Оглавление
Предисловие ............... 7
Введение ................. 9
Глава I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕКТОРОВ........ П
§ 1. Свободные векторы............. 13
!. Основные определения........... 13
2. Сложение свободных векторов......... 14
3. Проекция вектора на ось........... 15
4. Инварианты системы свободных векторов...... 15
§ 2. Скользящие векторы............ 22
1. Определения.............. 22
2. Координаты скользящего вектора........ 22
3. Момент скользящего вектора. Плюккеровы координаты . 22
4. Аналитическое определение момента скользящего вектора . 24
5. Проекция момента на ось.......... 25
6. Момент скользящего вектора относительно оси .... 25 § 3. Система скользящих векторов.......... 26
1. Система сходящихся скользящих векторов ...... 26
2. Произвольная система скользящих векторов. Элементарные операции................ 27
3. Приведение системы скользящих векторов к простейшей эквивалентной форме............ 28
4. Плоская система скользящих векторов....... 40
5. Свойства системы параллельных скользящих векторов . . 41
§ 4. Закрепленные векторы............ 43
§ 5. Дифференцирование свободного вектора по скалярному аргументу 44
Глава М. КИНЕМАТИКА........". . . . 46
§ 1. Кинематика точки............. 47
1. Скорость точки............. 47
2. Ускорение точки. Проекции ускорения на прямоугольные оси
• координат.............. 50
3. Скорость и ускорение точки в полярных координатах . . 51
4. Движение точки по окружности........ 53
0. Проекции ускорения на оси естественного трехгранника . . 53
6. Теорема о сложении скоростей в сложном движении точки . 58
7. Метод Роберваля построения касательных к плоским кривым 61
8. Аналитическое доказательство теоремы о сложении скоростей 62
9. Сложение скоростей в общем случае сложного движения точки 64 § 2. Кинематика абсолютно твердого тела....... 66
1. Определения.............. 66
2. Элементарные движения твердого тела...... 66
3. Мгновенные движения твердого тела....... 69
4. Сложение мгновенно-поступательных и мгновенно-вращательных движений твердого тела......... 70
•5. Общий случай сложения мгновенно-поступательных и мгновенно-вращательных движений твердого тела. Непрерывное движение твердого тела........... 73
6. Мгновенное движение твердого тела с одной неподжкнои
_п5чЩи_" ".......~....... "".'........'. '. '. г ; ; ; '. . . . 82
7. ТТлоскопараллельное движение твердого тела..... 84
§ 3. Ускорение точки в сложном движении....... 89
1. Теорема Кориолиса............ 89
2. Замечание о дифференцировании единичного вектора . 96
3. Векторный вывод теоремы Кориолиса....... 97
4. Теорема Ривальса............ 99
§ 4. Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела............... 102
1. Распределение ускорений.......... 102
2. Мгновенный центр ускорений......... 107
§ 5. Кинематические уравнения Эйлера........ 112
Глава III. СТАТИКА".............. 115
I. Геометрическая статика............ 15
§ 1. Аксиомы статики............. 17
§ 2. Понятие о силе трения............ 20
§ 3. Различные задачи статики........... 23
1. Система сходящихся сил, действующих на твердое тело . . 23
2. Равновесие трех сил........... 24
§ 4. Момент силы.............. 26
1. Момент силы относительно точки........ 126
2. Момент силы относительно оси........ 127
3. Теорема Варипьона для системы сходящихся сил .... 127 § 5. Произвольная система сил, действующих на твердое тело . . 127
1. Эквивалентные системы сил......... 127
2. Пара сил.............. 127
3. Приведение системы сил, действующих на твердое тело, к произвольной точке (центру приведения) ....... 127
§ 6. Условия равновесия системы сил, действующих на твердое тело 128 § 7. Приведение системы сил, действующих на твердое тело, к динаме.
