Настоящая книга содержит систематическое изложение основных вопросов теории разностных схем, возникающих при решении задач для уравнений математической физики. Главное внимание уделяется изложению принципиальных вопросов теории, иллюстрируемых на простых задачах математической физики для уравнений второго порядка, имеющих в основном параболический или эллиптический тип.
Книга предназначена для студентов, обучающихся по специальностям «Прикладная математика» и «Физика», а также для научных работников — математиков и физиков.
ОГЛАВЛЕНИЕ
11редисловие............................. 8
Основные обозначения, принятые в книге.............. И
Введение.........................'..... 13
Глава I. Предварительные сведения . . . •.............. 22
§ 1. Типичные задачи математической физики.......... 22
1. Стационарные задачи (22). 2. Постановка краевых задач (25). 3. Уравнения параболического типа (27). 4. Уравнения гиперболического типа (29). 5. Разрывные коэффициенты, сосредоточенные источники (31).
§ 2. Разностные уравнения.................... 33
1. Предварительные замечания (33). 2. Примеры разностных уравнений (34). 3. Разностные уравнения и неравенства первого порядка (37). 4. Разностные уравнения второго порядка. Задача Коши. Краевые задачи (38). 5. Метод прогонки (40). 6. Устойчивость метода прогонки (41). 7. Метод левой прогонки и метод встречных прогонок (43). 8. Принцип максимума (44). 9. Принцип максимума для краевой задачи третьего рода (49). 10. Оценка решения разностной краевой задачи при помощи формул прогонки (50). 11. Разностные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (52). 12. Формулы «разностного дифференцирования» произведения и суммирования по частям (57). 13. Разностные формулы Грина (59). 14. Пространства сеточных функций. Разностные операторы (61). 15. Условие самосопряженности разностного оператора второго порядка (63). 16. Задача на собственные значения для самосопряженного оператора в конечномерном пространстве (65).
Глава II. Основные понятия теории разностных схем........ 67
§ I. Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов ........................... 67
1. Сетки и сеточные функции (67). 2. Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов (71). 3. Погрешность аппроксимации на сетке (81). 4. Постановка разностной задачи (86). 5. О сходимости и точности схем (89). 6. Повышение порядка аппроксимации разностной схемы (91). 7. Аппроксимация краевых и начальных условий (93).
§ 2. Устойчивость разностной схемы............... 97
1. Примеры устойчивых и неустойчивых разностных схем (97). 2. Задача Коши для системы уравнений первого порядка. Условие устойчивости схемы Эйлера (100). 3. О понятии корректности разностной задачи (106). 4. Устойчивость, аппроксимация и сходимость (106).
§ 3. Некоторые сведения о математическом аппарате теории разностных схем.......................... 107
1. Некоторые разностные формулы (107). 2. Отыскание собственных функций и собственных значений на примере простейшей разностной задачи (111). 3. Задачи на собственные значения с краевыми условиями второго рода и третьего рода (115). 4. Разностные аналоги теорем вложения (118). 5. Метод энергетических неравенстп М91>
§ 4. Разностные схемы как операторные уравнения. Общие формулировки .......................... 125
1. Разностные схемы как операторные уравнения (125). 2. Устойчивость разностной схемы (133). 3. Сходимость и аппроксимация (135). 4. Некоторые априорные оценки (139). 5. Негативные нормы (141). 6. Операторные уравнения дивергентного вида (144).
Глава III. Однородные разностные схемы.............. 149
§ 1. Однородные схемы для уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.................... 149
1. Введение (149). 2. Исходная задача (151). 3. Трехточечные схемы (151). 4. Условия второго порядка аппроксимации (153).
§ 2. Консервативные схемы ................... 154-
1. Пример схемы, расходящейся в случае разрывных коэффициентов (154).
2. Интегро-интерполяционный метод построения однородных разностных схем (156). 3. Однородные консервативные схемы (159). 4. Исходное семейство консервативных схем (162).
§ 3. Сходимость и точность однородных консервативных схем . . . 164 -. * 1, Попрешвосчь аппрокси-мации в классе гладких коэффициентов (164).
