Предисловие........................ Т
Глава 1. Векторное исчисление................. 11
§ 1*. Понятие вектора................... . . . 11.
1. Предварительное определение вектора ........... Н
2. Отношения эквивалентности............... 13
3. Окончательное определение вектора........... 15
4. Векторы на прямой, на плоскости и в пространстве..... 19
§ 2*. Векторы на прямой................... 21
1. Ориентации прямой.................. 21
2. Длина и величина вектора на прямой........ . . . 25-
3. Отношение векторов на прямой............. 26
4. Сложение векторов на прямой. Лемма Шаля........ 29
5. Алгебраические свойства линейных операций........ 30'
6. Теорема об изоморфизме................ 32
§ 3*. Линейные операции над векторами на плоскости и в пространстве 34
1. Определение линейных операций............. 34
2. Алгебраические свойства линейных операций........ 37
3. Линейная зависимость.................. 38
4. Геометрический смысл линейной зависимости........ 42
5. Базисы и координаты................. 46
6. Проекции и координаты................ 50
7. Преобразование координат при замене базиса........ 54
Дополнение. Теорема о ранге матрицы........ . 58
§ 4*. Ориентации прямой, плоскости и пространства......... 63
1. Понятие ориентации.................. 63
2. Правые и левые ориентации............... 67
3. Произведения ориентации............... 68
4. Стороны прямой на плоскости и плоскости в пространстве ... 70
5. Деформации базисов и ориентации............ 73
6. Резюме....................... 79
Дополнение. О понятии угла............. 80
§ 5*. Метрическая теория векторов............... 82
1. Длина вектора и угол между векторами....... : . . §2
2. Скалярное произведение векторов ............ 86
3. Применение скалярного умножения к доказательству геометрических теорем.................... 88
4. Выражение скалярного произведения в координатах..... 90
5. Ортонормированные базисы............... 94
6. Ортогональные матрицы................ 98
§ 6. Поливекторы..................... 105
1. Бивекторы..................... 105
2. Линейные операции над бивекторами........... 110
3. Линейная теория бивекторов.............. 116
4. Метрическая теория бивекторов............. 121
5. Тривекторы..................... 126
6. Векторное и смешанное произведения ........... 133
§ 7. Линейные операторы.................. 135
1. Отображения и преобразования............. 135
2. Кольцо линейных операторов.............. 138
3. Описание линейных операторов............. 140
4. Обратимые линейные операторы............. 145
5. Операторы, действующие по равенству координат...... 14У
6. Обратимые линейные операторы и ориентации........ 151
7. Изометричные операторы...............' . 155
8. Свойства изометричных операторов............ 157
Глава 2. Метод координат..................164
§ 1*. Координаты на прямой, в плоскости и в пространстве..... 164
1. Аффинные координаты................ . 164
2. Замена аффинных координат.............. 169
3. Деление отрезка в данном отношении........... 172
4. Прямоугольные координаты............... 173
5. Полярные, сферические и цилиндрические координаты .... 175
6. Однородные координаты................ 177
§ 2. Уравнения линий и поверхностей.............. 184
1. Задание линий и поверхностей уравнениями........ 184
2. Алгебраические линии................. 187
3. Параметрические уравнения линий и поверхностей ...... 191
§ 3. Координатно-аксиоматическое построение геометрии...... 195
1. Основные положения аксиоматического метода . . . . . . . 195
2. Аксиоматика евклидовой геометрии............ 198
3. Аксиоматика аффинной геометрии............ 208
4. Афинная геометрия над полем комплексных чисел...... 217
