ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ. ;
. ,,.; ГЛАВА г. ;.^
Основные понятия и. положения высшей алгебры. •
§ 1. Задача высшей алгебры................... *М
§ 2. Формулы Маклорена и Тэйлора для целых рациональных j
функций.......................... 91
§ 3. Разложение целой рациональной функции на множители . . 12 J
§ 4. Кратные корни уравнения................. 153
§ 5. Вопрос о числе корней уравнения.............. 17.3
' ' ' • • " ;{
ГЛАВА II. ' • . f
Е
Комплексные числа. |
§ 1. Вектор на плоскости и комплексное число........ 18]
§ 2. Комплексное число как отношение двух векторов на пло- 1
" скости.......................... 211
§ 3- Сложение векторов.................... 221
§ 4. Сложение комплексных чисел............... 23. {
§ 5. Вычитание комплексных чисел............... 24],
§ 6. Умножение комплексных чисел.............. 25-jj
§ 7. Деление комплексных чисел................ 28л
§ 8. Мнимая единица. Алгебраическая форма комплексного числа 291
§ 9. Тригонометрическая форма комплексных чисел...... 31Я
§ 10. Извлечение корня..................... 31 л
§ 11. Приятие предела для комплексного переменного..... 35JJ
§ 12. Комплексная величина к<ж показательная функция ампли- |1
туды. Формула Эйлера.................. 35|1
Упражнения........................ 40| I
ГЛАВА Ш. Я
Основное предложение высшей алгебры. \
• ' II
§ 1. Целый многочлен как функция комплексного переменного ЩШ
§ 2. Основное предложение высшей алгебры . . . . . . . -. . 4SJ
§ 3. Уравнение с действительными коэффициентами. Сопряжён- I
ные корни.........•............... 4fl
§ 4. Соотношения между коэффициентами уравнения и его кор- ;|
нями........................... 4f|
§ 5. Общий вид разложения целого многочлена в произведение 4'1
Приближенное вычисление корней уравнения.
1. Отделение действительных корней уравнения. Теорема .Штурма.......................... 48
2. Определение верхней и нижней границ положительных (или отрицательных) корней уравнения............. 54
3. Графики целых рациональных функций — параболы высших порядков......................... 56
4. Приближённое вычисление корней уравнения ......... 60
пражнения....................... . 67
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ.
ВТОРАЯ ЧАСТЬ.
ГЛАВА I.
Интегрирование рациональных функций.
1. Интегрирование элементарных дробей........... 68
2. Разложение рациональной дроби на простейшие и интегрирование её (случай действительных корней знаменателя) .....:..................... 69
3. Разложение рациональной дроби и интегрирование её в случае мнимых корней знаменателя.............. 79
4. Соотношение между круговыми функциями и логарифмом. Формула Эйлера . . .............•....... 88
5. Метод ОстроградскогО' интегрирования рациональных функций; выделение алгебраической части интеграла от рациональной дроби....................... 89
[I р а ж н е и и я........................ 93 .
ГЛАВА п. Интегрирование иррациональных функций.
1. Иррациональные функции................. 95
I. Интегрирование выражений, содержащих рациональные степени линейной дроби ................... 96
3. Интеграл двучленного дифференциала........... 98
1. Интегрирование выражений, содержащих корень из квадратного трёхчлена..................... 102
пражнения........................ 109
ГЛАВА III.
t Интегрирование трансцендентных функций.
1. Интегрирование функций, содержащих трансцендентный множитель с алгебраической производной ......... 110
2. Интегрирование функций с трансцендентным множителем «"*,
sin ах нписо$ах........................111
3. Интегрирование выражений, зависящих рационально от показательной функции fR(e*)dx............... 113
§ 4. Интегралы выражений, зависящих рационально от тригонометрических функций f/?(sin*, cos*, tg.r. ,.)dx. Интз-
_грирование помощью подстановки............ Н<
§ 5. Формулы приведения для интеграла \ sinmJr cos»* dx. . . П
§ 6. разложение степеней sin"* и cos"».* по синусам и косинусам
кратных дуг........................ 11!