2. Погрешность аппроксимации в классе разрывных коэффициентов (165).
3. Априорные оценки для погрешности (168). 4. О сходимости и точности (170)!
§ 4. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках . . . 171 1. Схемы на неравномерных сетках (171). 2. Погрешность аппроксимации (173). 3. О порядке точности на неравномерных сетках (174). 4. По-.вышение .точности на последовательности сеток. Метод Рунге (175).
§ 5.. Другие задачи....................... 180
1. Третья краевая задача (180). 2. Задача с условиями периодичности (181). 3. Монотонные схемы для уравнения общего вида (1 84). 4. Разностные схемы для стационарного уравнения в цилиндрической системе координат (188). 5. Разностные схемы для уравнения в сферической системе координат (195).
§ 6. Разностная функция Грина................. 197
1. Разностная функция Грина (197). 2. Априорные оценки (201).
§ 7. Схемы повышенного порядка точности............ 203
1. Точная схема (203). 2. Схемы любого порядка точности (208).
§ 8. Методы построения разностных схем............. 209
1. Общие замечания (209). 2. Интегро-интерполяционный метод (210).
3. Вариационно-разностные методы (методы Ритца и Галеркина) (214).
4. Метод аппроксимации квадратичного функционала (218). 5. Метод сум-маторных тождеств (метод аппроксимации интегрального тождества) (220).
§ 9. Коэффициентная устойчивость................ 221
1. Коэффициентная устойчивость разностных схем (221). 2. Коэффициентная устойчивость операторных уравнений первого рода (223).
Глава IV. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа . . . 228
§ 1. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона .... 228
1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа (228). 2. Аппроксимация оператора Лапласа на нерегулярном шаблоне «крест» (230). 3. Разностная задача Дирихле в прямоугольнике (233). 4. Разностная задача Дирихле в области сложной формы (236). 5. Запись разностного уравнения в канонической форме (241).
§ 2. Принцип максимума.............•........ 243
1. Каноническая форма сеточного уравнения общего вида (243). 2. Принцип максимума (245). 3. Теорема сравнения. Мажоранта (247). 4. Оценка решения неоднородного уравнения (248).
§ 3. Устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле .... 250 1. Оценка решения разностной задачи Дирихле (250). 2. Равномерная сходимость и порядок точности разностной схемы (254).
§ 4. Некоторые свойства разностных эллиптических операторов . . 255 1. Задачи на собственные значения для разностного оператора Лапласа в прямоугольнике (255). 2. Свойства разностных операторов (259). 3. Оператор Лапласа в области, составленной из прямоугольников (261). 4. Теорема вложения (262). 5. Уравнения с переменными коэффициентами (264). 6. Уравнения со смешанными производными (267).
§ 5. Схема повышенного порядка точности для уравнения Пуассона 269
1. Постановка разностной задачи Дирихле повышенного порядка (269).
2. Оценка решения разностной краевой задачи (272). 3, Многомерный случай (275).
Глава V. Разностные схемы для нестационарных уравнений с постоянными коэффициентами................... 277
§ !. Одномерное уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами ......................... 277
1. Исходная, задача (277). 2. Семейство шеститочечных схем (27 S).
3. Погрешность аппроксимации (280). 4. Устойчивость по начальном данным (282). 5. Устойчивость по правой части (287). 6. Сходимость и точность в Li (ЫрЛ (289). 7. Устойчивость и сходимость в С (289). 8. Метод энергетических неравенств (291). 9. .Краевые условия третьего рода (294). 10. Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности (29U).
§ 2. Асимптотическая устойчивость................ 300
1. р-устойчивость (300). 2. Асимптотическая устойчивость (302). 3. Схе'/а второго порядка точности, безусловно устойчивая в асимптотическом смысле (306). 4. Асимптотическая устойчивость трехслойной схемы (309).
§ 3. Схемы для уравнения теплопроводности с несколькими пространственными переменными . . . . '............ 312
1. Явная разностная схема (312). 2. Явная трехслойная схема (3 Hi). 3. Схемы с весами (317). 4. Схема повышенного порядка точности (3 18).
