Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом институте. Фактически принят как учебное пособие в некоторых втузах с повышенной программой по математике.
Первый том содержит дифференциальное исчисление функций одной и многих переменных, ряды и интегральное исчисление для функций одной переменной.
Илл. — 83.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию....................... 7
Предисловие ко второму изданию...................... 10
Глава!
Введение..................................... 11
§ 1.1. Вступление............................. 11
§ 1.2. Множество. Интервал, отрезок................... 11
§ 1.3. Функция.............................. 14
§ 1.4. Понятие непрерывности функции................. 24
§ 1.5. Производная............................. 27
§ 1.6. Первообразная. Неопределенный интервал........... 33
§ 1.7. Понятие определенного интеграла. Площадь криволинейной
фигуры............................... 35
Глава 2
Действительное число.............................. 41
§ 2.1. Рациональные и иррациональные числа............. 41
§ 2.2. Определение неравенства..................... 45
§ 2.3. Определение арифметических действий............. 46
§ 2.4. Основные свойства действительных чисел............ 49
§ 2.5. Точные верхняя и нижняя грани множества.......... 52
§ 2.6. Другие формулировки свойства V................ 53
§ 2.7. Изоморфизм различных представлений действительных чисел.
Длина отрезка, физические величины.............. 55
§ 2.8. Дополнение............................. 61
§ 2.9. Неравенства для абсолютных величин.............. 63
Г л а в а 3
Предел последовательности ..................... ..... 64
§ 3.1. Понятие предела последовательности . . •............ 64
§ 3.2. Арифметические действия с пределами............. 68
§ 3.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины ....;. 70 § 3.4. Существование предела у монотонной ограниченной последовательности.............................. 72
§ 3.5. Число е............................... 73
§ 3.6. Критерий Коши существования предела............. 74
§ 3.7. Подпоследовательности. Верхний и нижний пределы..... 76
§ 3.8. Теорема Вейерштрасса....................... 82
§ 3.9. Счетное множество. Счетность множества рациональных чисел.
Несчетность множества действительных чисел......... 83
Г л а в а 4
Предел функции................................. 86
§ 4.1. Понятие предела функции.................... 86
§ 4.2. Непрерывность функции в точке................ 93
1*
§ 4.3. Пределы функции справа и слева. Монотонная функция . . 99
§ 4.4. Функции, непрерывные на отрезке............... 103
§ 4.5. Обратная функция........................ 106
§ 4.6. Показательная и логарифмическая функции.......... 109
§ 4.7. Степенная функция хь...................... 113
§ 4.8. Еще о числе е........................... 115
§4.9. lim —.............................. 116
х^о х
§ 4.10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика)..... 116
Глава 5
Дифференциальное исчисление для функций одной переменной....... 121
§ 5.1. Производная............................ 121
§ 5.2. Дифференциал функции..................... 125
§ 5.3. Производная функции от функции............... 127
§ 5.4. Производная обратной функции ................ 129
§ 5.5. Таблица производных простейших элементарных функций 131
§ 5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка....... 132
§ 5.7. Возрастание и убывание функции на интервале и в точке.
