Для специалистов, занимающихся аналитическими и численными исследованиями движения жидкостей, аспирантов и студен-
ОТ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
Теория вязких течений несжимаемой жидкости представляет собой один из важнейших для практики и наиболее интересный для математических исследований раздел гидродинамики. Не случайно именно в задачах динамики вязких течений Лерэ и Шау-дером были сделаны первые шаги по применению методов функционального анализа, а в последнее время уравнения Навье —Стокса -стали одним из первых объектов применения численных методов. Многие из задач динамики вязкой жидкости, например задача о численном исследовании течений при больших до- и закритиче-ских числах Рейнольдса, вплоть до настоящего времени не решены и настоятельно требуют своего решения.
Предлагаемая вниманию читателей книга известного французского математика Роже Темама посвящена достаточно обстоятельному изложению вопросов теории и в особенности вычислительным аспектам задач динамики вязкой несжимаемой жидкости.
В книге приведены необходимые для понимания существа дела известные результаты о существовании, единственности и регулярности решений уравнений Навье—Стокса. Вместе с тем приводится большое число соответствующих дискретных аппроксимаций дифференциальных задач: метод конечных разностей, метод конечных элементов, экономичные разностные схемы.
Разумное сочетание строгости и доступности изложения материала делают монографию Р. Темама весьма полезной не только для научных работников, интересующихся численными методами динамики вязких течений, но и для аспирантов и студентов •старших курсов университетов.
Об актуальности данной книги свидетельствует тот факт, что уже через два года после ее появления (1977 г.) вышло второе, исправленное и дополненное издание (1979 г.), с' которого и выполнен настоящий перевод. Работа над переводом была существенно ускорена благодаря тому, что Р. Темам любезно предоставил нам полный список изменений, исправлений и дополнений, внесенных им в текст первого издания. Мы искренне признательны ему за это.
Я. Н. Яненко Б. Г. Кузнецов
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов перевода » , , ,................... 5
Предисловие , ,.....,................... . 6
Глава I. Стационарные уравнения Стокса.............. 9
Введение............................ 9
§ 1. Некоторые функциональные пространства............ 9
1.1. Обозначения.....,.................. 10
1.2. Теорема о плотности ,.................. . 13
1.3. Теорема о следе...................... 16
1.4. Характеризация пространств Н и V............. 20
§ 2. Существование и единственность решения для уравнений Стокса . . 26
2.1. Вариационная формулировка задачи ,............ 26
2.2. Проекционная теорема....., , ,........... 28
2.3. Случай неограниченной области . ,............. 32
2.4. Неоднородная задача Стокса , , , . ,........... 34
2.5. Результаты о регулярности................. 35
2.6. Собственные функции для задачи Стокса , ,......... 40
§ 3. Дискретизация уравнений Стокса (I)............... 41
3.1. Аппроксимация нормированного пространства........ 41
3.2. Общая теорема сходимости..........»...'... 44
3.3. Аппроксимация с помощью конечных разностей....... 48
3.3.1. Обозначения..................... 48
3.3.2. Внешняя аппроксимация пространства Hi (Q)..... 49
3.3.3. Дискретное неравенство Пуанкаре........... 52
3.3.4. Аппроксимация (АПР1) пространства V........ 54
3.3.5. Аппроксимация задачи Стокса............. 58
§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (II).............. 61
4.1. Предварительные результаты................ 61
4.2. Конечные элементы степени 2 (и = 2)............ 67
4.2.1. Аппроксимация пространства Hi (И).......... 67
4.2.2. Аппроксимация (АПР2) пространства V........ 71
4.2.3. Аппроксимация задачи Стокса............ 75
4.2.4. Использование функций-колоколов ,......... 77
4.3. Конечные элементы степени 3 (« = 3)............ 85
4.3.1. Аппроксимация пространства Но (&).......... 85
4.4. Внутренняя аппроксимация пространства V......... 89
4.5. Несогласованные конечные элементы............ 95
4.5.1. Аппроксимация пространства Ho(Q).......... 95
4.5.2. Аппроксимация (АПР5) пространства V........ 101
4.5.3. Аппроксимация задачи Стокса ,,,....•..... 104
4.5.4. Вспомогательные оценки ,.,,,.......... 106
§ 5. Численные алгоритмы......., . ,............ 115
5.1. Алгоритм Удзавы...... « , . »............ -П5
5.2. Алгоритм Эрроу—Гурвица................. 118