Уравнения равновесия твердого тела ........ 123
§ 8. Условия равновесия системы твердых тел...... '30
§ 9. Плоская система сил........... 133
§ 10. Задача о равновесии несвободного твердого тела .... 134
1. Постановка задачи............ 134
2. Частные случаи равновесия твердого тела...... 136
§11. Задача о равновесии при наличии трения....... 142
§ 12. Сила тяжести и центр тяжести......... 149
II. Аналитическая статика............ 152
§ 1. Работа силы на перемещении. Силовая функция . . . . 152
§ 2. Принцип возможных перемещений........ 156
1. Определения.............. 156
2. Теорема Лагранжа о равновесии системы...... 160
3. Принцип Торричелли........... 167
§ 3. Общие вопросы аналитической статики....... 169
1. Связи и возможные перемещения........ 169
2. Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа .... 172
3. Общие теоремы о равновесии системы материальных точек . 180
4. Метод неопределенных множителей Лагранжа .... 182
5. Определение реакций........... 188
§ 4. Определение реакций в общем случае........ 191
§ 5. Равновесие нити............. 196
1. Уравнения равновесия........... 196
2. Естественные уравнения равновесия нити...... 200
Глава IV. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ..... 208
§ 1. Основные законы динамики.......... 209
§ 2. Две основные задачи динамики. Уравнения движения точки в
декартовых осях............. 212
§ 3. Естественные уравнения движения......... 214
§ 4. Основные теоремы динамики для свободной материальной точки 215
1. Теорема об изменении количества движения материальной
точки................ 215
2. Теорема об изменении момента количества движения . . 216
3. Следствия из теорем об изменении количества движения и момента количества движения материальной точки . . . 217
4. Теорема живых сил............ 221
5. Интеграл живых сил............ 222
6. Устойчивость равновесия. Теорема Лагранжа . "26
§ 5. Движение тяжелой материальной точки в пустоте .... 230
§ 6. Движение материальной точки под действием центральных сил 237
1. Основные положения........... 237
2. Формулы Бипе............. 239
3. Задача о движении планет.......... 242
§ 7. Движение точки в сопротивляющейся среде...... 255
§ 8. Движение несвободной материальной точки...... 258
1. Движение материальной точки по кривой...... 258
2. Движение материальной точки по поверхности .... 269 § 9. Относительное движение материальной точки..... 284
1. Теорема живых сил в относительном движении точки . . 286
2. Уравнения относительного равновесия точки..... 288
3. Равновесие материальной точки на поверхности Земли. Вес . . 289
1. Задача о падении тяжелой точки в пустоте..... 291
5. Маятник Фуко............. 292
§ 10. Принцип Даламбера............ 295
Глава V. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
. 299
§ 1. Учение о связях............. 300
§ 2. Принцип Даламбера — Лагранжа......... 303
§ 3. Основные теоремы динамики системы........ 305
1. Теорема об изменении количества движения системы и о дви-
жении центра масс системы......... 305
2. Теорема об изменении момента количества движения . . 316
3. Теорема живых сил............ 326
§ 4. Теоремы о движении системы относительно осей неизменного направления, проходящих через центр масс системы (осей Кёнига) 333
1. Теоремы Кёнига............. 333
2. Теорема об изменении момента количества движения системы
относительно осей Кёнига.......... ЗЗо
3. Теорема живых сил в движении системы относительно осей
Кёнига............... 338
§ 5. Уравнения Лагранжа второго рода . . ..... ЗЗЭ
1. Вывод уравнений Лагранжа......... 339
2. Случай существования силовой функции...... 344
3. Замечание о лагранжевых координатах...... 345
§ 6. Элементарные случаи интегрируемости уравнений Лагранжа . 348
1. Циклические координаты.......... 348
2. Метод Рауса игнорирования циклических координат . . . 348
3. Обобщение теоремы и интеграла живых сил..... 353
§ 7. Определение реакций............ 359
Глава VI. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА........ 368
§ 1. Теория моментов инерции........... 369
1. Определения.............. 369
2. Момент инерции системы относительно произвольной оси, про-
ходящей через заданную точку........ 373
3. Эллипсоид инерции............ 373
4. Определение главных осей инерции для произвольной точки 376 - § 2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси ___......•_.—--—*__38 2
Г §" 3'." ДвпжёНие^твердого_тела, имеющего одну неподвижную точку Т_39П
1. ОсТюшше динамические характеристики '. '. . '. . .391
2. Уравнения движения твердого тела с одной неподвижной точкой............... 393
_§_4^ Движение, тяжелого твердого тела около неподвижной точки . _ 399 _
1. Постановка задачи ; '. '. : :-----: Г Г '. '. . . 400
2. Интегрирование уравнений движения тяжелого твердого тела.
