изд. 3-е, В. С.. В л а д и м и р о в, Главная
редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976.
Основная особенность курса — широкое использование концепции обобщенного решения. Поэтому в книге содержится специальная глава, посвященная теории обобщенных функций.
Книга является учебным пособием для студентов — математиков и физиков с повышенной математической подготовкой.
Рис. 105, библ. — 40 назв.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию................ 8
Предисловие ко второму изданию............... 8
Предисловие к первому изданию............... 9
Глава I
Постановка краевых задач математической физики
§ 1, Некоторые понятия и предложения теории множеств, теории функций и теории операторов............. 11
1. Точечные множества в Кп (11). 2. Классы функций СР (G) и С? (G) (13). 3. Пространство непрерывных функций С (Т) (15). 4. Интеграл Лебега (16). 5. Интегралы Лебега, зависящие от параметра (23). 6. Интегралы типа потенциала (24). 7. Пространство функций &i (G) (28). 8. Ортонормальные системы (31). 9. Полные ортонор-мальные системы (34). 10. Линейные операторы и функционалы (36). ' 11. Линейные уравнения (40). 12. Эрмитовы операторы (42).
§ 2, Основные уравнения математической физики.......44
1. Уравнение колебаний (45). 2. Уравнение диффузии (48). 3. Стационарное уравнение (51). 4. Уравнение переноса (52). 5. Уравнения гидродинамики (53). 6. Уравнения Максвелла (54). 7. Уравнение Шредингера (55). 8. Уравнение Клейна —Гордона и уравнение Дирака (55).
§ 3. Классификация квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка . _,................56
VJ--1 Классификация уравнений в точке (56). 2. Выражение оператора Лапласа в сферических и цилиндрических координатах. (59). 3. Характеристические поверхности (характеристики) (61). '4^. Канонический вид уравнении с двумя независимыми переменными (62). 5. Пример. Уравнение Трикоми (69).
§ 4. Постановка основных краевых задач для линейного дифференциального уравнения второго порядка ....... 70
1. Классификация краевых задач (70). 2. Задача Коши (72). 3. Роль характеристик в постановке задачи Коши (73). 4. .Краевая задача для уравнений эллиптического типа (75). 5. Смешанная задача (76). 6. Другие краевые задачи (77). 7. Корректность постановок задач математической физики (79). 8. Теорема Ковалевской (80). 9. Пример Адамара (81). 10. Классические и обобщенные решения (82).
Г л а в а II Обобщенные функции
§ 5. Основные и обобщенные функции............84
1. Введение (31). 2. Пространство основных функций 3) (87). 3. Пространство обобщенных функций 31' (90). 4. Полнота пространства обобщенных функций 3)' (92). 5. Носитель обобщенной функции (94). 6. Регулярные обобщенные функции (97). 7. Сингулярные обобщенные функции (99). 8. Формулы Сохоцкого (101)., 9. Линейная замена переменных в обобщенных функциях (102). 10. Умножение обобщенных функций (103). И. Упражнения (105).
§ 6. Дифференцирование обобщенных функций........103
1. Производные обобщенной функции (106). 2. Сзойстаа обобщенных производных (107). 3. Первообразная обобщенной функции (110). 4. Примеры, га=1 (113). 5. Примеры, «>2 (118). 6. Упражнения (127).
§ 7. Прямое произведение и свертка .обобщенных функций . . 129 1. Определение прямого пронззедения (129). 2. Коммутативность прямого произведения (132). 3. Дальнейшие свойства прямого произведения (134). 4. Свертка обобщенных функций (135). 5. Свойства свертки (139). 6. Существование свертки (Н2). 7. Сверточная алгебра обобщенных функций ?>+ (143). 8. Уравнения в сверточной алгебре S>+ (146). 9. Регуляризация обобщенных функций (148). 10. Примеры сверток. Ньютонов потенциал (149). 11. Упражнения (152).
§ 8.' Обобщенные функции медленного роста.........153
1. Пространство основных функций ff (153). 2. Пространство обобщенных функций медленного роста ff' (155). 3. Примеры обобщенных функций медленного роста (156). 4. Структура обобщенных функций с точечным носителем (153). 5. Прямое произведение обобщенных функций медленного роста (159). 6. Свертка обобщенных функций медленного роста (161).
§ 9. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного
роста.......................... 162
1. Преобразование Фурье основных функций из о/ (163). 2. Преобразование Фурье обобщенных функций из $" (164). 3. Свойства преобразования Фурье (167). 4. Преобразование Фурье обобщенных функций с компактным носителем (169). 5. Преобразование Фурье свертки(,170). 6. Примеры, п=1 (170). 7. Примеры, п>2 (175). 8. Упражнения (180).