5. Вещественно-комплексная геометрия.......... . 221
Дополнение. Аксиоматика Гильберта.......... 226
Глава 3. Линии и поверхности первого порядка..........239
§ 1*. Прямая на плоскости..................239
1. Прямая как линия первого порядка...........239
2. Параметрические и канонические уравнения прямой.....242
3. Взаимное расположение прямых на плоскости........247
4. Полуплоскости, на которые прямая разбивает плоскость . . . .251
5. Прямая на евклидовой плоскости............253
§ 2*. Плоскость в пространстве.....• ..........258
1. Плоскость как поверхность первого порядка........258
2. Параметрические уравнения плоскости..........260
3. Взаимное расположение плоскостей в пространстве......263
4. Полупространства, на которые плоскость разбивает пространство 266
5. Плоскость в евклидовом пространстве...........268
§ 3*. Прямая в пространстве.................271
1. Прямая в аффинном пространстве............ 271
2. Взаимное расположение прямых и плоскостей........ 275
3. Прямая в евклидовом пространстве.........\ . 278
4. Расстояние между двумя прямыми в пространстве ...... 282
Глава 4. Геометрии прямых, плоскостей и окружностей....... 290
§ 1. Геометрия прямых на плоскости.............. 290
1*. Пучки прямых................... 290
2. Расширенная плоскость................ 294
3. Полнота и непротиворечивость аксиом геометрии расширенной плоскости..................... 298
4. Координаты на расширенной плоскости.......... 302
5.' Проективная плоскость................ 307
6. Интерпретаций проективной геометрии и их применения • . . 316
7. Конфигурационная геометрия........-......322
Дополнение. Трилинейные координаты.........326
« 2 Геометрия плоскостей в пространстве............331
1*. Пучки плоскостей..................332
2*. Связки плоскостей..................333
3. Расширенное пространство...............337
4. Проективное пространство...............341
Дополнение. О геометрии прямых в пространстве.....346
6 3 Геометрия окружностей на плоскости............349
1. Степень точки относительно окружности......... . 349
2. Связки окружностей . . . . '.............353
3. Пучки окружностей..................362
4. Пучки как пересечения связок..............370
5. Прямые как окружности................377
6. Окружности на вещественно-комплексной плоскости.....386
Дополнение. Геометрии параболической и гиперболической
связок ......................396
Глава 5. Элементарная теория линий и поверхностей второго порядка . 398
§ 1*. Линии второго порядка................. 398
1. Параболы......................398
2. Эллипсы......................401
3. Гиперболы.....................411
4. Уравнения эллипса, параболы и гиперболы в полярных координатах....................... 423
§ 2. Некоторые дополнительные свойства линий второго порядка . . . 426
1. Эллипс, парабола и гипербола как конические сечения .... 426
2. Взаимное расположение конических сечений и прямых .... 430
3. Прямые, касающиеся конических сечений.........436
4. Семейства софокусных эллипсов и гипербол........443
5. Диаметры конических сечений..............447
6. Теоремы Аполлония..................455
§ 3*. Поверхности второго порядка...............460
1. Эллипсоиды.....................460
2. Двуполостные гиперболоиды..............463
3. Однополостные гиперболоиды............. 466
" " " ' 469
480
4. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида .
5. Гиперболические параболоиды............
С г\
6. Эллиптические параболоиды
7. Конусы второго порядка .
8. Цилиндры второго порядка
490 496
Глава 6. Общая теория линий второго порядка..........499
R 1 * ГГ
— _,,--,„..ш .«тип mujjuio порядка.......