Первые интегралы уравнений движения...... 402
3. Случай Эйлера — Пуаисо.......... 406
4. Случай Лагранжа............ 420
5. Случай Ковалевской........... 436
§ 5. Определение реакций в случае движения твердого тела с одно;";
неподвижной точкой............ 438
§ 6. Уравнения движения свободного твердого тела ..... 439
§ 7. Гиростаты............... 440
Глава VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА....... 443
§ 1. Канонические уравнения Гамильтона........ 444
1. Преобразования Лежандра......... 446
2. Канонические уравнения Гамильтона....... 449
3. Функция Гамильтона и ее свойства....... 451
§ 2. Принцип Гамильтона — Остроградскогс....... 457
1. Принцип Гамильтона — Остроградского...... 457
2. Вывод канонических уравнений Гамильтона из принципа Гамильтона — Остроградского......... 46о
3. Принцип Гамильтона в форме Пуанкаре...... 46о
§ 3. Интегрирование канонических уравнений Гамильтона . . . 469
1. Действие по Гамильтону и его свойства...... 469
2. Канонические преобразования......... 473
3. Бесконечно малые канонические преобразования .... 477
4. Теорема Лиувилля............ 479
5. Теорема Якобп............. 481
6. Интегрирование уравнения Гамильтона — Якоби .... 482
7. Скобки Пуассона............ 497
§ 4. Вариационные принципы механики........ 500
1. Исторические замечания........... 500
2. Принцип Лагранжа............ 502
3. Принцип наименьшего действия з форме Якоби .... 506
4. Оптико-механическая аналогия......... 512
5. Интегральные инварианты.......... 517
6. Принцип наименьшего принуждения Гаусса. Уравнения Аппеля 524
7. Уравнения Рауса............ 535
§ 5. Малые колебания............. 539
1. Малые колебания системы с одной степенью свободы . . 540
2. Общий случай малых колебаний системы около положения
малых колеани системы около положения
устойчивого равновесия ........... 5о1
ойчивость движения............ 571
1. Основные теоремы............ 571
2. Влияние новых связей на малые колебания системы около положения равновесия........... 582
3. Влияние диссипативных сил на устойчивость равновесия . 584
4. Влияние гироскопических сил на устойчивость равновесия . 589 § 7. Элементы теории возмущений.......... 594
1. Уравнения в вариациях Пуанкаре........ 595
2. Метод изменения произвольных постоянных..... 601
Глава VIII. ТЕОРИЯ УДАРА......... .604
§ 1. Основные положения............ 604
§ 2. Теоремы Карпо....... ...... 611
§ 3. Задача о центре удара............ 615
§ 4. Задача о баллистическом маятнике........ 617
§ 5. Уравнения Лагранжа для удара......... 618
§ 6. Задача об ударе по твердому телу с одной неподвижной точкой 619
Глава IX. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ................. 622
§ 1. Постановка задачи............. 622
§ 2. Специальный принцип относительности Эйнштейна .... 628
$ 3. Группа преобразований Лоренца......... 630
- § 4. Инвариантные величины в теории относительности. Четырехмерный вектор. Мир Минковскогс......... 636
§ 5. Релятивистская динамика........... 640
Литература................ 645
Предисловие
Предлагаемый вниманию читателя «Курс теоретической механики» является переработанным и дополненным изданием книги автора «Лекции по теоретической механике», вышедшей двумя выпусками в 1967 и 1968 гг. Она содержит материал лекционного курса, который автор в течение ряда лет читает на механико-математическом факультете Московского университета. Книга предназначена служить руководством для студентов механико-математических факультетов университетов при изучении курса теоретической механики и соответствует действующей программе для университетов.
При изложении материала автор старался следовать сложившимся в Московском университете традициям и продолжать идеи Н. Е. Жуковского, С. А. Чаплыгина и Н. Г. Четае-ва; замечательные лекции последнего автор слушал в Московском университете в 1953-—1958 гг.
Книга включает в себя элементы теории скользящих векторов, геометрическую и аналитическую статику, динамику материальной точки и системы материальных точек, динамику твердого тела, аналитическую динамику, элементы теории удара и элементы специального принципа относительности Эйнштейна. В основу кинематики положено понятие сложного движения, базирующееся на теории скользящих векторов. В статике большое внимание уделено методу возможных перемещений. В динамике точки более подробно изучаются центральные движения и относительные движения. При изложении основных теорем динамики системы материальных точек автор следовал методам Н. Е. Жуковского и Н. Г. Че-таева, продолжавших идеи Лагранжа. Это направление проходит через весь курс и особенно подчеркивается при рассмотрении решений задач. В раздел «аналитическая дина-
Цена: 300руб.
