чук Г. И. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980.
Книга является переработанным и дополненным переизданием книги, вышедшей в 1977 г. Она посвящена изложению численных методов решения задач математической физики. При этом основное внимание уделяется сложным задачам математической физики, которые в процессе решения сводятся, как правило, к более простым, допускающим реализацию алгоритмов на ЭВМ. В книге изложены многие современные подходы к численным методам.
Книга предназначается в качестве учебного пособия для студентов старших курсов и аспирантов по специальности «Прикладная математика». Она может представлять интерес также для научных работников и других специалистов в области прикладной математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию...................... 6
Предисловие к первому изданию......................, 7
Введение.................................... 9
Глава 1. Общие сведения из теории разностных схем......... 17
1.1. Основные и сопряженные операторы................ 17
1.1.1. Оценки норм некоторых матриц (21). 1.1.2. Вычисление границ спектра положительной матрицы (22). 1.1.3. Собственные числа и функции оператора Лапласа (31). 1.1.4. Собственные числа и векторы конечно-разностного аналога оператора Лапласа (33).
1.2. Аппроксимация ............................ 36
1.3. Счетная устойчивость......................... 45
1.4. Теорема сходимости.............• ............. 53
Глава 2. Методы построения разностных схем для дифференциальных
уравнений.................................. 56
2.1. Вариационные методы в математической физике.......... 57
2.1.1. Некоторые задачи вариационного исчисления (57). 2.1.2. Метод Ритца (64). 2.1.3. Метод Галеркина (70). 2.1.4. Метод наименьших квадратов (74).
2.2. Метод интегральных тождеств.................... 76
2.2.1. Построение разностных уравнений для задач с разрывными коэффициентами на основе интегрального тождества (76). 2.2.2. Вариационная форма интегрального тождества (84).
2.3. Разностные схемы для уравнений с разрывными коэффициентами,
основанные на вариационных принципах .............. 98
2.3.1. Построение простейших разностных уравнений диффузии с помощью метода Ритца (98). 2.3.2. Построение простейших разностных
схем на основе метода Галеркина (конечных элементов) (101).
2.4. Некоторые принципы конструирования подпространств для решения одномерных задач вариационными методами ......... 104
2.4.1. Общий подход к построению подпространств кусочно-полиномиальных функций (104). 2.4.2. Построение базиса на основе тригонометрических функций и его использование в вариационных методах (108).
2.5. Вариационно-разностные схемы для двумерного уравнения эллиптического типа............................. 113
2.5.1. Метод Ритца (113). 2.5.2. Метод Галеркина (119). 2.5.3. Способы построения подпространств (123).
2.6. Вариационные методы для многомерных задач .......... 126
2.6.1. Способы построения подпространств (126). 2.6.2. Покоординатные методы построения вариационно-разностных схем (128).
2.7. Метод фиктивных областей...................... 130
Глава 3. Интерполяция сеточных функций ............... 137
3.1. Интерполяция функций одного переменного............ 138
3.1.1. Интерполяция функций одного переменного с помощью кубических сплайнов (138). 3.1.2. Кусочно-кубическая интерполяция со сглаживанием (142). 3.1.3. Гладкие восполнения (145). 3.1.4. Сходимость сплайн-функций (146).
3.2. Интерполяция функци-й двух и многих переменных........ 148
3.3. r-гладкое приближение функций многих переменных....... 151
3.4. Элементы общей теории сплайнов.................. 157
Глава 4. Методы решения стационарных задач математической физики 163
4.1. Общие понятия теории итерационных методов .......... 164
4.2. Некоторые итерационные методы и их оптимизация........ 166
4.2.1. Простейший итерационный метод (166). 4.2.2. Сходимость и оптимизация стационарных итерационных методов (169). 4.2.3. Метод последовательной верхней релаксации (173). 4.2.4. Чебышевский итерационный метод (178). 4.2.5. Сравнение скорости сходимости итерационных методов для систем разностных уравнений (186).
4.3. Нестационарные итерационные методы............... 189
4.3.1. Теоремы сходимости (189). 4.3.2. Метод минимальных невязок (191). 4.3.3. Метод сопряженных градиентов (193).
4.4. Метод расщепления.......................... 198
4.4.1. Коммутативный случай (202). 4.4.2. Некоммутативный случаи
(206). 4.4.3. Вариационная и чебышевская оптимизация методов расщепления (211).
4.5. Итерационные методы для систем с вырожденными матрицами 213
4.5.1. Случай совместной системы (214). 4.5.2. Случай несовместной системы (216). 4.5.3. Матричный аналог метода фиктивных областей (218).
4.6. Итерационные методы при неточных входных данных...... 221
4.7. Прямые методы решения конечно-разностных уравнений..... 224
4.7.1. Быстрое преобразование Фурье (224). 4.7.2. Метод циклической редукции (229). 4.7.3. Факторизация разностных уравнений (231).