;. Определение вида линии второго порядка по инвариантам ее уравнения
__,__ ___f,..,. u.diirin DIUpUlU UUpH,
§ 1*. Классификация линий второго порядка........... 499
1. Линии второго порядка на евклидовой плоскости......499
2. Инварианты уравнений линий втброго порядка.......509
3_ ОгТПР Tf& ттт.ттягл ттгт тг ~ —-' -
____...........................513
4. Линии второго порядка на аффинной плоскости. Теорема единственности.....................519
5. Центры линий второго порядка ............. 527
6. Асимптоты и диаметры линий второго порядка ....... 533
7. Приведение уравнений линий второго порядка к простейшему виду .......................540
8. Главные направления и диаметры линий второго порядка . . . 544 Дополнение. Классификация поверхностей второго порядка . 548
§ 2. Проективная теория линий второго порядка ......... 554
1. Линии второго порядка на аффинно-проективной и проективной плоскостях .....................554
2. Пересечение прямой и линии второго порядка ........ 558
3. Поляры и полюсы...................563
Дополнение. Поляры в пространстве.........568
4. Теорема Безу....................569
Дополнение. Дифференциально-геометрическое истолкование кратности точки пересечения . ............. 577
§ 3. Геометрия линий второго порядка..............579
1. Пучки линий второго порядка...............579
2. Описание пучков линий второго порядка ......... 583
Дополнение. Еще раз о пучках окружностей......593
3. Линии второго порядка, проходящие через пять точек .... 594 Дополнение. Поверхности второго порядка, проходящие через девять точек...................596
4. Теорема Штурма ..................598
5. Теорема Паскаля...................601
6. Квадратичные пучки прямых..............603
7. Фокусы линий второго порядка.............612
Глава 7. Геометрические преобразования............. 617
§ 1. Аффинные, проективные и ортогональные преобразования .... 617
1. Аффинные преобразования...............617
2. Линейный оператор, индуцированный аффинным преобразованием 621
3. Общий вид афинных преобразований............628
4. Проективные преобразования.........'.....633
5. Ортогональные преобразования.........~ . . . . 637
§ 2. Разложение аффинных и ортогональных преобразований в композицию более простых.................644
1. Аффинные и ортогональные преобразования прямой.....644
2. Разложение аффинных преобразований плоскости и пространства 647 , 3. Разложение ортогональных преобразований плоскости .... 652
4. Разложение ортогональных преобразований пространства . . . 658
5. Представление движений пространства с помощью кватернионов 665 § 3. Конформные преобразования . ..............677
1. Инверсия относительно окружности............677
2. Пополненная плоскость................679
3. Свойства конформных преобразований..........686
4. Конформные преобразования и ориентации.........694
5. Конформная геометрия................704
§ 4. Группы и геометрии..................707
1. Геометрии с данной группой автоморфизмов........707
2. Простейшие геометрии аффинного типа..........711
3. Геометрии Галилея и Пуансо.......-....... 718
4. Геометрия Минковского................727-
5. Комплексная евклидова геометрия............734
6. Унитарная геометрия.................738
7. Геометрия Пуанкаре — Лобачевского...........740
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга отличается от традиционных учебников аналитической геометрии по крайней мере -в двух отношениях. Во-первых, в ней сделана попытка привести изложение аналитической геометрии на уровень строгости и формализации, давно уже достигнутый в учебниках алгебры и анализа. Во-вторых, помимо общеобязательных, стандартных вещей, в ней изложено довольно много материала либо никогда ранее в учебники не включавшегося, либо давно из учебников исключенного.
В современной математике проективная геометрия, на которую, собственно говоря, и ориентирован -традиционный курс аналитической геометрии, потеряла уже свое ведущее значение. Поэтому роль «научной базы» курса аналитической геометрии перешла к линейной алгебре. Это ведет к все более тесному слиянию курса аналитической геометрии с курсом линейной алгебры, слиянию, получившему уже организационные формы (читаются «объединенные курсы аналитической геометрии и линейной алгебры» и издаются соответствующие учебники). Тем самым курс аналитической геометрии как курс геометрии фактически ликвидируется, в результате чего студент университета может получить диплом математика, не имея, по существу, никакого представления о комплексе идей и методов классической геометрии плоскости и пространства. Для преодоления этого необходимо заново насытить собственно курс аналитической геометрии (первый семестр) живым и ярким геометрическим материалом, перенеся из него весь, какой только возможно, линейно-алгебраический материал в последующий «объединенный курс аналитической геометрии и линейной алгебры». Конечно, курс аналитической геометрии должен быть в первую очередь по силам студенту — бывшему школьнику. Вместе с тем он должен иметь общематематическое значение, развивать математическую культуру студента и подготавливать его к усвоению программ следующих семестров. Как бы ни была красива и интересна та или иная геометрическая конструкция, если с точки зрения современной математики она ведет в тупик и не находит в ней дальнейшего широкого развития, тратить на нее драгоценное лекционное время, конечно, нельзя.
Цена: 150руб.
