Предисловие................................. . И
Глава 1. Функциональные последовательности и ряды....... . 13
§ 1. Равномерная сходимость....................... 13
1. Понятие функциональной последовательности и функционального ряда (13). 2. Сходимость функциональной последовательности в точке и на множестве (14).Qj) Понятие равномерной сходимости на множестве (16).(?5Критерий Коши (17).СЬД1оста-точные признаки равномерной сходимости (18). 6. Почленный переход к пределу. (Непрерывность СУММЫ ряд.а_и_ предельной ^ткции_пдследовательност^ (23),
§ 2. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование ~~
.функциональных последовательностей и рядов........... 26
CD Почленное интегрирование (26)^} Почленное дифференцирование (29). 3. Сходимость в среднем (33).
§ 3. Равностепенная непрерывность последовательности функций. Теорема Арцела.............................. 36
§ 4. Степенные ряды............................ 40
Q) Степенной ряд и область его сходимости (40). 2. Непрерывность суммы степенного ряда (44). 3. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенного ряда (44).
§ 5. Разложение функций в степенные ряды .............. 45
1. Разложение функции в степенной ряд (45). 2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (47). 3. Эле-, ментарные представления о функциях комплексной переменной (49). 4. Равномерное приближение непрерывной функции многочленами (теорема Вейерштрасса) (50).
Глава 2. Двойные и n-кратные интегралы................ 55
§ 1. Определение и существование двойного интеграла"........ 56
1. Определение двойного интеграла для прямоугольника (56).
2. Существование двойного интеграла для прямоугольника (57).
3. Определение и существование двойного интеграла для произвольной области (59). 4. Определение двойного интеграла при . помощи произвольных разбиений области (62).
§ 2. Основные свойства двойного интеграла.............. 65
§ 3. Сведение двойного интеграла к повторному однократному ... 67
1. Случай прямоугольника (67). 2. Случай произвольной области
(69).
§ 4. Тройные и п-кратные интегралы.................. 71
§ 5. Замена переменных в n-кратном интеграле............ 75
Дополнение к главе 2. О приближенном вычислении n-кратных интегралов ...........*..................... . . . 89
I. Формулы численного интегрирования, оптимальные для клас-, сов функций (90). 2. О формулах численного интегрирования, оптимальных для каждой конкретной функции (92). 3. Пример приближенного вычисления кратного интеграла (93).
Глава 3. Несобственные интегралы................... 94
§ 1. Несобственные интегралы первого рода (одномерный случаи)] . . 94 1. Понятие несобственного интеграла первого рода (94). 2. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла первого рода. Достаточные признаки сходимости (96). 3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов (98). 4. Замена переменных под знаком несобственного интеграла и формула интегрирования по частям (100).
§ 2. Несобственные интегралы второго рода (одномерный случай) . . . 102 1. Понятие несобственного интеграла второго рода. Критерий Коши (102). 2. Заключительные замечания (103).
§ 3. Главное значение несобственного интеграла............ 105
§ 4. Кратные несобственные интегралы.............., . . . 106
1. Понятие кратных несобственных интегралов (106). 2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций (107). 3. Несобственные интегралы от знакопеременных функций (110). 4. Главное значение кратных несобственных интегралов (113).
Глава 4. Криволинейные интегралы........ .'.......... 114
§ 1. Определения криволинейных интегралов и их физический смысл 114 —• § 2. Существование криволинейных интегралов и сведение их к определенным интегралам......................... 117
Глава 5. Поверхностные интегралы.................... 123
§ 1. Понятие поверхности......................... 123
1. Понятие поверхности (123). 2. Регулярная поверхность (124).
3. Задание поверхности с помощью векторных функций (127).
4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности (128). 5. Вспомогательные лем-
• мы (130).
§ 2. Площадь поверхности........................ 133
1. Понятие площади поверхности (133). 2. Квадрируемость гладких поверхностей (134).
§ 3. Поверхностные интегралы...................... 137
1. Понятия поверхностных интегралов первого и второго родов (137). 2. Существование поверхностных интегралов первого и второго родов (139). 3. Поверхностные интегралы второго рода, не зависящие от выбора декартовой системы координат (142).
Глава 6. Основные операции теории поля................ 144
§ 1. Преобразования базисов и координат. Инварианты........ 144
1. Взаимные базисы векторов. Ковариавтные и контравариант-ные координаты векторов (144). 2. Преобразования базиса и координат (146). 3. Инварианты линейного оператора. Дивергенция и ротор линейного оператора (148).