Глава 5. Методы решения нестационарных задач............ 243
5.1. Разностные схемы второго порядка аппроксимации с операторами, зависящими от времени.................... 243
5.2. Неоднородные уравнения эволюционного типа .......... 246
5.3. Методы расщепления нестационарных задач............ 247
5.3.1. Метод стабилизации (248). 5.3.2. Метод предиктор-корректор (252). 5.3.3. Метод покомпонентного расщепления (256). 5.3.4. Некоторые общие замечания (261).
5.4. Многокомпонентное расщепление задач............... 262
5.4.1, Метод стабилизации (262). 5.4.2. Метод предиктор-корректор (264). 5.4.3. Метод покомпонентного расщепления на основе элементарных схем (266). 5.4.4. Расщепление квазилинейных задач (271).
5.5. Общий подход к покомпонентному расщеплению......... 272
5.6. Методы решения уравнений гиперболического типа........ 277
5.6.1. Метод стабилизации (277). 5.6.2. Сведение уравнения колебаний к эволюционной задаче (280).
Глава 6. Повышение точности приближенных решений по Ричардсону 286
6.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка . . 286
6.2. Общие результаты .......................... 292
6.2.1. Теорема о разложении (292) 6.2.2. Ускорение сходимости (298).
6.3. Простейшие интегральные уравнения................ 304
6.3.1. Уравнение Фредгольма второго рода (304). 6.3.2. Уравнение Вольтерра первого рода (307).
6.4. Одномерное уравнение диффузии.................. 310
6.4.1. Разностный метод (310). 6.4.2. Метод Галёркина (313).
6.5. Нестационарные задачи........................ 320
6.5.1. Уравнение теплопроводности (310). 6.5.2. Метод расщепления для эволюционной задачи (325)
6.6. Экстраполяция Ричардсона для многомерных задач........ 327
Глава 7. Постановка и численные методы решения некоторых обратных
задач.................................... 333
7.1. Основные определения и примеры ................. 334
7.2. Решение обратных эволюционных задач с постоянным оператором 343
7.2.1. Метод Фурье (343). 7.2.2. Редукция к решению прямой задачи (346).
7.3. Обратная эволюционная задача с оператором, зависящим от времени ................................ 349
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
7 4. Постановка обратных задач на основе методов теории возмущений ................................... 356
7.4.1. Некоторые вопросы линейной теории измерений (356). 7.4.2. Сопряженные функции и понятие ценности (357). 7.4.3. Теория возмущений для линейных функционалов (361). 7.4.4. Численные методы решения обратных задач и планирование эксперимента (363).
7.5. Формулировка теории возмущений для сложных нелинейных
моделей ................................ 368
7.5.1. Основные и сопряженные уравнения (369). 7.5.2. Сопряженные уравнения и теория возмущений (371). 7.5.3. Теория возмущений для нестационарных проблем (373). 7.5.4. Спектральный метод и теория возмущений (374).
Глава 8. Методы оптимизации ...................... 376
8.1. Выпуклое программирование .................... 376
8.2. Линейное программирование..................... 381
8.3. Квадратичное программирование .................. 387
8.4. Численные методы для задачи выпуклого программирования . . 391
8.5. Динамическое программирование . . . •............... 395
8.6. Принцип максимума Понтрягина.................. 400
8.7. Экстремальные задачи с ограничениями и вариационные неравенства ................................. 406
8.7.1. Элементы общей теории (406). 8.7.2. Примеры экстремальных задач (409). 8.7.3. Численные методы для экстремальных задач (415).
Глава 9. Некоторые задачи математической физики .......... 422
9.1. Уравнение Пуассона ......................... 422
9.1.1. Задача Дирихле для одномерного уравнения Пуассона (422).
9.1.2. Одномерная задача Неймана (424). 9.1.3. Двумерное уравнение Пуассона (427). 9.1.4. Проблема граничных условий (434).
9.2. Уравнение теплопроводности .................... 437
9.2.1. Одномерная задача теплопроводности (437). 9.2.2. Двумерная задача теплопроводности (441).
9.3. Уравнение колебаний......................... 442
9.4. Уравнение движения......................... 446
9.4.1. Одномерное уравнение движения (446). 9.4.2. Двумерное уравнение движения с переменными коэффициентами (453). 9.4.3. Многомерное уравнение движения (458).
9.5. Уравнение переноса нейтронов ................... 464
9.5.1. Нестационарное уравнение (464). 9.5.2. Уравнение переноса в самосопряженной форме (476).
Глава 10. Обзор методов вычислительной математики ......... 481
10.1. Теория аппроксимации, устойчивости и сходимости разностных схем.................................. 481
10.2. Методы численного решения задач математической физики . . . 484
10.3. Условно корректные задачи................... 491
10.4. Вычислительные методы в линейной алгебре........... 492
10.5. Вопросы оптимизации численных методов ............ 496
10.6. Методы оптимизации ........................ 498
10.7. Некоторые тенденции в развитии вычислительной математики 501
Литература................................... 503
Предметный указатель............................. 532
Указатель обозначений ............................ 535
Цена: 300руб.
