В книге систематически изложены основные разделы теории статистических выводов. Наиболее подробно рассмотрены методы получения оценок, эффективность оценок при квадратичной функций потерь, свойства оценок максимального правдоподобия, а также вопросы допустимости различных оценок. Строгие утверждения, комментируются пояснительными примерами (их свыше ста), в конце каждой главы помещены задачи, значительная часть которых представляет самостоятельный интерес. Книга рассчитана на студентов старших курсов, аспирантов, преподавателей и специалистов по теории вероятностей и математической статистике. Она может быть полезна как справочное пособие но затронутым вопросам математикам различных специальностей и инженерам с хорошей математической подготовкой.
Предисловие редактора перевода
Методы математической статистики находят широкое применение в самых различных областях науки и техники. Не убывает и поток журнальных статей, в которых исследуются разнообразные модели математической статистики. Предлагаемая вниманию читателя книга Ш. Закса содержит систематическое изложение методов, связанных с точечным и интервальным оцениванием. Здесь собраны воедино существенные результаты, полученные в последние годы и еще не нашедшие отражения в других книгах. Подробно излагается общая теория несмещенных оценок, оценок максимального правдоподобия, оценок, инвариантных относительно некоторых групп преобразований. Специальная глава посвящена интервальным оценкам.
В книге дается всесторонний анализ показателей эффективности точечных оценок, которые связаны с неравенствами Крамера — Рао — Вольфовица, границами Бхаттачария, асимптотической эффективностью по Бахадуру. Рассмотрены вопросы допустимости некоторых важных классов оценок. Непараметрические методы и методы оценивания в многомерных моделях иллюстрируются отдельными примерами. К сожалению, важные вопросы, связанные с устойчивостью полученных статистических выводов относительно изменений исходных предпосылок, в книге не затронуты.
Напоминая по своему построению книгу Э. «Немана «Проверка статистических гипотез», «Наука», 1964, монография •Ш- Закса представляет собой в некотором роде ее продолжение, посвященное теории оценивания. В связи с этим автор ограничивает изложение теории проверки гипотез одной главой 'Гл- 9), в которой в основном рассматриваются байесовские и минимаксные процедуры. В этой же главе обсуждаются
Оглавление
Предисловие редактора перевода ............... 5
Предисловие......................... 7
ГЛАВА 1. Краткий обзор
1.1. Общее введение................ 9
1.2. Достаточные статистики............. 11
1.3. Несмещенное оценивание............ 15
1.4. Эффективность оценок при квадратичной функции потерь..................... 20
1.5. Оценки максимального правдоподобия ..... 25
1.6. Байесовские и минимаксные оценки...... 28
1.7. Эквивариантное оценивание .......... 34
1.8. Допустимость оценок.............. 36
1.9. Проверка статистических гипотез........ 39
1.10. Доверительные и толерантные интервалы ... 42
ГЛАВА 2. Достаточные статистики
2.1. Введение и примеры.............. 46
2.2. Статистики, подполя и условное ожидание ... 51 ~^~* 2.3. Определение достаточных статистик и критерий
факторизации Неймана — Фишера....... 58
2.4. Существование и построение минимальных достаточных статистик................ 71
2.5. Минимальные достаточные статистики и экспоненциальное семейство .............. 86
2.6. Достаточность и полнота ........... 96
2.7. Достаточность и инвариантность ........ 106
2.8. Достаточность и транзитивность для последовательных моделей................ 116
2.9. Сравнение экспериментов и достаточные статистики 119 2.10.Достаточные статистики и апостериорные распределения. Байесовское определение достаточности 123 Упражнения................... 128
ГЛАВА 3. Несмещенное оценивание
3.1. Параметрический случай. Общая теория .... . 137
3.2. Несколько примеров несмещенных оценок с минимальной дисперсией в параметрическом случае . . 145
3.3. Несмещенные оценки с локально минимальной дисперсией .................... 155
3.4. Несмещенные оценки с минимальной дисперсией в случае однопараметрического экспоненциального семейства плотностей.............. 168
3.5. Несмещенное оценивание параметра положения 181
3.6. Несмещенное оценивание параметров масштаба 194
3.7. Непараметрическое несмещенное оценивание . . . 198
3.8. Линейные несмещенные оценки......... 206
3.9. Наилучшие линейные комбинации порядковых ста-
стистик.................... 227
Упражнения................... 232
ГЛАВА 4. Эффективность оценок при квадратичной функции потерь
4.1. Нижняя граница Крамера— Рао в однопараметри-ческом регулярном случае .......... 237
4.2. Система нижних границ Бхаттачария для однопа-раметрических регулярных семейств ...... 245
4.3. Случай регулярных функций распределения, зависящих от векторного параметра......... 251
4.4. Неравенство Крамера — Рао при последовательном оценивании в регулярном случае........ 261
4.5. Асимптотическая эффективность оценок..... 268
Упражнения................... 284