§ 2. Основные понятия и операции, связанные со скалярным и векторным полем..............................151
1. Понятия скалярного и векторного поля (151). 2. Дифференцируемые скалярные поля. Градиент скалярного поля. Производная по направлению (151). 3. Дифференцируемые векторные поля. Дивергенция и ротор векторного поля. Производная векторного поля по направлению (155). 4. Повторные операции теории поля О58)- ,
§ 3. Выражение основных операций теории поля в криволинейных
координатах............................... 159
1. Криволинейные координаты (159). 2. Выражение градиента и производной по направлению для скалярного поля в криволинейных координатах (164). 3. Выражение дивергенции, ротора «.производной по направлению для векторного поля в криволинейных координатах (166). 4. 'Выражение оператора Лапласа в криволинейных ортогональных координатах (168). 5. Выражение основных операций теории поля в цилиндрической и сферической си-,стемах координат (168).
Глава 7. Формулы Грина, Стокса, Остроградского.......... . 170
§ 1. Формула Грина...................'......... 170
1. Формулировка основной теоремы (170). 2. Доказательство формулы Грина для специального класса областей (171). 3. Инвариантная запись формулы Грина (173). 4. Вспомогательные предложения (176). 5. Специальное разбиение области D с кусочно-гладкой границей L (179). 6. Доказательство теоремы 7.1 (181).
§ 2. Формула Стокса........................... 182
1. Формулировка основной теоремы (182). 2. Доказательство формулы Стокса для гладкой поверхности, однозначно проектирующейся на три координатные плоскости (183). 3. Инвариантная запись формулы Стокса (185). 4. Доказательство теоремы 7.3(186).
§ 3. Формула Остроградского.................'..... 188
1. Формулировка основной теоремы (188). 2. Доказательство формулы Остроградского для специального класса областей (189). 3. Инвариантная запись формулы Остроградского (191).
§ 4. Некоторые приложения формул Грина, Стокса и Остроградского 193 1. Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл (193). 2. Выражение объема через поверхностный интеграл (194). 3. Условия, при которых дифференциальная форма Р (х,у) dx-\-Q (x,y) dy представляет собой полный дифференциал (194). 4. Потенциальные и соленоидальные векторные поля (199).
Дополнение к главе 1\ Дифференциальные формы в евклидовом пространстве . . . ............................. 202
§ 1. Знакопеременные полилинейные, формы............... 202
1. Линейные формы (202). 2. Билинейные формы (203). 3. Полилинейные формы (204). 4. Знакопеременные полилинейные формы (204). 5. Внешнее произведение знакопеременных форм (205).
6. Свойства внешнего произведения знакопеременных форм (207).
7. Бэзкс в пространстве знакопеременных форм (209).
§ 2. Дифференциальные формы...................... 210
1. Определения (210). 2. Внешний дифференциал (211). 3. Свойства внешнего дифференциала (212).
§ 3. Дифференцируемые отображения .................. 213
1. Определение дифференцируемых отображений (213). 2. Свойства отображения <р* (214).
§ 4. Интегрирование дифференциальных форм ............. 217
1. Определения (217). 2. Дифференцируемые цепи (219). 3. Формула Стокса (221). 4. Примеры (223).
Г л а в а 8. Мера и интеграл Лебега.................... 224
§ 1. О структуре открытых и замкнутых множеств.......... 225
§ 2. Измеримые множества....... ............•-. .... 228
1 RUAYIIUCTCT »«АПо ыипшгм^та ш ОА е*впйе*та /99ЗД О ДОзмА nuULTA
§ 3. Измеримые функции......................... 237
1. Понятие измеримой функции (237). 2. Свойства измеримых функций .(238). 3. Арифметические операции над измеримыми функциями (239). 4. Последовательности измеримых функций (241).
§ 4. Интеграл Лебега....................f...... 244
1. Понятие интеграла Лебега от ограниченной функции (244).
2. Класс интегрируемых по Лебегу ограниченных .функций (247).
3. Свойства интеграла Лебега от ограниченной*функции (248).
4. Интеграл Лебега от неотрицательной неограниченной функции и его свойства (251). 5. Интеграл Лебега от неограниченной функции произвольного знака (255). 6. Предельный переход под знаком интеграла Лебега (257). 7. КлассьГЛебега If (E) (261). 8. Заключительные замечания (264).
Дополнение 1 к главе 8. Необходимое и достаточное условие интегрируемости по Риману........,...........; . . 265
Дополнение 2 к главе 8. Необходимое и достаточное условие интегрируемости ограниченной функции по Лебегу.......... 266
Глава 9. Интегралы, зависящие от параметров.....'........ 268
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра........ 268
1. Понятие интеграла, зависящего от параметра (268). 2. Свойства непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости ин-. тегралов, зависящих от параметра (269). 3. Случай, когда пределы интегрирования зависят от параметра (270).