§ 4. Нестационарное уравнение Шредингера........... 320
1. Двухслойная схема с весами (320). 2. Трехслойные схемы (322).
§ 5. Уравнение переноса .................... 324
1. Явные схемы для задачи Коши (324). 2. Явные схемы более высокого порядка аппроксимации (327). 3. Краевая задача (329).
§ 6. Разностные схемы для уравнения колебаний струны..... 332
1. Постановка разностноГ' задачи и вычисление погрешности аппроксимации (332). 2. Исследование устойчивости (335). 3. Метод энергетических неравенств (341). 4. О нахождении негладких решений разностным методом (343).
"лава VI. Теория устойчивости разностных схем........... 346
§ 1. Операторно-разностные схемы................ 346
I. Введение (346). 2. Операторно-разностные схемы (347). 3. Каноническая форма двухслойных схем (348). 4. Канонические формы трехслой- , ных схем (349). 5. Понятие устойчивости (350). 6. Достаточные условия устойчивости двухслойных схем в линейных нормированных пространствах (352). 7. Аппроксимация и сходимость (355).
§ 2. Классы устойчивых двухслойных схем ........... 357
1. Постановка задачи (357). 2. Исходное семейство схем (358). 3. Энергетическое тождество (359). 4. Устойчивость по начальным данным в Нд (359). 5. Устойчивость по начальным данным в Яд (362). 6. Оценки нормы оператора перехода (363). 7. Метод разделения переменных (365). 8. Условие р-устойчивости (366). 9. Устойчивость по правей части (369). 10. Устойчивость схемы с весами (372). 11. Априорные оценки в случае переменного оператора Л (376). 12. Пример (378). J3. Случай кососимметрического оператора А (380).
§ 3. Классы устойчивых трехслойных схем ........... 382
1. Постановка задачи (382). 2. Основное энергетическое тождество (384). 3. Устойчивость по начальным данным (385). 4. Устойчивость по правой части (388). 5. Схемы с переменными операторами (39'0). 6. Схема с весами (392). 7. Примеры (395). 8. Трехслойные схемы с несамосопряженными операторами (396). 9. Другие априорные оценки (398). 10. О регуляризации разностных схем (403).
Глава VII. Однородные схемы для нестационарных уравнений математической физики с переменными коэффициентами..... 407
§ 1. Однородные разностные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами............. 407
1. Исходная задача (407). 2. Однородные разностные схемы с весами (407). 3. Устойчивость и сходимость (410). 4. Уравнение с разрывным коэффициентом теплопроводности (414). 5. Однородные схемы на неравномерных сетках (419). 6. Сосредоточенный источник тепла (424). 7. Сосредоточенная теплоемкость (426). 8. Случай, когда коэффициент теплопроводности k зависит от I, k = k (x, t) (428). 9. Третья краевая аадача (431). 10. Монотонные схемы для параболических уравнений общего вида (432). 11. Цилиндрически- и сферически-симметричные задачи теплопроводности (433). 12. Периодическая задача (435).
§ 2. Однородные разностные схемы для уравнений гиперболического
типа............................ 438
1. Исходная задача (438). 2. Однородные разностные схемы (438). 3. Погрешность аппроксимациии (439). 4. Устойчивость и сходимость (441).
Глава VIII. Разностные методы решения нелинейных уравнений математической физики................... 444
§ 1. Разностные методы решения квазилинейного уравнения теплопроводности ........................ 444
1. Стационарная задача (444). 2. Квазилинейное уравнение теплопроводности (447). 3. Некоторые аналитические решения квазилинейного уравнения теплопроводности (448), 4. Разностная схема. Метод Ньютона (452). 5. Различные неявные схемы для квазилинейного уравнения теплопроводности (455). 6. Расчет температурных волн (457). 7. Задача о фазовом переходе (задача Стефана) (458).
§ 2. Консервативные разностные схемы нестационарной газовой динамики .......................... 459
1. Уравнения одномерной нестационарной газовой динамики в переменных Лагранжа (459). 2. Уравнения с псевдовязкостью (462). 3. Консервативные однородные схемы (463). 4. Полностью консервативные схемы (465). 5. Решение разностных уравнений методом Ньютона (468). 6. Сходимость итерационного метода (469). 7. Уравнения газодинамики с теплопроводностью (472).
