Глава 1. Системы линейных уравнений...........................7
1.1. Матрицы, действия над матрицами....................................7
Основные понятия ......................................................7
Операции с матрицами ................................................9
Свойства операций ....................................................13
Матричная форма записи системы линейных уравнений .........16
1.2. Определители и их свойства ..........................................17
Понятие определителя. Миноры и
алгебраические дополнения ..........................................17
Свойства определителей .............................................23
1.3. Системы линейных уравнений. Правило Крамера ...............29
Множество решений системы линейных уравнений...............29
Правило Крамера.......................................................31
1.4. Метод обратной матрицы в решении систем линейных уравнений...................................................................38
Обратная матрица. Существование обратной матрицы.............38
Решение систем линейных уравнений
и матричных уравнений .............................................41
1.5. Метод Гаусса..............................................................45
Элементарные преобразования уравнений системы ...............45
Метод Гаусса в произвольных системах
линейных уравнений............................................/.......51
Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли........................58
Однородные системы ................................................59
Глава 2. Векторная алгебра ..........................................65
2.1. Понятие вектора
и линейные операции над векторами.................................65
Понятие геометрического вектора....................................65
Линейные операции над векторами .................................68
Свойства линейных операций с векторами ........................71
Линейные комбинации векторов ....................................74
Линейно независимые и линейно зависимые векторы.......................................75
Линейные комбинации двух векторов ..............................76
Линейные комбинации трех векторов ..............................77
Линейная зависимость четырех векторов...........................79
Понятие базиса. Координаты вектора ..............................80
2.2. Скалярное произведение векторов....................................83
Угол между векторами. Проекция вектора на ось..................83
Определение скалярного произведения..............................85
Алгебраические свойства скалярного произведения ...............87
Геометрические свойства скалярного произведения ...............88
Выражение скалярного произведения через координаты
векторов в ортонормированном базисе..............................89
2.3 Векторное и смешанное произведения векторов ..................91
Ориентация тройки векторов..........................................91
Определение векторного произведения двух векторов ............93
Смешанное произведение трех векторов и его свойства .........94
Алгебраические свойства векторного произведения...............97
Вычисление векторного и смешанного произведений
в ортонормированных координатах.................................98
2.4. Условия коллинеарности, ортогональности
......................................100
и компланарности векторов....................................
..........................................102
Условия коллинеарности.............................................101
Условия ортогональности ..........................................101
Условия компланарности .....................................
Глава 3. Прямая и плоскость.......................................103
3.1. Системы координат ...................................................103
Предварительные замечания .......................................103
Декартовы координаты на прямой .................................107
Декартовы прямоугольные координаты на плоскости
и в пространстве......................................................108
Полярная система координат .......................................111
3.2. Простейшие задачи аналитической геометрии ..................112
Расстояние между двумя точками .................................112
Деление отрезка в заданном отношении...........................113
3.3. Различные уравнения плоскости и прямой........................115
Способы задания плоскости и прямой..............................115
Общее уравнение плоскости.......................................117
.................121'
э
Нормированное уравнение плоскости..............................122
Параметрическое уравнение плоскости ...........................126
Параметрические и канонические уравнение прямой ............127
Прямая, заданная пересечением двух плоскостей ...............128
Уравнения прямой на плоскости....................................129
3.4. Некоторые задачи аналитической геометрии.....................131
Уравнение плоскости, проходящей через три точки ............131
Уравнение прямой, проходящей через две точки..................132
Пересечение прямой и плоскости.................................132
Расстояние от точки до плоскости.................................134
Расстояние от точки до прямой ....................................135
Расстояние между скрещивающимися прямыми ...............137
Вычисление углов ...................................................139
Глава 4. Линейные пространства ..................................141
4.1. Линейное пространство и его реализации ........................141
Определение линейного пространства ...........................141
Примеры линейных пространств....................................143
Простейшие следствия аксиом линейного пространства ......147
4.2. Линейная зависимость и независимость векторов.
Размерностьи базис линейного пространства...................148
Понятие линейной зависимости
и линейной независимости векторов..............................148
Свойства линейно зависимых векторов........................... 149
Размерность и базис линейного пространства.....................151
Критерий линейной независимости.................................154
Размерность и базис пространства R" арифметических
векторов...............................................................156
Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование
координат вектора при изменении базиса ........................160
4.3. Евклидово пространство.............................................163
Определение евклидова пространства ............................163
Вычисление скалярного произведения
в произвольном базисе .............................................169
'•4. Ортонормированный базис евклидова пространства............175
Ортогонализация базиса евклидова пространства ...............180
Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису..............................183
4.5. Линейные операторы...................................................185
Действия с линейными операторами ..............................191
Преобразование матрицы линейного оператора при переходе
от базиса к базису ...................................................193
4.6. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора...................................................195
Самосопряженные операторы.......................................204
4.7. Билинейные и квадратичные формы ..............................211
Условие знакоопределенности квадратичной формы ............218
Приведение квадратичной формы к сумме квадратов
(приведение к каноническому виду) ..............................220
Глава 5. Кривые и поверхности второго порядка .........223
5.1. Эллипс.....................................................................223
Вывод уравнения эллипса..........................................323
Построение и исследование формы эллипса .....................228
5.2. Гипербола ...............................................................231
Построение и исследование формы гиперболы ..................235
5.3. Парабола..................................................................238
5.4. Эксцентриситет эллипса и гиперболы.
Директрисы эллипса и гиперболы.................................241
5.5. Оптические свойства эллипса, гиперболы, параболы .........247
5.6. Общее уравнение кривой второго порядка. Приведение уравнения кривой второго порядка
к каноническому виду ................................................252
5.7. Поверхности второго порядка.......................................265
Расчетно-графическая работа.......................................275
Цена: 100руб.