Локальный экстремум...................... 136
§ 5.8. Теоремы о среднем значении. Критерии возрастания и убывания функции на интервале. Достаточные критерии локальных экстремумов......................... 138
§ 5.9. Формула Тейлора......................... 143
§ 5.10. Формулы Тейлора для важнейших элементарных функций 151
§ 5.11. Ряд Тейлора............................ 155
§ 5.12. Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба......... 158
§ 5.13. Выпуклость кривой на отрезке................. 160
§ 5.14. Раскрытие неопределенностей.................. 161
§ 5.15. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции...... 166
Г л а в а 6
га-мерное пространство. Геометрия кривой .................. 169
§ 6.1. n-мерное пространство. Линейное множество......... 169
§ 6.2. Евклидово n-мерное пространство. Пространство со скалярным произведением........................ 170
§ 6.3. Линейное нормированное пространство............. 173
§ 6.4. Вектор-функция в n-мерном евклидовом пространстве .... 174
§ 6.5. Кривая в л-мерном пространстве................ 177
§ 6.6. Геометрический смысл производной вектор-функции..... 183
§ 6.7. Длина дуги кривой......................... 184
§ 6.8. Касательная. Нормаль к плоской кривой........... 186
§ 6.9. Кривизна и радиус кривизны кривой. Плоская кривая Эволюта и эвольвента........................ 188
§ 6.10. Соприкасающаяся плоскость и подвижный триэдр кривой 192
§ 6.11. Асимптота............................. 197
§ 6.12. Замена переменных........................ 199
Глава 7
Дифференциальное исчисление функций многих переменных........ 201
§ 7.1. Открытое множество....................... 201
§ 7.2. Предел функции......................... . 204
§ 7.3. Непрерывная функция............;...... . 207
§ 7.4. Частные производные и производная по направлению .... 211 § 7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость .... 212 § 7.6. Производная сложной функции; производная по направлению; градиент........................... 216
§ 7.7. Независимость от порядка дифференцирования........ 222
§ 7.8. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка 224 § 7.9. Предельная точка. Теорема Вейерштрасса. Замкнутые и
открытые множества....................... 228
§ 7.10. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на
замкнутом множестве....................... 233
§ 7.11. Продолжение равномерно непрерывной функции. Частная
производная на границе области ................ 238
§ 7.12. Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля . . . 240
§ 7.13. Формула Тейлора......................... 241
§ 7.14. Формула Тейлора с остатком в форме Пеано. Единственность ................................ 245
§ 7.15. Локальный (абсолютный) экстремум функции......... 246
§ 7.16. Теоремы существования неявной функции ........... 250
§ 7.17. Теорема существования решения системы уравнений..... 254
§ 7.18. Отображения............................ 258
§ 7.19. Гладкая поверхность....................... 260
§ 7.20. Гладкая поверхность, заданная параметрически. Ориентируемая поверхность........................ 264
§ 7.21. Пример неориентируемой поверхности. Лист Мёбиуса .... 269
§ 7.22. Локальный относительный экстремум.............. 269
§ 7.23. Особые точки кривой....................... 276
§ 7.24. Кривые на поверхности..................... 280
§ 7.25. Криволинейные координаты в окрестности гладкой границы
области............................... 285
§ 7.26. Замена переменных в частных производных.......... 287
§ 7.27. Система зависимых функций................... 291
Г л а в а 8
Неопределенные интегралы. Алгебра многочленов.............. 295
§ 8.1. Введение. Методы замены переменных и интегрирования по
частям................................ 295
§ 8.2. Комплексные числа........................ 300
§ 8.3. Предел последовательности комплексных чисел. Функция
комплексного переменного .................... 305
§ 8.4. Многочлены............................ 308
§ 8.5. Разложение рациональной функции на простейшие дроби 312
§ 8.6. Интегрирование рациональных дробей.............. 317
§ 8.7. Метод Остроградского выделения рациональной части из интеграла ........................... • • • • 318
§ 8.8. Интегрирование алгебраических иррациональностей..... 321
§ 8.9. Подстановки Эйлера....................... 322
§ 8.10. Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева...... 324
§ 8.11. Интегрирование тригонометрических выражений....... 325
§ 8.12. Тригонометрические подстановки................ 328
§ 8.13. Несколько важных интегралов, не выражаемых в элементарных функциях......................... 329 .