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра....... 273
1. Понятие несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра. Понятие равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра (273). 2. Свойства непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственных ин-|гегралов, зависящих от параметра (276). 3. Несобственные'интегралы второго рода, зависящие от параметра (280).
§ 3. Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычислению несобственных интегралов .................. 281
§ 4. -Интегралы Эйлера . . . . /...................... 284
1. Область сходимости интегралов Эйлера (285). 2. Непрерывность интегралов Эйлера (286). 3. Некоторые свойства функции Г (р) (287).\4. Некоторые свойства функции В (р, q) (288).
5. Связь между эйлеровыми интегралами (289). 6. Вычисление определенных интегралов с помощью эйлеровых интегралов (291).
§ 5. Формула Стирлинга...................... 292
§ 6. Кратные интегралы, зависящие от параметров....... 297
, 1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметров (297).
2. Несобственные кратные 'интегралы, зависящие от параметров (298). 3. Приложение к теории ньютонова потенциала (300).
Глава 10. Ряды и,интеграл Фурье.................... 302
§ 1. Понятие об ортонормировацных системах и об общем ряде
Фурье................................. 302
§ 2. Замкнутые и полные ортонормированные системы ........ 311
§ 3. Замкнутость тригонометрической системы и следствия из нее . . 313 1. Равномерное- приближение непрерывной функции тригонометрическими многочленами (313). 2. Доказательство замкнутости тригонометрической системы (316). 3. Следствия замкнутости тригонометрической системы (318).
§ 4. Простейшие условия равномерной сходимости и почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье ...:.... 319 1. Вводные 'замечания (319). 2. Простейшие условия абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье (321).
3. Простейшие условия почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье (323).
§ 5. Более точные условия равномерной сходимости и условия сходимости в данной точке....................... ; 325
1. Модуль, непрерывности функции. Классы Гёльдера' (325).
2. Выражение для частичной суммы тригонометрического ряда Фурье (326). 3. Интегральный модуль непрерывности функции (329). 4. Принцип локализации (333). 5. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье для функции из класса Гёль-
. дера (335). 6. О сходимости тригонометрического ряда Фурье кусочно-гёльдеровой функции (340). 7. Суммируемость тригонометрического ряда Фурье непрерывной функции методом средних арифметических (344). 8. Заключительные замечания (345).
§ 6. Интеграл Фурье.......................... 347
1. Образ-Фурье и его простейшие свойства (348). 2. Условия разложимости функции в интеграл Фурье (350). 3. Понятие о прямом и обратном преобразованиях Фурье (354). 4. Некоторые дополнительные свойства преобразования Фурье (356).
§ 7. Кратные тригонометрические рады и интегралы Фурье..... 358
1. Понятие кратного тригонометрического ряда Фурье и его прямоугольных и сферических частичных сумм (358). 2. Модуль непрерывности и классы Гёльдера для функции N переменных (360). 3. Условия сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье (361). 4. О разложении функции в TV-кратный интеграл Фурье (364).
Глава 11. Гильбертово пространство................... 366
§ 1. Пространство /2.....................'......,. 366
1. Понятие пространства 1г (366). 2. Общий вид линейного функционала в /2 (369). 3. О слабой компактности ограниченного по норме Р множества (372).
§ 2. Пространство L*.................... . . ...... 375
1. Простейшие свойства пространства LP (375). 2. Сепарабельность .пространства I? (376). 3. Существование в L? замкнутой ортонорми-рованной системы, состоящей из счетного числа элементов (379).
4. Изоморфизм пространств La и № и следствия из него (381).
§ 3. Абстрактное гильбертово пространство.............. 386
1. Понятие абстрактного гильбертова пространства (386). 2. Эквивалентность понятий полноты и замкнутости ортонормирование* системы в гильбертовом пространстве (388).
§ 4. Вполне непрерывные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве........................... 392
1. Понятие линейного непрерывного оператора (392). 2. Понятие сопряженного оператора (394). 3. Понятие вполне непрерывного оператора (397). 4. Существование собственных Значений у линейного вполне непрерывного самосопряженного оператора (399).
5. Основные свойства собственных значений и собственных элементов линейного вподне непрерывного самосопряженного оператора (403).
Глава 12. Основы теории кривых и поверхностей............ 406.
§ 1. Векторные функции.....,.................... 406
1. Понятие векторной функции (406). 2. Предельное значение векторной функции. Непрерывность (407). 3. Производная векторной функции (408). 4. Дифференцируемость векторной функции (411). о. Формула Тейлора для векторной функции (412).
6. Интегралы от векторных функций (413). —
Цена: 150руб.