5.3. Дискретная форма представленных выше алгоритмов..... 119
§ 6. Слабо сжимаемая жидкость................... 122
6.1. Сходимость Ие к и.................... . 122
[.2. Асимптотическое разложение для йе ............ 124
Численные алгоритмы ,,,..,.,..,,,,.,... 127
Глава II. Стационарные уравнения Навье — Стокса .......... 128
Введение ........... . ................ 128
§ 1. Теоремы существования и единственности ............ 12д
1.1. Неравенства Соболева и теоремы о компактности ...... 129
1.2. Однородные уравнения Навье — Стокса ........... 131
1.3. Однородные уравнения Навье — Стокса (продолжение) .... 137
1.4. Неоднородные уравнения Навье — Стокса .......... 141
§ 2. Дискретные неравенства и теоремы о компактности ....... 143
2.1. Дискретные неравенства Соболева для ступенчатых функций 147
2.2. Дискретная георема о компактности для ступенчатых функций 153
2.3. Дискретные неравенства Соболева для несогласованных конеч-
ных элементов ....................... 157
2.4. Дискретная теорема о компактности для несогласованных конечных элементов ..................... 159
§ 3. Аппроксимация стационарных уравнений Навье — Стокса ..... 162
« 3.1. Общая теорема о сходимости ................ 162
3.2. Приложения ........................ 166
3.3. Численные алгоритмы ................... 176
§ 4. Теория бифуркаций и результаты о неединственности ...... 180
4.1. Задача Тейлора. Предварительные результаты ........ 181
4.1.1. Уравнения ...................... 181
4.1.2. Функция тока ............ ........ 182
4.1.3. Ассоциированное функциональное уравнение ..... 183
4.1.4. Свойства оператора Т ............... • . 186
4.1.5. Один результат о единственности ........... 187
4.2. Одно спектральное свойство оператора В .......... 188
4.2.1. Некоторые разложения ъ ряд Фурье ......... 188
4.2.2. Свойства операторов В„ ............... 189
4.2.3. Одно спектральное свойство оператора В ....... 192
4.3. Некоторые элементы теории топологической степени ..... 194
4.3.1. Топологическая степень ............... 194
4.3.2. Индекс ....................... 194
4.4. Теорема о неединственности ................ 195
Глава III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса ......... 198
Введение ............................ 19°
§ 1. Линейный случай ........................ 99
1.1. Обозначения ........................ '^
1.2. Теорема существования и единственности .......... 203
1.3. Доказательство существования ............... 205
1.4. Доказательство непрерывности и единственности ....... 209
1.5. Разные замечания ....... , ............. 21^
§ 2. Теоремы о компактности .................... ^jjj
2.1. Один предварительный результат .............. ^1о
2.2. Теорема о компактности для банаховых пространств ..... j\'
2.3. Теорема о компактности с дробными производными ..... j\^ § 3. Теоремы существования и единственности (Ж, 4) ........ j™*
3.1. Одна теорема существования для R"(n<;4) ......... ~~*
3.2. Доказательство теоремы 3.1 ................. ;™„
3.3. Регулярность и единственность (п = 2) ........... Jji,
3.4. О регулярности и единственности (n = 3) .......... rL
3.5. Более регулярные решения ................. ^оо
3.5.1. Двумерный случай ............... . . • ~ ^
3.5.2. Трехмерный случай ................ • ~4б
3.6. Связь между задачами о существовании и единственности (л=о) ^
3.7. Использование специального базиса ......... . • • •
3.7.1. Предварительные результаты............. 249
3.7.2. Двумерный случай.................. 250
3.7.3. Трехмерный случай.................. 252
3.8. Частный случай /=0.................... 253
§ 4. Другое доказательство существования (с помощью полудискретизации) ............................ 254
4.1. Формулировка задачи.................... 254
4.2. Приближенные решения................... 257
4.3. Априорные оценки...............•...... 259
4.4. Предельный переход.................... 261
§ 5.. Дискретизация уравнений Навье—Стокса. Общие теоремы об устойчивости и сходимости...................... 262
5.1. Описание аппроксимирующих схем............. 264
5.2. Устойчивость схем 5.1 и 5.2 ................ 267
5.2.1. Схема 5.1 ...................... 267
5.2.2. Схема 5.2....................... 268
5.2.3. Теоремы об устойчивости............... 269
5.3. Устойчивость схемы 5.3.................. 270
5.3.1. Априорные оценки.................. 270
5:3.2. Теорема об устойчивости............... 272
5.4. Устойчивость схемы 5.4................... 272
5.4.1. Априорные оценки.................. 272
5.4.2. Теорема об устойчивости............... 274
