В учебном пособии, в основе которого лежит курс лекций читаемый автором на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ, излагаются основные понятия и факты теории конечномерных пространств, действующих на них линейных отображений и билинейных форм. Рассмотрены свойства линейных отображений в евклидовых, унитарных и нормированных пространствах элементы тензорной алгебры. Значительное внимание уделено основам теории выпуклых множеств в конечномерных пространствах включая их топологическую классификацию. Изложение доступное, сопровождается большим количеством примеров как теоретического, так и прикладного характера.
Для студентов вузов, обучающихся по специальности «Прикладная математика».
Библиогр. 20 назв. Ил. 118.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............... 6
Глава I. Линейные пространства......... 8
; § 1. Структура линейных пространств: внешний закон композиции, определение линейного, пространства, простейшие свойства, произведение линейных пространств . 8^
§ 2. Линейные подпространства: определение линейного подпространства, простейшие свойства, линейная оболочка ..............И
§ 3. Линейная зависимость: линейная зависимость системы векторов, базис, размерность, линейное пространство цветов, линейные пространства атомных и молекулярных составляющих, эквивалентные системы векторов 14
§ 4. Изоморфизм линейных пространств......25
§ 5. Сумма линейных подпространств: размерность суммы и пересечения, прямая сумма линейных подпространств, дополнительное подпространство, фактор-пространство 27
§ 6. Линейные аффинные многообразия: параллельные линейные аффинные многообразия, аффинная оболочка, аффинная зависимость.......... 32
§ 7. Замена базиса: формулы перехода, ориентация вещественного пространства......... . 36
Глава II. Евклидовы и унитарные пространства . v ... 39
§ 1. Евклидовы пространства: определение и простейшие свойства, длина и угол, ортогональные- векторы, матрица Грама, изометрия евклидовых пространств, ортогональное дополнение, расстояние между множествами . 39
§ 2. Унитарные пространства.........50
Глава III. Линейные отображения ......... 54
§ 1. Основные понятия: определение линейного отображения, образ линейного отображения, ядро линейного отображения, теорема о ранге* и дефекте линейного отображения............54
§ 2. Операции над линейными отображениями: линейное пространство линейных отображений, кольцо линейных операторов, ранг произведения линейных отображений 57
§ 3. Линейные отображения и матрицы: матрица линейного . отображения, размерность пространства линейных отображений, преобразование матрицы линейного отображения при переходе к новым базисам, эквивалентные матрицы, каноническая пара базисов, матрица линейного оператора ~ . . ;........62
§ 4. Инвариантные подпространства: определение и приме-• ры, собственные векторы и собственные значения, ха-• рактеристический многочлен, способ построения собственного вектора, собственное подпространство, инвариантные подпростраиства минимальной размерности в-комплексном и вещественном пространствах ... 71
§ 5. Канонический вид матрицы линейного оператора: многочлен от линейного оператора, теорема Гамильтона—
Э
Кэли, расщепление линейного оператора, треугольный вид матрицы линейного оператора в комплексном пространстве, нильпотентный оператор, жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора ... 79
Глава IV. Билинейные и квадратичные формы......92
§ 1. Билинейные формы......... . 92
§ 2. Квадратичные формы . .........95
§ 3. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов;
• метод Лагранжа, метод Якоби. .......96
§ 4. Квадратичные ~ формы в вещественном пространстве: " знакоопреДеленные квадратичные формы, закон инерции ............... 100
§ 5. Полуторалнцейные и эрмитовы формы: полуторалиней-
ные формы, эрмитовы формы . . . . . . . 106
Глава V. Линейные отображения унитарных пространств . . lit
§ 1. Операция • сопряжения: сопряженное отображение, свойства операции • сопряжения, матрицы взаимно сопряженных отображений, ядра и образы взаимно сопряженных отображений, нормальный оператор, унитарный оператор, эрмитов оператор, положительный оператор, корень из оператора, сингулярная пара базисов . 111
