико-технического и Московского инженерно-физического институтов, для студентов физических и математических факультетов университетов. Вместе с тем, вероятно, некоторые разделы книги будут интересны и специалистам в области вычислений.
Различие интересов перечисленных категорий читателей нашло отражение в структуре книги.
Книга состоит из пяти частей и небольшого Дополнения. Любое число нескольких (двух или более) первых частей составляет некоторое законченное введение в предмет. Кроме того, объем изучаемого материала можно регулировать за счет текста, напечатанного мелким шрифтом, и за счет количества решаемых задач.
В конце указана литература для углубленного изучения многих вопросов теории и приложений разностных схем и для дальнейших библиографических справок.
Более кратким введением в теорию разностных схем может служить книга [11].
Непосредственно в тексте книги ссылки на оригинальные Работы даются лишь в тех немногих случаях, когда дополнительные результаты приводятся без доказательств.
Современная вычислительная техника и накопленный опыт
°зволяют с помощью разностных схем приближенно вычислять
Решения очень сложных и плохо поддающихся исследованию
Другими методами задач. Уверенность в том, что решение вы-
исдено правильно, достигается применение;,: той же вычисли-
схемы для расчета немногих задач, точные решения с гЬ°^Ых заРанее известны, сопоставлением результатов расчета Физическим экспериментом в том диапазоне параметров, где
Цена: 150руб.
