Предисловие ко второму изданию Предисловие к первому изданию .
ГЛАВА I
ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
В ЛИНЕЙНОМ НОРМИРОВАННОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
1. Постановка основной задачи теории аппроксимации 9
2. Метрическое пространство............
3. Линейное нормированное пространство...... 10
4. Примеры линейных нормированных пространств 10
5. Неравенства Гельдера и Минковского...... 12
6. Дальнейшие примеры линейных нормированных пространств .................... 15
7. Пространство Гильберта............ 16
8. Основная теорема аппроксимации в линейном нормированном пространстве ............ 17
9. Строго нормированные пространства....... 19
10. Пример в пространстве LT........... 20
11. Геометрическая интерпретация......... 21
12. Понятие о сепарабельном и полном пространствах 22
13. Теоремы аппроксимации в пространстве Я .... 23
14. Пример .................... 28
15. Снова о проблеме аппроксимации в пространстве Я 30
16. Ортонормированные системы векторов в Я .... 32
17. Ортогонализация системы векторов....... 33
18. Бесконечные Ортонормированные системы .... 34
19. Пример несепарабельного пространства...... 38
20. Первая теорема Вейерштрасса.......... 39
21. Вторая теорема Вейерштрасса.......... 41
22. Сепарабельность пространства С ......... 42
23. Сепарабельность пространства LV........ 43
24. Обобщение теоремы Вейерштрасса на пространство L'J 46
25. Полнота пространства L'(>............ 48
26. Примеры полных ортонормированных систем в L- 50
27. Теорема Мюнца................. 53
28. Линейный функционал ............. 56
29. Теорема Ф. Рисса............... 57
30. Критерий замкнутости множества векторов в произвольном . линейном нормированном пространстве 60
Г Л .Л В А 11
КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
31. Постановка вопроса.............. 62
32. Обобщенная теорема Валле-Пуссена....... 63
33. Теорема существования............. 64
34. Теорема Чебышева............... 66
35. Случай аппроксимации многочленами....... 69
36. Полиномы Чебышева, наименее уклоняющиеся от
........ 69
нуля
70
37. Дальнейший пример на теорему Чебышева ....
38. Пример на применение теоремы Валле-Пуссена . 72
39. Пример на применение общей теоремы Чебышева 73
40. Переход к периодическим функциям...... 76
41. Пример .................... 78
42. Функция Вейерштрасса............. 78
43. Проблема Хаара ................ 79
44. Доказательство теоремы Хаара.......... 80
45. Пример .................... 83
46. Обобщение теоремы Чебышева.......... 85
47. Обобщение теоремы Чебышева на комплекснознач-
ные функции.................. 88
48. Обобщение теоремы Хаара на комплекснозначные функции .................... 89
49. Об одном вопросе аппроксимации непрерывной функции в метрике пространства L......... 91
50. Теорема А. Маркова.............. 96
51. Частные случаи................ 99
ГЛАВА III
ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
52. Простейшие факты относительно рядов Фурье . . 104
53. Ряды Фурье функций ограниченной вариации . . 108 54 Равенство Парсеваля для рядов Фурье..... 111
55. Примеры рядов Фурье............. 113
56. Лемма Боаса.................. 115
57. Тригонометрическое интерполирование..... 117
58. Тригонометрические интегралы......... 120
59. Пример .................... 122
60. Теорема Рпмана — Лебега........... 124
61. Теория Планшереля.............. 124
62. Теорема Ватсона................ 127
63. Теорема Планшереля.............. 130
64. Примеры.................... 133
65. Преобразование Ганкеля ............. 135
66. Пример..................... 136
67. Суммационная формула Пуассона........ 137
68. Теорема Харди — Юнга............ 141
69. Теорема Фейера................ 142
70. Интегральные операторы с ядром типа Фейера . . 145
71. Примеры ядер типа Фейера........... 149
72. Преобразование Фурье интегрируемой функции . 150
73. Свертка двух функций............. 155
74. Функция Стеклова............... 156
75. Теорема Винера — Леви............ 157
76. Теорема аппроксимации Винера......... 162
77. Кратно монотонные функции.......... 167
78. Интегралы дробного порядка от периодических функций .................... 169
79. Сопряженные функции............. 170
ГЛАВА IV
НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