Глава IX. Экономичные разностные схемы для многомерных задач1 математической физики................... 474
§ 1. Метод переменных направлений (продольно-поперечная схема)
для уравнения теплопроводности .............. 474
1. Об экономичных схемах (474). 2. Схема переменных направлений (продольно-поперечная схема) (477). 3. Устойчивость (480). 4. Сходимость и точность (482). 5. Схема для уравнения с переменными коэффициентами (483). 6. Схема повышенного порядка точности (487).
§ 2. Экономичные факторизованные схемы............ 491
1. Схемы с факторизованным оператором (491). 2. Краевые условия (492). 3. Построение экономичных факторизованных схем (494). 4,Дрехслой-ные факторизованные схемы (498). 5. Экономичные схемы для систем уравнений параболического и гиперболического типов (504).
§ 3. Метод суммарной аппроксимации.............. 511
( 1. Постановка задачи (511). 2. Суммарная аппроксимация (512). 3. Све-
дение многомерной задачи к цепочке одномерных задач (5 14). 4. Примеры
ОГЛАВЛЕНИЕ . 7
сведения многомерной задачи к цепочке одномерных (518). 5. Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности в произвольной области (520). 6. Погрешность аппроксимации ЛОС (523). 7. Устойчивость ЛОС (524). 8. Равномерная сходимость ЛОС (528). 9. ЛОС для уравнений с переменными коэффициентами (529). 10. Аддитивные схемы. Общие формулировки (530). 11. Методы оценки сходимости аддитивной схемы (532). 12. Аппроксимация «многомерной» абстрактной задачи Коши цепочкой «одномерных» задач Коши (535). 13. Методы переменных направлений как аддитивные схемы (539). 14. ЛОС для многомерного гиперболического уравнения.' второго порядка (540). 15. Аддитивные схемы для систем уравнений (544).
Глава X. Методы решения сеточных уравнений........... 550
§ 1. Прямые методы ...................... 550
1. Прямые и итерационные методы (550). 2. Метод декомпозиции (552). 3. Метод разделения переменных (556). 4. Метод матричной прогонки (557).
§ 2. Двухслойные итерационные схемы ............. 558
§ 3. Попеременно-треугольный метод............... 576
1. Метод Зейделя (576). 2. Метод верхней релаксации (579). 3. Неявные итерационные схемы (580). 4. Попеременно-треугольный метод (583). .5. ПТМ для разностной задачи Дирихле (587). б. Схема повышенного порядка точности в прямоугольнике (590). 7. Разностные схемы для эллиптических уравнений общего вида (591). 8. ПТМ для решения сеточных эллиптических уравнений в произвольной области (597). 9. Задача Дирихле для уравнения Пуассона в произвольной области (602).
^__ Jl______...... i.yu^^ijiici D nputioDvjJIIaHUH ООЛаСТИ (OUZJ.
10. О решении разностных уравнений для задач с переменными коэффициентами (604).
§ 4. Итерационные методы переменных направлений....... 606
1. Метод переменных направлений для решения разностной задачи Дирихле в прямоугольнике (606). 2. Общая формулировка МПН (608). 3. Выбор оптимальных итерационных параметров (609). 4. МПН для случая неперестановочных операторов (611). 5. Факторизованные итерационные схемы и МПН (615). 6. МПН для случая несамосопряженных операторов (618).
§ 5. Другие итерационные методы................ 620
1. Трехслойные итерационные схемы (620). 2. Метод минимальных невязок (622). 3. Метод скорейшего спуска (624). 4. Решение уравнений с несамосопряженными операторами (625). 5. Гибридные методы (629).
Дополнение.........-.................... 632
§ 1. Некоторые сведения из функционального анализа...... 632
§ 2. Некоторые варианты метода прогонки............ 637
§ 3. Задачи........................... 642
Библиографические комментарии................... 651
Литература............................. 654
Предметный указатель ....................... 655
Цена: 150руб.