Глава 9
Определенный интеграл Римана........................ 331
§ 9.1. Вводная часть и определение.................. 331
§ 9.2. Ограниченность интегрируемой функции............ 332
О ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 9.3. Суммы Дарбу........................... 333
§ 9.4. Основная теорема......................... 335
§ 9.5. Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и монотонной функции на [а, Ь]................... 338
§ 9.6. Теорема Лебега.......................... 339
§ 9.7. Аддитивные и однородные свойства интеграла........ 340
§ 9.8. Неравенства и теорема о среднем................ 343
§ 9.9. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Ньютона—Лейбница ........................... 345
§ 9.10. Вторая теорема о среднем.................... 349
§ 9.11. Видоизменение функции..................... 350
. § 9.12. Несобственные интегралы.....,............... 351
§ 9.13. Несобственные интегралы от неотрицательных функций . . . 355
§ 9.14. Интегрирование по частям.................... 358
§ 9.15. Несобственный интеграл и ряд................. 360
§ 9.16. Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точках ................................. 364
§ 9.17. Формула Тейлора с остатком в интегральной форме. .... 367
§ 9.18. Формулы Валлиса и Стерлинга................. 368
Глава 10
Некоторые приложения интегралов. Приближенные методы......... 372
§ 10.1. Площадь в полярных координатах.............. 372
§ 10.2. Объем тела вращения...................... 373
§ 10.3. Длина дуги гладкой кривой.................. 374
§ 10.4. Площадь поверхности тела вращения............. 376
§ 10.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа........... 377
§ 10.6. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций . . . 378
§ 10.7. Общая квадратурная формула. Функционал......... 379
§ 10.8. Формула Симпсона....................... 380
§ 10.9. Общий метод получения оценок квадратурных формул . . . 382
§ 10.10. Еще о длине дуги........................ 3S5
§ 10.11. Число л. Тригонометрические функции............ 387
Глава 11
Ряды....................................... 391
§ 11.1. Понятие ряда.......................... 391
§ 11.2. Действия с рядами....................... 393
§ 11.3. Ряды с неотрицательными членами.............. 394
§ 11.4. Ряд Лейбница.......................... 398
§ 11.5. Абсолютно сходящиеся ряды.................. 399
§ 11.6. Условно и безусловно сходящиеся ряды с действительными
членами.............................. 400
§ И.7. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость.............................. . 402
§ 11.8. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов на отрезке.................... 407
§ 11:9. Кратные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся рядов 411 § 11.10. Суммирование рядов и последовательностей методом средних арифметических....................... 416
§ 11.11. Степенные ряды......................... 417
§ 11.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. . . 420 § 11.13. Степенные ряды функций ег, cos г, sin г комплексной переменной .............................. 423
Предметный указатель...........,................. 426
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Этот учебник, выходящий в двух томах, соответствует, если не считать некоторых добавлений, программе курса математического анализа, читаемого мною уже много лет в Московском физико-техническом институте.
Первая глава носит вводный характер. В ней на основе интуитивных представлений о пределе вводятся основные понятия математического анализа и даже на основании наглядных и физических соображений устанавливается связь между производной и интегралом и даются элементы техники дифференцирования и интегрирования, нужные читателю, изучающему параллельно физику.
Вторая глава посвящена действительному числу. В основу понятия числа взято его представление в виде бесконечной десятичной дроби. Только часть этой главы —крупный шрифт,— рассматривается как обязательная. При желании она может быть еще уменьшена.
Я придерживаюсь точки зрения, впрочем, традиционной, что основные факты математического анализа сначала должны быть изложены для функций одной переменной, а затем уже для многих переменных. Здесь неизбежны повторения, но они незначительны. С другой стороны, для такой аудитории, какой являются студенты наших мехматов, физматов и физтехов, вполне возможно переходить от одной не к двум и не к трем, а сразу же к п переменным. Весь вопрос тут только в удачных обозначениях. Но они уже выработаны в журнальной и монографической литературе, целесообразность их уже проверена и теперь они должны становиться достоянием наших учебников. Такой подход обеспечивает правильную перспективу. Ведь во второй половине курса,— в таких разделах как ряды Фурье, интеграл Фурье,— читателю придется овладевать представлением о бесконечномерности функциональных пространств.
В своем изложении я достаточно рано ввожу понятие «-мерного евклидова пространства, пространства со скалярным произведением, банахова пространства и широко пользуюсь этими понятиями, однако, в меру необходимости выполнения программы.
Как требуется программами, изложение курса ведется на основе интеграла Римана. Я старался аналогичные теоремы в одномерном и многомерном случаях доказывать аналогично, чтобы сэкономить силы читателя для других вопросов.
Цена: 150руб.
