Изложение нового направления в теории нелинейных дифференциальных уравнений, возникшего на стыке коммутативной алгебры, дифференциальной геометрии и теории дифференциальных уравнений в частных производных.
Для общих систем нелинейных дифференциальных уравнений с единой геометрической точки зрения трактуются такие вопросы, как теория формальной интегрируемости, особенности решений, симметрии дифференциальных уравнений.
Для студентов старших курсов, аспирантов и научных работников, специализирующихся в области математики и математической физики.
Ил. 96. Библиогр. 106 назв.
Рецензент академик С. П. Новиков
Глава 6. Геометрия распределения Картана на пространстве бесконечных
джетов............................ 200
§ 1. Дифференцирования в расслоениях............... 201
§ 2. Элементы 6/(/г)(я) и й'ш-поля.................. 208
§ 3. Интегральные многообразия распределения Картана на J°° (л) и
^-преобразования........................ 216
§ 4. Преобразования, сохраняющие элементы t/(ft), p/j,, U(k} (я), pft(n). 226
Глава 7. Проективная точка зрения и геометрия бесконечно продолженных
уравнений.......................... 236
§ 1. Проективная точка зрения............•...... 237
§ 2. Дифференциальное исчисление на пространстве бесконечных джетов
нелинейного расслоения. Структура ^-дифференциальных операторов 247
§ 3. Проективные преобразования координат и операторов...... 254
§ 4. Геометрия бесконечно продолженного уравнения......... 259
§ 5. Категория дифференциальных уравнений............ 270
Глава 8. Некоторые приложения теории симметрии дифференциальных
уравнений в частных производных.............. 290
§ 1. Классические инфинитезимальные симметрии дифференциальных
уравнений..........................', . 290
§ 2. Вычисление высших симметрии дифференциальных уравнений . . 304 § 3. Инвариантные решения и факторизация дифференциальных уравнений .............................. 315
Список литературы ............................ 327
Указатель обозначений.......................... 332
Предметный указатель..............,........... 333
ПРЕДИСЛОВИЕ
1. Фундаментальные проблемы физики сегодняшнего дня являются существенно нелинейными. Решив их, физики надеются построить «единую картину мира». Математическая сторона этих проблем, по крайней мере в своей классической, неквантовой, части, связана с изучением нелинейных дифференциальных операторов и систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Тем не менее Р. Курант не так давно писал: «Вопросы, связанные с дифференциальными уравнениями в частных производных порядка выше первого, настолько разнообразны, что построение единой теории не представляется возможным» ([0.13], с. 159).
Таким образом, эта мысль Куранта, по-видимому разделяемая большей частью специалистов по дифференциальным уравнениям, находится в противоречии с устремлениями современной физики. Она, несомненно, правильно отражает математический status quo 20-летней давности как с фактической, так и с психологической точек зрения. Однако сегодня мы имеем разумные основания для ее пересмотра. Это связано с развитием ягыка и существенным упрощением технологии в таких областях математики, как алгебраическая топология, дифференциальная геометрия, коммутативная алгебра и др., что предоставляет математику наших дней долгожданную возможность размышлять о дифференциальных уравнениях в адекватных терминах.
В этой книге мы попытались сделать первые шаги в направлении «единой теории» систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, опираясь на соображения геометрического характера.
2. Классический период истории нелинейных дифференциальных Уравнений, который удивительно точно можно представить отрезком [Г. Монж, С. Ли], завершился оформлением основных представлений о проблемах «первого порядка». Прежде всего, это—теория одного уравнения первого порядка (Монж — Коши — Ли) и параллельная ей теория Гамильтона — Якоби. Первая из них приобрела в руках С. Ли на редкость гармоничный вид контактной геометрии, а вторая гораздо позже превратилась в симплектическую геометрию. Далее, была решена «в общем» проблема Пфаффа, т. е. уравнение
Цена: 150руб.