§ 10. Преобразование Лапласа обобщенных функций (операционное исчисление)....................180
1. Преобразование Лапласа локально интегрируемых функций (181).
2. Преобразование Лапласа обобщенных функций (181). 3. Свойства преобразования Лапласа (184). 4. Обратное преобразование Лапласа (186). 5. Примеры и применен ш (190). 6. Упражнения (194).
Глава III
Фундаментальное решение и задача Коши
§ 11. Фундаментальные решения линейных дифференциальных
операторов....................... 196
1. Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений (196).
2. Фундаментальные решения (198). 3. Уравнения с правой частью (200). 4. Метод спуска (201). 5. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора с обыкновенными производными (204). 6. Фундаментальное решение оператора теплопроЕОД-ности (205). 7. Фундаментальное решение волнового оператора (206). 8. Фундаментальное решение оператора Лапласа (208). 9. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца (210). 10. Фундаментальное решение оператора Коши — Римана (211). 11. Фундаментальное решение оператора переноса (211). 12. Упражнения (212).
§ 12. Запаздывающий потенциал................214
1. Свойства фундаментального решения волнового оператора (214).
2. Дополнительные сведения о свертках '(217). 3. Запаздывающий потенциал (219). 4. Поверхностные запаздывающие потенциалы (223).
§ 13. Задача Коши для волнового уравнения.........227
1. Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (228). 2. Постановка обобщенной задачи Коши для волнового уравнения (229). 3. Решение обобщенной задачи Коши (231). 4. Решение классической задачи Коши (233). 5. Упражнения (235).
§ 14.Распространение волн. ..............., . . 236
1. Распространение волн в пространстве (237). 2. Распространение волн на плоскости (239). 3. Распространение волн на прямой (241). 4. Метод распространяющихся волн (245). 5. Метод отражений. Полубесконечная струна (247). 6. Метод отражений. Конечная струна (250).
§ 15. Метод Римана......................252
1. Решение задачи Гурса (253). 2. Формула Грина (257). 3. Функция Римана (258). 4. Задача Коши (262).
§ 16. Задача Коши для уравнения теплопроводности.....266
I. Тепловой потенциал (266). 2. Поверхностный тепловой потенциал (269). 3. Постановка обобщенной задачи Коши для уравнения теплопроводности (271). 4. Решения задачи Коши (272), 5. Упражнения (274).
Г лава IV Интегральные уравнения
§ 17.Метод последовательных приближений. ,.,,,,.. .277
1. Интегральные уравнения с непрерывным ядром (277). 2. Повторные ядра. Резольвента (281). 3. Интегральные уравнения Вольтерра (284). 4. Интегральные уравнения с полярным ядром (287). 5. Упражнения (292).
§ 18. Теоремы Фредгольма , ,................293
^.^Интегральные уравнения с вырожденным ядром (293)i 2J Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром (296). ,3. Теоремы ф.редгольма для интегральных уравнений с непрерывным ядром (299) -4. Следствия из теорем Фредгольма (303)л5/Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с полярным ядром (306). 6. Упражнения (308).
§ 19. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром......309
1. Интегральные операторы с эрмитовым непрерывным ядром (309).
2. Лемма Арчела (310). 3. Интегральные уравнения с эрмитозым непрерывным ядром (311) 4. Интегральные уравнения с эрмитовым полярным ядром (314).
§ 20/Георема Гильберта — Шмидта и ее следствия......316
• - j) Теорема Гильберта —Шмидта для эрмитова непрерывного ядра (316). 2. Билинейное разложение повторных ядер (320). 3. Билинейное разложение эрмитова непрерывного ядра (321). 4. Решение неоднородного интегрального уравнения с эрмитовым непрерывным ядром (323). 5. Положительно определенные ядра (325). 6. Распространение теории Гильберта —Шмидта на интегральные уравнения с эрмито-' вым полярным ядром (326). 7. Теорема Ентча (328). 8. Метод Келло- " .га (330). 9. Теорема Мерсера (334).
Глава V
Краевые задачи для эллиптических уравнений
§ 21. Задача на собственные значения........,.,,,,. 336
1. Постановка задачи на собственные зиадения (333). iisJ Формулы Грина (337).. ij. Свойства оператора L (338).'Ш Свойства собственных значений несобственных функций оператора L (340). 5. Физический смысл собственных значений и'собственных функций (345). 6- Упражнения (345).
§ 22. Задача Штурма — Литаилля...............346
Ь/Функция Грина (347)А2, Сведение задачи Штурма —Лиувилля к интегральному уравнению (350Х 3.; Свойства собственных значений и собственных функций (352). 4. Нахождение собственных значений и собственных функций (Ш\.