80. Целые функции экспоненциального типа..... 174
81. Преобразование Бореля............ 176
82. Теорема Винера — Пэли............ 179
83. Целые функции экспоненциального типа, ограниченные на вещественной оси, и неравенство Берн-штейна .................... 182
84. Доказательство неравенства Бернштейна..... 186
85. Полиномы Левитана.............. 193
86. Аппроксимация функции класса W^ посредством
ее полинома Левитана.............. 195
87. Аналог теоремы А. Маркова в классе целых функций рр экспоненциального типа ............ 199
88. Критерий С.-Надя............... 203
89. Явление интерференции целых функций..... 207
ГЛАВА V
ВОПРОСЫ НАИЛУЧШЕЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ
90. Предмет главы................. 212
91. Модуль непрерывности............. 213
92. Обобщение на пространство LV (р !> 1)..... 215
93. Пример .............'....... 217
94. Некоторые оценки для констант Фурье..... 221
95. Снова о функции Стеклова........... 224
96. Две леммы о периодических функциях...... 226
97. Снова о свертке................ 228
98. Теоремы Д. Джексона.............. 230
99. Прямая задача гармонической аппроксимации . . 231 1СО, Классы функций, определяемые интегральными операторами .................... 235
101. Применение к дифференцируемым функциям . . . 237
102 Обобщение на пространство L>> (р > 1)..... 242
103. Непосредственное рассмотрение периодических функций ...................... 245
104. Неравенство Бора и его обобщения........ 251
105. Аппроксимация непрерывно дифференцируемых функций.................... 251
106. Обобщенный метод Фейера............ 253
107. Теоремы Бернштейна.............. 258
108. Теорема Привалова............... 262
109. Обобщение теорем Бернштейна на пространство LP
(р > 1) .................... 264
ПО. Наилучшая гармоническая аппроксимация аналитических функции ................ 267
111. Другая форма результата предыдущего п° . . . . 271
112. Обратная теорема Бернштейна.......... 274
ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
I. Экстремальные свойства некоторых элементарных
функций и некоторые критерии полноты..... 277
II. Представления и неравенства для целых функций экспоненциального типа .............. 328
III. Различные теоремы о приближении для функциональных классов и отдельных функций...... 365
Примечания..................... 397
Алфавитный указатель ................ 404
ПРЕДИСЛОВИЕ
КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
При подготовке настоящего издания я подверг ряду изменений основной текст и полностью переработал последний раздел € Дополнения и задачи». В этом разделе я счел возможным не придерживаться единого стиля: в одних параграфах *) я даю полные доказательства фактов, а в других только формулировки и литературные указания.
За годы, прошедшие после выхода первого издания, наша математическая литература пополнилась превосходными курсами и монографиями по теории функций и функциональному анализу. Это позволило мне изъять из первого издания ряд примечаний и литературных указаний. Дальнейшее сокращение числа примечаний достигнуто за счет того, что работы П. Л. Чебы-шева, Е. И. Золотарева и С. Н. Бернштейна я цитирую по академическим изданиям их сочинений (вышедшим соответственно в 1944 — 1951, 1931 — 1932 и 1952 — 1964 годах), указывая в фигурных скобках том и страницы или том и номер статьи. Кроме того, я ссылаюсь непосредственно в тексте на следующие книги:
1) С. Н. Б ернштейн, Экстремальные свойства полиномов, Л.—М, 1937 (цитируется: {Э. С.}).
2) С. Н. Бе рнштейн, Lecons sur les proprletes extremales et la meileure approximation des fonctions analytiques d'une variable reelle, Paris, 1926 (цитируется: {Р. Е.}).
3) Г. Н. В am сон, Теория бесселевых функций, М, 1949.
4) Б. ft. Левин, Распределение корней целых функций, М., 1956.
В работе над рукописью этого издания мне помогли своими замечаниями Б. Я- Левин, И. В. Островский и Ф. С. Рофе-Бекетов. Особенно большую помощь мне оказал Ф. С. Рофе-Бекетов. Он очень внимательно прочел всю рукопись и обнаружил ряд недосмотров и погрешностей, которые мне благодаря этому удалось устранить. Всем им я очень признателен. Выражаю также благодарность Л. Я- Цлафу за проделанную им большую работу.
*) Параграфы Дополнений отмечаются при ссылках буквой Д и номером.
Цена: 500руб.