§ 7. Интегралы вида f eax cos Ьх dx, \ e<** sin Ьх dx.....,. • 121
§ 8. Интегралы вида \ х" е"х cos Ьх dx, \ х" *°* sin bx dx . . 12
§ 9. Некоторые замечательные определённые интегралы . . . .• 12i
Упражнения......................... 121
ГЛАВА IV. "
Функции нескольких переменных. Частные производные.
§ 1. Функции нескольких переменных............. 13
§ 2. Непрерывность функций нескольких переменных..... 13
§ 3. Частные производные................... 13
§ 4. Частные дифференциалы. Полный дифференциал...... 14
§ 5. Дифференцирование сложной функции.......... 14'
§ 6." Дифференцирование неявной функции........,• • • 15
§ 7. Теорема о существовании неявной функции....... . 15:
§ 8. Геометрическое значение частных производных и полного
дифференциала функции двух независимых переменных . . 15 § 9. Уравнение касательной плоскости и нормаль к поверхности .......................... 15
§ 10. Высшие частные производные. Независимость результата дифференцирования от порядка многократного дифференцирования......................... Н
§ 11. Высшие частные и полные дифференциалы ........ К
§ 12. Теорема Эйлера об однородных функциях....... . II
Упражнения........................ К
ГЛАВА V.
Максимумы и минимумы функций нескольких переменных.
§ 1. Максимум и минимум функции двух независимых перемен- . ных. Изыскание тех значений аргумента, при которых функция может иметь максимум или минимум....... . . П
§ 2. Условия существования максимума или минимума функции
двух независимых переменных.............. . \'i
§ 3. Максимум и минимум функции многих переменных..... П
§4. Относительный максимум или минимум . . . . . . . . . . If
§ 5. Метод Лагранжа для решения вопроса об относительной
Максимуме или минимуме...........•. ........ -И
• ' Повторительные, вопросы............. . . 1|
• Упра,жне-ния ........... j . ^ ........ .". . И
Задачи интегрального исчисления для функций : нескольких переменных.
J 1. Нахождение первообразной функции по данной частной'
производной........................ 199
| 2. Интеграл функции, зависящей от параметра........ 201
| 3. Дифференцирование цод знаком интеграла. Правило ЛеЙб-
," ница . . . '....................... . 202
S 4. Интегрирование по параметру............... 211
|.5. Геометрическое значение двойного интеграла....... 216
| 6. Криволинейный интеграл.................. 218
J. 7. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегри-
, рования............... ..... . . . . . . 222
J 8. Интегрирование полного дифференциала......... 226
Товторительныевопросы............. . . 231
Упражнения........................ 232
ГЛАВА VII.
: Кратные интегралы.
? 1. Двойной интеграл..................... 233
| 2. Теорема о среднем значении............... 238
| 3. Вычисление двойного интеграла............. 239
5 4. Замена переменных. Функциональный детерминант .... 248
| 5. Замена переменных в двойном интеграле......... 250
| 6. Элемент площади в прямолинейных координатах..... 25&
| 7. Свойства функционального детерминанта......... 256
I 8. Переход от декартовых координат к полярным. Примеры
применения замены переменных в двукратном интеграле . 256
§ 9. Вычисление поверхности................. 261
S 10. Площадь поверхности в криволинейных координатах . . . 267 § 11. Поверхностный интеграл или интеграл, распространённый
на какую-либо определённую сторону поверхности..... 268
| 12. Многократные интегралы. Трёхкратный интеграл..... 271
§ 13. Замена переменных в трёхкратном интеграле....... 276
| 14. Вычисление объёмов................... 281
| 15. Центр тяжести. Теоремы Гюльдена............ 283
§ 16. Момент инерции..................... 288
Повторительные вопросы............... 290
Упражнения........................ 291
ГЛАВА VIII.
Соотношения между интегралами, распространёнными на область, ('•„. и интегралами, распространёнными на границу этой области.
| I. Формула Грина...................... 293
I 2. Формула Грина-Остроградского.............. 296
| 3. Теорема Грина...................... 300
| 4. Формула Стокса . . . . •................ 301
| 5. Понятие о векторном анализе........;...... 304
упражнения ....- «..............». ... 305
I
Основания теории рядов.