§ 23. Функции Бесселя....................355
1. Определение и простейшие свойства функций Бесселя (355).
2. Свойство ортогональности (357). 3. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя (359). 4. Корни функций Бесселя (360). 5. Краевая задача на собственные значения для уравнения Бесселя (363). 6. Неоднородная краевая задача для уравнения Бесселя (364). 7. Пол-
, нота функций Бесселя (366). 8. Другие цилиндрические функции (363)i 9. Упражнения (369).
§ 24. Гармонические функции ...,...,.........370
,1.ч Формула Грина (371). 2. Распространение формул Грина (373).
: З.4Теорема о среднем арифметическом (375).-,4..' Принцип максимума (375).- 5.-Следствия из принципа максимума (377). 6. Стирание особенностей гармонической функции (378). 7. Обобщенно-гармонические функции (379). 8. Дальнейшие свойства гармонических функций (380). 9." Аналог теоремы Лиувилля (382). 10. Упражнения (382).
§ 25. Сферические функции..................383
' 1. Определение сферических функций (383). 2. Дифференциальное уравнение для сферических функций (384). 3. Полиномы Лежандра (386). 4. Производящая функция (388). 5. Присоединенные функции Лежандра (390). 6. Сферические функции (392). 7. Формула Лапласа (391). 8. Шаровые функции (395). 9. Упражнения (396).
§ 26. Метод Фурье для задачи на собственные значения .... 397
1. Общая схема метода Фурье (397). 2. Примеры (398).
§ 27. Ньютонов потенциал..................403
" 1. Объемный потенциал (403). 2. Потенциалы простого и двойного слоя (405). 3. Физический смыел. ньютоновых потенциалов (407).
4. Позерхности Ляпунова (409). 5.уСвойства потенциалов простого и двойного слоя на поверхности S (414), 6. Разрыв потенциала двойного слоя (415). 7. Разрыв нормальной производной потенциала простого слоя (418). 8. Упражнения (42.0).
§ 28.Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в
пространстве ...................... 420
1. Постановка основных краевых задач (420). 2. Поведение гармонической функции на бесконечности- (421)/3.-'Теоремы единственности решения краевых задач (423)./4. Сведение краевых задач к интегральным дгдавнениям (425). 5. Исследование интегральных уравнений (428)/6. Решение задач Дирихле и Неймана для шара (432).
§ 29. Функция Грина задачи Дирихле.............434
1. Определение и свойства функции Грина (434). 2. Примеры построения функции Грина (метод отражений) (437). 3. Решение краевой задачи с помощью функции Грина (439). 4. Формула Пуассона (440).
5. Сведение краевой задачи к интегральному уравнению (442).
6. Свойства собственных значений и собственных функций (445).
7. Упражнения (447).
§ 30. Уравнение Гельмгольца.................448
1. Условия излучения Зоммерфельда (448). 2. Однородное уравнение Гельмтольца (449). 3. Потенциалы (451). 4. Принцип предельного поглощения (454). 5. Принцип предельно"! амплитуды (455). 6. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца* (456). 7. Внешние краевые задачи для сферы (458). 8. Упражнения (459).
§ 31. Краевые задачи для уравнения Лапласа на плоскости . .460
1. Поведение гармонической функции на бесконечности (460). 2. По-станозка и единственность решения основных краевых задач (461).
3. Логарифмический потенциал (463). 4. Разрешимость краевых задач (466). 5. Решение коаезых задач для круга (469). 6. Функция Грина задачи Дирихле (471). 7. Решение задачи Дирихле для одно-связной области (473). 8. Упражнения (474).
Глава VI
Смешанная задача
§ 32. Метод Фурье ..................... _ 475"
I. Однородное гиперболическое уравнение (477). 2. Неоднородное • гиперболическое уравнение (479). 3. Параболическое уравнение (481'. 4. Уравнение Шредингера (482). 5. Эллиптеичское уравнение (4331' 6. Примеры (484). 7. Упражнения (491).
§ 33. Смешанная задача для уравнения гиперболического типа 491
1. Классическое решение. Интеграл энергии (492). 2. Единственность и непрерывная зависимость классического решения (494). 3. Функции непрерывные в Xz (в) (498). 4. Обобщенное решение (500). 5. Единственность и непрерывная зависимость обобщенного решения (504) 6. Существование обобщенного решения (504). 7. Существованче классического решения (507).
§ 34. Смешанная задача для уравнения параболического типа 510
1. Классическое решение. Принцип максимума (510) 2. Единственность и непрерывная зависимость классического решения (51<>) 3. Обобщенное решение (514). 4. Существование обобщенного решения (516). 5. Существование классического решения (517).
Литература...............• • •........518
Предметный указатель....................521
Цена: 150руб.