ГЛАВА 5. Оценивание по методу максимального правдоподобия
I 5.1. Метод максимального правдоподобия...... 288
/ 5.2. Численные методы............... 298
5.3. Строгая состоятельность оценок максимального правдоподобия ................. 302
5.4. Асимптотическая эффективность оценок максимального правдоподобия ............ 309
5.5. Наилучшие асимптотически нормальные оценки 316
5.6. Асимптотический риск оценок максимального правдоподобия ................... 327
5.7. Оценивание по методу максимального правдоподобия по группированным, усеченным и цензуриро-
ванным данным................ 332
Упражнения................... 334
ГЛАВА 6. Байесовское и минимаксное оценивание
6.1. Структура байесовских оценок......... 338
6.2. Байесовские оценки при квадратичной и выпуклой функциях потерь ............... 343
6.3. Обобщенные байесовские оценки ........ 353
6.4. Асимптотическое поведение байесовских оценок 360
6.5. Минимаксное оценивание............ 369
6.6. О процедурах оценивания при частичной априорной
информации .................. 377
6.7. Частичная априорная информация и параметрическая достаточность ............... 385
6.8. О некоторых минимаксных последовательных процедурах оценивания.............. 391
6.9. Эмпирические байесовские процедуры ..... 394
6.10. Асимптотически оптимальное байесовское последовательное оценивание ............ 401
Упражнения................... 406
I
ГЛАВА 7. Эквнвариантные оценки
7.1. Структура эквивариантных оценок....... 410-
7.2. Эквивариантные оценки параметров сдвига . . . 1415
7.3. Теоретико-групповая структурная модель и инвариантные интегралы Хаара........... 426
7.4. Фидуциапьная теория и эквивариантные оценки
с минимальным риском ............ 434
7.5. Модифицированный принцип минимакса и обобщенная теорема Ханта — Стейна ....... 443'
7.6. Последовательное эквивариантное оценивание . . 450'
7.7. Байесовские эквивариантные и фидуциальные оценки для моделей с мешающими параметрами . . . 453-Упражнения................... 461
ГЛАВА 8. Допустимость оценок
8.1. Основные понятия теории допустимости и полноты классов.................... 465-
8.2. Допустимость при квадратичных потерях .... 476
8.3. Допустимость и минимаксность в усеченных пространствах при квадратичных потерях ..... 489
8.4. Допустимость оценок Питмена одномерного параметра сдвига.................. 496
8.5. Недопустимость некоторых обычно используемых оценок..................... 507
8.6. Более общая теория допустимости эквивариантных оценок одномерного параметра сдвига ...... 510
8.7. Допустимость в общем последовательном случае 524
8.8. О допустимости выборочного среднего среди полиномиальных несмещенных эквивариантных оценок 530
8.9. Допустимость оценок и процедур при выборе из
конечной совокупности . . . •......... 534
Упражнения................... 539!
ГЛАВА 9. Проверка статистических гипотез
9.1. Проверка многих гипотез. Байесовские и минимаксные процедуры для выборки фиксированного объема 543
9.2. Монотонные процедуры проверки гипотез. Случай выборки фиксированного объема........ 551
9.3. Эмпирический байесовский подход к проверке многих гипотез.................. 562
9.4. Байесовская последовательная проверка гипотез. Общая теория................. 568-
9.5. Последовательный критерий отношения правдоподобия Вальда для проверки двух простых гипотез ...................... 575
9.6. Байесовская оптимальность последовательного критерия отношения правдоподобия Вальда , . . . . 584
9.7. О некоторых аналогах с непрерывным временем 591
9.8. Еще о построении байесовского последовательного правила остановки при проверке многих гипотез 604
9.9. Байесовские последовательные правила остановки
и задача Стефана со свободной границей..... 609
9.10.Асимптотически оптимальные процедуры проверки
гипотез .................... 616
Упражнения................... 630
ГЛАВА 10. Доверительные и толерантные интервалы
10.1. Наиболее точные доверительные интервалы. Одно-параметрический случай............ 635
10.2. Доверительные интервалы для модели с мешающими параметрами.............. 644
10.3. Ожидаемая длина доверительных интервалов . . 650
10.4. Толерантные интервалы............ 657
10.5. Непараметрические доверительные и толерантные интервалы ................ 667
10.6. Байесовские и фидуциальные доверительные и толерантные интервалы............ 674
10.7. Задача доверительного оценивания интервалами фиксированной ширины. Несколько частных случаев ..................... 686
10.8. Общие теоремы существования многоступенчатых и последовательных процедур доверительного оценивания интервалами фиксированной ширины 700
10.9. Асимптотически эффективные последовательные доверительные интервалы фиксированной ширины
для среднего нормального распределения .... 711
10.10. Асимптотически эффективное последовательное оценивание среднего доверительными интервалами фиксированной ширины. Общий случай .... 724 Упражнения .................. 735
Список литературы ..................... 741
Именной указатель....................... 762
Предметный указатель ..................... 767
Цена: 1000руб.