§ 2. Разложения линейного оператора: эрмитово разложение, полярное разложение ........ 125
§ 3. Линейные отображения в евклидовом пространстве: операция сопряжения в евклидовом пространстве, симметричный оператор, ортогональное преобразование, простейший вид матрицы ортогонального преобразования, разложения линейного оператора в евклидовом пространстве.............127
§ 4. Квадратичные формы в евклидовом пространстве: билинейная форма в евклидовом лространстве, приведение квадратичной формы к главным осям .... 135
§ 5. Гиперповерхности второго порядка в евклидовом точечном пространстве: точечные пространства, приведенные уравнения гиперповерхностей второго порядка, классификация гиперповерхностей .второго порядка в точечном евклидовом пространстве ' . . . . . . 137
Глава VI. Нормированные пространства . .......144
§ I. Норма вектера: определение и примеры, шар и сфера в конечномерном нормированном пространстве, эквивалентные нормы........... 144
§ 2. Норма линейного отображения: согласованные и подчиненные нормы, спектральная норма, евклидова норма матрицы, экстремальные свойства собственных значений самосопряженного оператора......... 148
§ 3. Линейные операторные уравнения в унитарном пространстве: условия разрешимости линейных уравнений, нормальное решение, псевдорешение, нормальное псевдорешение, квазирешение . . .......154
§ 4. Метод регуляризации отыскания нормального решения: понятие корректно и некорректно поставленных задач, сглаживающий функционал, теорема Тихонова . . . 160
Глава VII. Выпуклые множества.......... . , 166
§ 1. Определение и простейшие свойства......166
§ 2. Операции над выпуклыми множествами . . . . 168 § 3. Выпуклая оболочка множества ....... 1/1
§ 4. Три теоремы о выпуклых множествах: теорема Радона, теорема Каратеодори, теорема Хелли . . . . 174
§ 5. Выпуклые многогранники......... 1°"
§ 6. Выпуклые конусы: определейие и примеры, коническая
оболочка множества, многогранный конус .... 184
§ 7. Выпуклые множества в точечных пространствах . . 190
§ 8. Симметризация........... 192
Глава VIII. Элементы тензорной алгебры.......197
§ 1. Понятие тензора: примеры, определение тензора, алгебраические операции над тензорами, примеры тензоров (физические и механические) .......197
§ 2. Метрический тензор: метрическая* структура пространства, операции опускания и поднятия индексов, псевдоевклидова метрика, преобразования Лоренца . . 208 Приложение. Опорный материал: матрицы, определители, линейные системы, принцип индукции, эквивалентность, отображения, группы, кольца, поля, многочлены, основная теорема алгебры.............. 213
Д о б а в лен ие. Выпуклые множества: топологическая структура, дифференциальные свойства, неравенства ..... 242
Введение..................242
A. Элементы топологии: топология точечного евклидова пространства, топологическое пространство, подпространство, непрерывное отображение, топологическое произведение, связность, линейная связность, компактность ........... ... 243
Б. Выпуклые множества: простейшие выпуклые множества, замыкание и внутренность выпуклого множества, звездность выпуклого множества, звездность и теорема Хелли, выпуклая оболочка компактного множества, выпуклое тело, размерность выпуклого Множества, опорные плоскости, выпуклый конус и сферическая выпуклость, два способа задания выпуклых тел . . 260
B. Топологическая структура: формулировка задачи I, предельный конус, классификация замкнутых и открытых" выпуклых множеств (гомеоморфизм границы, ограниченные выпуклые множества, неограниченные выпуклые множества), ответ к задаче I......276
Г, Дифференциальные свойства: формулировка задачи II, выпуклая гиперповерхность, локальное задание, свойства выпуклой гиперповерхности, выпуклые кривые, множество меры нуль, гладкость, ответ к задаче II . 283
Д. Некоторые классические неравенства: радиус Юнга, объем выпуклого тела, неравенство Брунна—Минков-ского, неравенство Бибербаха, экстремальные эллипсоиды.............. 293
Литература . . ............... 307
Предметный указатель . .............308
Именной указатель...............311
Цена: 300руб.
