П 63 Введение в теорию алгебраических чисел.— М.: Наука, 1982. —240 с. — 40 Y
Книга является введением ц теорию алгебраических чисел. Основные понятия п идеи этой тсо:>;ш изложены в ней г; свяли с теоремой Ферма. Читатель должен видеть, что их появление не случайно и диктуется логикой решения конкретной задачи.
Книга предназначена школьникам старших классов {в ее первых главах), студентам, учителям н всем любителям математики. Она может быть интересна it более кналпфпцпроз^нпым читателям, которые хотят познакомиться с теорией алгебраических чисел в ее классическом аспекте.
СОДЕРЖАНИЕ Предисловие........................ 3
История теоремы Ферма.................11
Ферма и его работы по теории чисел.— Теорема Ферма. —Прения Вольфскеля и «ферматисты».— Замечание Грюнерта. — Эйлер. Ламе, Куммер. — Теоремы Куммера. — Теорема Вандиаера, — Первый случай теоремы Ферма. —Жермен, Лежандр, Вендт.— Первый случай теоремы Ферма после Куммера.
§ L Теорема Жермен..................21
Предварительные замечания. — Лемма о произведении п-\ степеней. — Формулы !Абеля. — Сравнения. — Доказательство теоремы Жермен. — Следствия.
§ 2. Теорема Ферма для показателя 4..........39
Случай показателя 2. — Доказательство теоремы Ферма для показателя 4.
§ 3. Теорема Ферма для показателя 3..........34
Лемма Эйлера. — Вывод теоремы Ферма для показателя 3 из леммы Эйлера.
§ 4. Арифметика кольца D3...............38
Эйлерово «доказательство> леммы. — Обсуждение. — Кольцо Д> и поле К-,. — Норма. — Целые кольца.— Единицы колец.— Простые элементы. — Разложение на простые множители. — Арифметика в кольцах. — Кольца главных идеалов. —Евклидовы кольца. —Алгоритм деления в кольце DJ.— Доказательство леммы Эйлера. Приложение. Об арифметике многочленов .... 53
Неприводимые многочлены. — Неприводимые многочлены и многочлены меньшей степени.
§ 5. Поле Kt и кольцо Dt................54
Неприводимость многочлена деления круга. — Поле К[. — Его автоморфизмы. —Существование первообразных корней. — Норма,—Кольцо D[.— Сравнения в кольце D(.—Число К н его свойства.
§ G. Единицы кольца Dt.................71
Корни из единицы, содержащиеся в кольце Dt. — Вещественные единицы.— Замечание о первообразном корне g. — Формулы
3
обращения Фурье для сравнений по модулю Л — Базис кольца D^ по модулю i. — Куммеро:!:-,! числа. — Всп'->\(огтгедыше тождества.— Сие (нальн JJ единица.—'Уелоана К.—^"ijM.viJ Кумира.
§ 7. Перзый случай теоремы Фер.мэ...........8?
Встмогп гельноз угп-гр/кдение. — В:ла -,.д первого случая теоремы Фер\ы (М iiCiiOM'ir.ireii.4 >TJ утзер-кт.?н::ч. —Доказательство Нсаомогзгельмого yivf^bit т^ння в слуие, югдч в ючьце D, выполнена основная теорема арифметики.—'Теорема Ламе.
§ S. Теория дивизоров .................. 05
Ciioj од1'ые (соммутатчгип,1 ТС'ОПИЮ ДИЗПЗОРОМ.—ДпПЧЗОПМ В КОЛЬИЭХ С ОДНО JJI J4HM.VI pJ'i.'lv-
ж о пнем Ил мчож иго ли. — Класса дсвчз ">р'Ж. — Рогуля рные прг>-силе1 числа.—Д^кл.зл гелыгпю Вс.имогагсльного утверждения для регулярных простых чисел.
§ 9* Второй случай теоремы Ферма...........101
Предварительные замечания,—Доказательству г< оремы Ферма для регулярных показателей.
§ 10. Теория идеалов...................108
Пример!л идеалов.— Ид'-'я Дедек^ндл.-—Моноид идеалов.— Кольца, аддитивная группа которых язтя^тся решеткой. —Кольца.
алгебраически аклудмнасмыо и поле С. — Конечность шкла классов идеалов.—Д^лозамкнутые кольца. — Свойства идеалов. — Идеалы как днзпзоры.— Необходимость условия целозамкнутости.
§ И. Целые алгебраические числа ............ 124
Поле алгебраических чисел и кольцо цалых алгебраических чисел. — Поля конечной степени. — След. — Целошмкнутость кольца О?. —Дивизоры в произвольных полях алгебраических чисел.— Окончательное определение регулярных простых чисел.
§ 12. Куммеровы простые числа..............133
Куммеровы числа и пром.зпедсшю ft|fc7. — Предварительная формулировка критерия Куммера. — Числа п многочлены Бер-иулли.—Окончательная формулировка критерия Куммера. — Примеры.—Вещественные элементы кольца ^.—Отображение Л.— Формула для 2.L. — Отображение X. —Доказательство условия К- — Теорема Куммера.
§ J3. Свойства дивизоров.................160
Бводнь:е замечания.—Сравнения по модулю дивизора. — Дополнение дивизора до главного дивизора.— Норма дивизора, — Мультипликативность нормы. —Обобщенная лемма Гаусса.— Нормальные кольца. — Норма дивизора в нормальном кольце. — Спой-стоа простых дивизоров нормальных колец. — Разложение простых чисел в произведение дивизоров кольца D^.
§ 14. ^-функция поля KI и ее вычет при 5=1......176
^-функция Римзма. — ^-функция Дедекинда. — Функция H(s).— Пространство i?D[. — Преобразование области Гjx —Интеграл / fs). — Сравнение ряда Е (5) с интегралом / (5). — Обобще» ние, —Вычисление вычета ^-функции Деде кип да поля Л^.
4
§ 15. Формула Эйлера и L-рнды Дирихле.........202
Фор;, у и; Эил^р1!. — Проблема сходимости. — Преобразование • boo мулы Эйлера. — Характеры п /,-ряо.ы Дирихле. — Функция АН, '/) >Фи /:^"/о'"с^°РмУла Для чисел L(\, %). — Преобразование' ">той формулы. — Теорема о неравенстве чисел L{1, yj и У" ;[Hli — ' Окончательные формулы для 4HCCvT L (1, х). — Доказательство формулы Куммера.
ДОБАВЛЕНИЕ. Теорема Дирлхле о простых числах в арифметических прогрессиях ............... 220
Идея доказательства. — Характеры по произвольному мо-тулю. —Число характеров. —Редукция теоремы Дирихлэ к а> просу о числах L (I, %). — Ряды Дирихле ц их области сходимости. — Аналитическое продолжение функции Рпмана. — Функция Р(s). —Завершение доказательства теоремы Дирихле.
Цена: 150руб.
