В книге рассматриваются основные краевые задачи для эллиптических и задача Коши и смешанные задачи для гиперболических и параболических уравнений второго порядка. Широко используется понятие обобщенного решения.
Для чтения книги достаточно владеть основами математики в размере программы первых двух курсов механико-математических или физических факультетов университетов или втузов с повышенной математической подготовкой; все необходимые сведения из функционального анализа и теории функциональных пространств, в частности, теоремы вложения Соболева, в книге излагаются.
Книга является расширенным изложением курса лекций, читавшихся автором студентам третьего курса Московского физико-технического института.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................. 5
Глава I. Введение. Классификация уравнений. Постановка некоторых
задач................................... 7
§ 1. Задача Коши. Теорема Ковалевской............... 10
1. Постановка задачи Коши (10). 2. Аналитические функции нескольких переменных (19). 3. Теорема Ковалевской (21).
§ 2. Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка.............................. 29
§ 3. Постановка некоторых задач.................... 33
1. Задачи о равновесии и движении мембраны (33). 2. Задача о распространении тепла (38)................................
Задачи к главе I................................. 40
Глава П. Интеграл Лебега и некоторые вопросы функционального анализа .................................... 41
§ 1. Интеграл Лебега .......................... 41
§ 2. Линейные нормированные пространства. Гильбертово пространство .................................. 63
§ 3. Линейные операторы. Компактные множества. Вполне непрерывные операторы............................ 72
§ 4. Линейные уравнения в гильбертовом пространстве....... 86
§ 5. Самосопряженные вполне непрерывные операторы........ 95
Глава III. Функциональные пространства................ 102
§ 1. Пространства непрерывных и непрерывно дифференцируемых
функций ............................... 102
§ 2. Пространства интегрируемых функций .............. 105
§ 3. Обобщенные производные...................... 112
§ 4. Пространства Я* (Q)........................ 122-
§ 5. Свойства функций из Я1 (Q) и Я1 (Q)............... 136
§ 6. Свойства функций из Яй (Q).................... 150
§ 7. Пространства Сг- ° и C2s>s. Пространства Яг' ° и Я25's . . . 156
§ 8. Примеры операторов в функциональных пространствах .... 162
Задачи к главе III.............................. 166
Глава IV. Эллиптические уравнения.................... 170
§ 1. Обобщенные решения краевых задач. Задачи на собственные
значения ............................... 170
1. Классические и обобщенные решения краевых задач (170). 2. Существо-тнпгть обобщенного решения в простейшем случае (173).
вание и единственность обобщенного решения в простейшем слу-ш^ \».^/. ;нные функции и собственные значения (175). 4. Вариационные юбственных значений и собственных функций (182), 5. Асимпто-
3. Собстве] свойства co6i
тическое поведение собственных значений первой краевой задачи (188). 6. Разрешимость краевых задач в случае однородных граничных условий (190). 7. Первая краевая задача для общего эллиптического уравнения (193). 8. Обобщенные решения краевых задач с неоднородными граничными условиями (196). 9. Вариационный метод решения краевых задач (204).
§ 2. Гладкость обобщенных решений. Классические решения .... 209
1. Гладкость обобщенных решений в одномерном случае (209). 2. Внутренняя гладкость обобщенных решений (212). 3. Гладкость обобщенных решений краевых задач (217). 4. Гладкость обобщенных собственных функций (227). 5. О разложениях в ряды по собственным функциям (228). 6. Обобщения (231).
§ 3. Классические решения уравнений Лапласа и Пуассона .... 232 1. Гармонические функции. Потенциалы (232). 2. Основные свойства гармонических функций (236). 3. О классических решениях задачи Дирихле для уравнения Пуассона (243). 4. Гармонические функции в неограниченных областях (253).
Задачи к главе IV............................... 261
Глава V. Гиперболические уравнения .....,.......,..... 266
§ 1. Свойства решений волнового уравнения. Задача Коши для волнового уравнения .......................... 266
1. Свойства решений волнового уравнения (266). 2. Задача Коши для волнового уравнения (274).
§ 2. Смешанные задачи ...................... 283
1. Единственность решения (283). 2. Существование обобщенного решения (290). 3. Метод Галёркина (298). 4. Гладкость обобщенных решений. Существование решения п. в. и классического решения (303).
§ 3. Обобщенное решение задачи Коши................ 325
Задачи к главе V..............,............... 336
Глава VI. Параболические уравнения................... 339
§ 1. Свойства решений уравнения теплопроводности. Задача Коши
для уравнения теплопроводности...........,..... 339
1. Свойства решений уравнения теплопроводности (339). 2. Задача Коши для уравнения теплопроводности (347).'
§ 2. Смешанные задачи....................'...... 358
1. Единственность решения (358). 2. Существование обобщенного решения (366). 3. Гладкость обобщенных решений смешанных задач. Существование решения п. в. и классического решения (371).
Задачи к главе VI............................... 385
Предметный указатель .....,...................... 388
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга является расширенным изложением курса лекций, читавшихся автором в течение ряда лет студентам Московского физико-технического института. Она рассчитана на студентов, владеющих основами математического анализа, алгебры и теории обыкновенных дифференциальных уравнений в объеме университетской программы. Все необходимые сведения содержатся, например, в учебниках: С. М. Никольский, Курс математического анализа, т. 1, 2; А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры; Л. С. П о н т р я г и н, Обыкновенные дифференциальные уравнения.
За исключением главы I, в которой рассматриваются некоторые общие вопросы дифференциальных уравнений в частных производных, расположение материала соответствует основным типам уравнений. Центральную роль в книге играет занимающая наибольший объем глава IV, в которой изучаются эллиптические уравнения. V и VI главы посвящены гиперболическим и параболическим уравнениям.
Используемый в книге метод изучения краевых задач и, частично, задачи Коши опирается на понятие обобщенного решения, что позволяет рассматривать уравнения с переменными коэффициентами столь же просто, как и простейшие уравнения: уравнение Пуассона, волновое уравнение и уравнение теплопроводности. Наряду с вопросами существования и единственности решений основных краевых задач в книге значительное внимание уделено приближенным методам их решения: методу Ритца в эллиптическом и методу Галёркина в гиперболическом и параболическом случаях.
Необходимые для такого построения сведения о функциональных пространствах, в частности, теоремы вложения С. Л. Соболева, содержатся в главе III. При этом знакомства читателя с нужными
Цена: 150руб.
