Сборник содержит задачи и упражнения по специальным курсам математики: теории вероятностей, математической статистике, элементам теории случайных процессов, методам оптимизации, уравнениям математической физики и интегральным уравнениям. Он составлен в соответствии с программами этих курсов, утвержденными Минвузом СССР. Во всех разделах приводятся необходимые теоретические сведения. Все задачи снабжены ответами, а наиболее сложные— решениями. Решение части задач предполагает использование ЭВМ.
Для студентов второго и более старших курсов инженерщ>-техч нпческих специальностей вузов.
ОГЛАВЛЕНИЙ
Предисловие ............................ ?
Глава 14. Теория вероятностей ................ •'
§ 1. Случайные события...................... 9
1. Понятие случайного события (9). 2. Алгебраические операции над событиями (13). 3. Аксиоматическое опре« деление вероятности события (20). 4. Классическая веро* ятностиая схема —схема урн (23). 5. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме (24). 6. Геометрические вероятности (36). 7. Условные вероятности. Независимость событий (39). 8. Вероятности слож-ных событий (48). 9. Формула полной вероятности (55). 10. Формула Байеса (59).
§ 2. Случайные величины..................... 64
1. Законы распределения и числовые характеристики слу< чайных величин (64). 2. Примеры классических распреде* лений (74). 3. Распределения, связанные с повторными независимыми испытаниями (79). 4. Распределение Пуас« сона (86). 5. Нормальный закон распределения (88).
§ 3. Случайные векторы...................... 90
1. Законы распределения и числовые характеристики слу. чайных векторов (90). 2. Нормальный закон на плоскости (101).
§ 4. Функции случайных величин ,................ 105
1. Числовые характеристики функций случайных величин (105). 2. Характеристические функции случайных величин (111). 3. Законы распределения функций случайных величин (114). 4. Задачи композиции (120).
§ 5. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей ........... ? . . , , »,,,,, , ,,.... 123
1. Закон больших чисел (123). 2, Предельные Теоремы теории вероятностей (126). 8. Метод статистических испытаний (131).
§ 6. Случайные функции (корреляционная теория)........ 134
1. Законы распределения Н осредненные характеристики случайных функций (134), 2. -Дифференцирование и интегрирование случайных функций (147). 3. Стационарные случайные функции (151). 4. Спектральное разложение 1*
стационарных случайных функций (160). 5. Преобразование стационарных случайных функций линейными динамическими системами с постоянными коэффициентами (166). ОТВЕТЫ................................... 171
Глава 15. Математическая статистика............. 202
§ 1. Методы статистического описания результатов наблюдешш 202 1. Выборка и способы ее записи (202). 2, Графическое представление выборки (205). 3. Числовые оценки параметров распределения (209). 4. Статистическое описание и вычисление оценок параметров распределения двумерного случайного вектора (220). 5. Предварительная обработка результатов наблюдений с использованием ЭВМ (233).
§ 2, Статистические оценки параметров распределения..... 235
1. Распределение статистик и распределение выборки (235). '2. Основные свойства статистических оценок параметров распределения (242). 3. Метод максимального правдоподобия (244). 4. Метод моментов (247).
§ 3. Интервальные оценки..................... 248
1. Доверительные интервалы и вероятность. Доверительные интервалы для параметров нормально распределенной генеральной совокупности (248). 2. Доверительные интервалы для параметра р биномиального распределения (255). 3. Доверительные интервалы для параметра А, распределения Пуассона (258), 4. Доверительные интервалы для коэффициента корреляции р (259). .
§ 4. Проверка статистических гипотез .......'....... 260
1. Основные понятия (260). 2. Проверка гипотез о параметрах нормально распределенной генеральной совокупности (270). 3. Проверка гипотез о' параметре р биномиального распределения (281). 4. Проверка гипотез о коэффициенте корреляции р (285). 5. Определение наилучшей критической области для проверки простых гипотез (287).
§ 5. Однофакторный дисперсионный анализ........... 290
$ 6. Критерий /а и его применение . . . <........... 297
1. Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности (297). 2. Проверка гипотезы о независимости двух случайных величин (303). 3. Проверка гипотезы о равенстве параметров двух биномиальных распределений (307).
§ 7. Метод наименьших квадратов и элементы линейного регрессионного анализа....................... 309
1. Ёычисление оценок параметров линейной модели (309).