§ 1. Определение рядов. Их сходимость и расходимость .... 305
§ 2. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда . . . 307 § 3. Ряды с положительными членами. Признаки их сходимости,
вытекающие из сравнения рядов.............. 309
§ 4. Признаки сходимости, вытекающие из свойств общего члена ряда или группы таких членов............. 311
§ 5. Иные признаки сходимости ряда............. 317
§ 6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость 319
§ 7. Действия с рядами.................... 325
4 8. Ряды с комплексными членами............... 328
Повторительные вопросы............... 329
Упражнения........................ 330
ГЛАВА X.
Функциональные ряды.
§ 1 Ряды, члены которых зависят от переменного аргумента . 331
§ 2. Равномерная сходимость...... ;.......... 333
§ 3. Признак (Вейерштрасса) равномерной сходимости и некоторые свойства равномерно сходящихся рядов...... 335
§ 4. Интегрирование и дифференцирование рядов ....... 336
§ 5. Свойства степенных рядов................ 339
§ 6. Задача разложения функции в степенной ряд; аппроксимация'
функции целым многочленом..............• . 345
§ 7. Ряды Тэйлора и Маклорена...........? . . . . 349
§ 8. Разложение в ряд простейших функций.......... 350
§ 9. Косвенные приёмы разложения в степенной ряд некото-
f рых функций......•................ 355-
§ 10. Ряды Тэйлора и Маклорена для функций нескольких переменных ......................... 358
§ 11. Ряды Фурье.........•;............. 361
§ 12. Неопределённые выражения . . •............. 374
Упражнения.....................• . • 382
ГЛАВА XI.
Приложение анализа к геометрии.
§ 1. Касательная и нормаль к плоской кривой......... 384
§ 2. Отрезки касательной и нормали. Подкасательиая и поднормаль 386 § 3. Отрезки касательной к нормали в полярных координатах.
Полярные подкасательная и поднормаль.......... 387
§ 4. Асимптоты плоских кривых................ 390
§ 5. Особые точки плоских кривых.............. 399
§ 6. Прикосновение плоских кривых между собой ....... 409
•§ 7. Кривизна плоской кривой................. 416
§ 8. Радиус кривизны. Центр кривизны. Круг кривизны .... 419
§ 9. Эволюта кривой..................... 422
§ 10. Огибающая семейства кривых................ 436
; § 11. Касательная прямая к пространственной кривой. Нормальная плоскость....................... 432
7
§ 12. Соприкасающаяся плоскость. Главная нормаль и бинормаль 434
§ 13. Кривизна и кручение пространственной кривой ...... 43? л
§ 14. Системы поверхностей в пространстве.......... 4ift Л
Упражнения..................,..... 447
ГЛАВА ХП.
Дифференциальные уравнения.
§ 1. Общие понятия...... , 'f .,...,, *_, . . , . . 450
§ 2. Общий и частный интегралы дифференциального уравнения 451 § 3. Приближённое построение интегральных кривых уравнений
первого порядка................'.'."W"_-"456 "
§ 4. Разделение переменных. Однородные уравнения . . , , ~~ t- 4S>
§ 5. Линейные уравнения первого порядка.........., 462
§ 6. Дифференциальные уравнения 'первого порядка, приводящиеся к линейным уравнениям.............. 4J&
§ 7. Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка.......................„ * , , 475
§ 8. Второй способ нахождения особых решений......^ ,, 4f9
§ 9. О существовании решений дифференциальных уравнений
первого порядка.................'...,, 483
§ 10. Случаи нарушения единственности решения дифференциального уравнения первого порядка. Аналитическое обоснование существования особых решений.......... 489 '
§ 11. Общие свойства интегралов линейных дифференциальных
уравнений второго порядка..............., 4®
§ 12. Линейные однородные дифференциальные уравнения с по-
стояннмми коэффициентами................ 497
§ 13. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения
второго порядка..................... 500
§ 14. Линейные однородные уравнения «-го порядка...... 5QJ
§ 15. Линейные однородные уравнения я-го порядка с постоянными коэффициентами.................. . 505
§ 16. Уравнения Эйлера . •........... ,........ 509 :
§ 17. Неоднородные линейные уравнения //-го порядка . . .:. . 512
§ 18. Интегрирование уравнения при помощи рядов . . . . ...'<; 520 ,
Упражнения............. . . ... . . ... . 524 ,
Алфавитный указатель.................... 528
Цена: 300руб.