5.5. Одна дополнительная оценка для схемы 5.2......... 275
5.6. Другие априорные оценки ................. 275
5.7. Сходимость численных схем................. 278
5..7-1- Предположения о согласованности и компактности . . . 278
5.7.2. Теоремы о сходимости................ 280
5.7.3. Доказательство теоремы 5.4 (схема 5.1)........ 282
5.7.4. Доказательство утверждения (5.97).......... 284
5.7.5. Доказательство теорем 5.4 и 5.5 (прочие случаи) ... 286 § 6. Дискретизация уравнений Навье—Стокса. Приложение общих результатов ........................... 287
6.1. Конечные разности ((АПР1))................ 287
6.1.1. Вычисление S (h)................... 288
6.1.2. Форма bh и 8г(Н).................. 288
6.1.3. Приложение теорем об устойчивости и сходимости . . . 290
6.1.4. Проверка условий (5.89) —(5.92) ........... 291
6.2. Согласованные конечные элементы (АПР2)—(АПР4)..... 294
6.2.1. Вычисление 5 (А)........... ... 294
6.2.2. Форма bh и Si_(h).................. 296
6.2.3. Применение теорем об устойчивости и сходимости . . . 298
6.3. Несогласованные конечные элементы (АПР5)......... 299
6.3.1. Вычисление 5 (А)................. 299
6.3.2. Форма bh и S!(A).................. 300
6.3.3. Применение теорем об устойчивости и сходимости . . . 302
6.4. Численные алгоритмы. Аппроксимация давления....... 303
6.4.1. Аппроксимация давления . .............. 303
6.4.2. Алгоритм Удзавы........... ....... 305
6.4.3. Алгоритм Эрроу—Гурвица.............. 308
§ 7. Аппроксимация уравнений Навье—Стокса при помощи метода дробных шагов........................... 309
7.1. Схема с двумя промежуточными шагами........... 311
7.1.1. Описание схемы................... 211
7.1.2. Априорные оценки (I)..............\ 312
7.1.3. Априорные оценки (II).............' .. 314
7.1.4. Сходимость схемы.................. 315
7.1.5. Сильная сходимость в Z.2(Q)............. 316
7.Кб. Доказательство теорем 7.1 и 7.2........... 318
7.1.7. Доказательство теоремы 7.1 (сильная сходимость) . . . 319
7.2. Схема с п+1 промежуточными шагами........... 321
7.2.1. Разложение операторов................ 321
7.2.2. Описание схемы . . . :............... 322
7.2.3. Безусловные априорные оценки............ 324
7.2.4. Теорема об устойчивости............... 326
7.3. Сходимость описанной схемы ................ 326
7.3.1. Вспомогательные результаты............. 326
7.3.2. Оценки для формы й/Л................ 327
7.3.3. Условные априорные оценки............. 329
7.3.4. Теоремы о сходимости................ 330
7.3.5. Доказательство сходимости.............. 331
§ 8. Аппроксимация уравнений Навье—Стокса при помощи метода
искусственной сжимаемости................... 332
8.1. Исследование возмущенных задач.............. 334
8.1.1. Постановка задачи.................. 334
8.1.2. Существование решений возмущенных задач...... 336
8.1.3. Доказательство теоремы 8.1.............. 336
8.1.4. Единственность решений возмущенных задач ..... 341
8.2. Сходимость возмущенных задач к задаче Навье—Стокса . . . 344
8.3. Аппроксимация возмущенных задач............. 346
8.3.1. Описание схемы ................... 346
8.3.2. Безусловные априорные оценки............ 348
8.3.3. Условные априорные оценки............. 351
8.3.4. Теоремы о сходимости................ 352
8.3.5. Доказательство сходимости.............. 353
Приложение I. Свойства оператора rot и их приложение к изучению
стационарных уравнений Навье—Стокса ....... 358
1. Функциональные свойства оператора rot............ 358
1.1. Ядро оператора rot................... 359
1.2. Пространство rot (Hl (Q))................ 363
1.3. Замечание о регулярности................ 365
2. Приложение к неоднородным стационарным уравнениям Навье— Стокса............................ 366
Приложение II. Ф. Томассэ. Примеры применения линейных несогласованных конечных элементов. Аппроксимация (АПР5),
двумерный случай.................. 368
0. Тестовые задачи....................... 368
1. Триангуляция........................ 368
2. Узлы............................ 371
3. Вычисление базисных функций для данного треугольника . . . 375
4. Решение задачи Стокса.................... 376
4.1. Базисные функции.................... 376
4.2. Алгоритм Удзавы.................... 377
4.3. Численные результаты.................. 378
4.4. Метод расширенных лагранжианов............ 381
5. Решение уравнений Навье—Стокса.............. 381
Комментарии и литературные указания ............... 384
Литература............................. 388
Именной указатель......................... 402
Цена: 150руб.