2. Статистический анализ оценок линейной модели, вычисляемых по методу наименьших Квадратов (313). 3. Использование ортогональных систем функций (326). 4. Проверка согласованности модели с результатами наблюдений (330). 5. Некоторые нелинейные задачи, сводящиеся к линейным моделям (334). 6. Множественная линейная регрессия (случай двух независимых переменных) (337). 7. Вычисление и статистический анализ оценок параметров линейной
модели при коррелированных и неравноточных наблюдениях (341).
я 8. Непараметрические методы математической статистики . . . 344 I. Основные понятия. Критерий знаков (344). 2. Критерий Вилкоксона, Манна и Уитни (348). 3. Критерий для проверки гипотезы Нй о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей (354), 4. Критерий серий (356)1 5. Ранговая корреляция (359).
ОТВЕТЫ................................... 362
Глава 16. Методы оптимизации................. 390
$ 1. Численные методы определения экстремальных значений
функции ............................ 390
1. Метод «золотого сечения» (390). 2. Метод касательных (394). 3. Выпуклые множества (396). 4. Метод наискорейшего спуска (396). 5. Метод Ньютона (399).
§ 2. Линейное и нелинейное программирование ......... 402
1. Задачи линейного программирования (402). 2. Решение задач линейного программирования симплекс-методом (403). 3. Численные методы решения задач нелинейного программирования (411).
S3. Вариационное исчисление................... 419
1. Предварительные сведения. Простейшие задачи (419).
2. Вариационные задачи на условный экстремум. Функция Лагранжа (426). 3. Задачи оптимального управления (432). 4. Прямые методы вариационного исчисления (439).
§ 4. Дискретное динамическое программирование........ 442
1. Основные понятия (442). 2. Задачи экономического характера (444).
ОТВЕТЫ................................... 447
Глава 17. Уравнения в частных производных......... 4)0
§ 1. Основные задачи и уравнения математической физики . . . 460 1. Вывод уравнений и постановка задач математической физики (460). 2. Приведение уравнений к каноническому виду (463).
§ 2. Аналитические методы решения уравнений математической
физики............................. 465
1. .Метод Даламбера (466). 2 Гильбертовы пространства. Ортогональные системы (469). 3. Ортогональные ряды (474). 4. Метод Фурье решения уравнений математической физики (476).
§ 3. Приближенные методы решения дифференциальных уравнении в частных производных .............', . . . 490
1. Основные понятия метода сеток (490). 2. Счетная устойчивость (499). 3. Метод прогонки (501). 4. Численное решение краевых задач (502).
ОТВЕТЫ .
Глава 18. Интегральные уравнения............... 540
§ 1. Интегральные уравнения Вольтерра............. 540
1. Уравнения Вольтерра 2-го рода: основные понятия, связь с дифференциальными уравнениями (540). 2. Метод последовательных приближений. Решение с помощью резольвенты (545). 3. Уравнения Вольтерра 2-го рода типа свертки (550), 4. Уравнения Вольтерра 1-го рода (553).
§ 2. Интегральные уравнения Фредгольма............ 558
1. Основные понятия. Метод последовательных приближений и резольвента для уравнений Фредгольма 2-го рода (558). 2. Решения уравнений Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром (563). 3. Характеристические числа и собственные функции. Теоремы Фредгольма (567). 4. Ура-, внения Фредгольма 2-го рода с симметричным ядром (573).
ОТВЕТЫ................................... 579
Приложения ..........................., 584
Основная использованная литература .............. 606
ПРЕДИСЛОВИЕ
Третья часть «Сборника задач по математике для втузов. Специальные курсы» включает задачи по разделам: теория вероятностей, математическая статистика, методы оптимизации, методы Фурье и Даламбера решения уравнений математической физики, а также интегральные уравнения. Предлагаемый материал отражает содержание соответствующих специальных курсов из утвержденной в мае 1979 г. программы по курсу высшей математики для инженерно-технических специальностей вузов, рассчитанной на 510 часов.
Как и в первых двух частях, каждый параграф начинается с краткого теоретического введения. Задачам, предлагаемым для самостоятельного решения, предшествуют подробно разобранные примеры. Ко всем вычислительным задачам даны ответы; для задач, отмеченных одной или двумя звездочками, приведены соответственно указания к решению или решения. При составлении настоящего сборника задач авторы руководствовались той идеей, что глубокое изучение таких разделов, как математическая статистика, методы оптимизации и метод сеток решения задач математической физики, на современном этапе невозможно без использования различных ЭВМ. Поэтому большое место в сборнике уделяется задачам, требующим в процессе решения использования ЭВМ.
Как и в предыдущих частях, начало решений разобранных примеров отмечается знаком •*, конец решения — знаком ^-, начало указаний к задачам — знаком •.
Цена: 300руб.
