к о л ь с к и и. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973 г.
Учебник для студентов вузов физической и механико-математической специальностей с добавлениями, учитывающими интересы математической физики. Написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом институте.
Второй том содержит кратные интегралы, теорию поля, ряды Фурье и интеграл Фурье, дифференцируемые многообразия, дифференциальные формы и интеграл Лебега.
Илл. 49.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 12 Кратные интегралы
§ 12.1. Введение........................... 7
§ 12.2. Квадрируемые по Жордану множества........... 9
§ 12.3. Важные примеры квадрируемых по Жордану множеств 16 § 12.4. Еще один критерий измеримости множества. Полярные
координаты................,......... 17
§ 12.5. Измеримые по Жордану трехмерные и n-мерные множества 18
§ 12-6. Понятие кратного интеграла ................ 22
§ 12.7. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Основная теорема 25 § 12.8. Интегрируемость непрерывной функции на замкнутом
измеримом множестве. Другие критерии.......... 30
§ 12.9. Множество лебеговой меры нуль.............. 32
§ 12.10. Доказательство теоремы Лебега. Интегрируемость и ограниченность функции............,........ 33
§ 12.11. Свойства кратных интегралов............... 35
§ 12.12. Сведение кратного интеграла к интегралам по отдельным
переменным........~.................. 38
§ 12.13. Непрерывность интеграла по параметру.......... 44
§ 12.14. Геометрическая интерпретация знака определителя ... 47 § 12.15. Замена переменных в кратном интеграле. Простейший
случай............................. 49
§ 12.16. Замена переменных в кратном интеграле......... 50
§ 12.17. Доказательство леммы 1 § 12.16.............. 53
§ 12.18. Полярные координаты в плоскости............. 56
§ 12.19. Полярные координаты в пространстве........... 58
§ 12.20. Общие свойства непрерывных операций.......... 59
§ 12.21. Дополнение к теореме о замене переменных в кратном
интеграле.......................... 61
§ 12.22. Несобственный интеграл с особенностями вдоЛь границы
области. Замена переменных................ 62
§ 12.23. Площадь поверхности........., . »........ 64
1*
I л .ч о а 13 -
Теория ноля. Дифференцирование к интегрирование по параметру. Несобственные нитегра.ш •
§ i.X!.. Криволинейный интеграл первого рода ..,.,..., 7!
§ 1Й.2. Криволинейный интеграл второго рода ,,.,..,,. 7И
4 1,Х.':>. Поле потенциала .'....,........;,.....,.. 74
§ 13.4. Ориентация плоской области . . , , ,.........., 81
§ J3.5, Формула Грина- Выражение плота ад через криволнисл-
ный интеграл.......,.,.,.,,........, . 82
. ? 13.6. Интеграл по поверхности первого рода ..,,..,.,, S5
§ 13.7. Ориентация поверхностей.................. S7
$ 13.8. Интеграл по ориентированной плоской области , . . , , 90
§ 13.9. Погок вектора через ориентированную поверхность ... 93
S 13.10. Дивергенция, Теорема Гаусса — Остроградского..... 90
§ !3,11, Ротор вектора. Формула Стокса........•. , . , . . 10'.?
$ 13.12. Дифференцирование интеграла по параметру....... 106
§ 13.13. Несобственный интеграл ,,....,,.....,.,,,.. = . !08
§ K.IJ4, Равномерная сходимость несобственного интеграла .... 115 $ К), 15. Равномерно сходящийся интеграл для неограниченной
области .-.,...,........ . « ,.....,,..,., 121
J 13.16.. Равномерно сходящийся интеграл с .переменной особой
точкой ,,»,,,.............., v ....... 125
Глава 14
Линейные нормированные пространства. Ортогональные системы
§ 14,1. Пространство "С непрерывных функций .......... . 132
§ 14.2. Пространства L', 1'р и 1р..............., . . 134
§ 14.3. Пространство Ц (?j)...................... 138
§ 14.4. Приближение финитными функциями............ 140
§ 14.5. Сведения из теории линейных множеств и линейных нормированных пространств................... 146
§ 14.6. Ортогональная система в пространстве со скалярным произведением........................... 153
§ 14.7. Ортогонализация системы................... 164
§ 14.8. Свойства пространств Ц(й) и Lt (И)............ 167
J 14.9. Полнота системы функций в С, Ц и L' (Lt, L) ....... 169
Г л а в а 15 Ряды Фурье. Приближение функций полиномами
$ 15.1- Предварительные сведения.................. 171
§ 15.2. Сумма Дирихле . ,....................... 177
^ i-i.5- Критерии сходимости |1ядов Фурье. Полнота трмгомомст-
рмческой систслы функций............... . . , 1ЙО
\ч j.'i.G. Комплексна: (}ч>рма записи ряда Фурм.......... I'M."
$ !Л.7. Цнффсрснцмрояание к ннтсгрировянне рядов Фурье .... Н)5
> i.'i.H. (Опенки остатка ряда Фу-рье ..,.,...,......,.. !')Я
s 1Л.9. Яиленпе Гиббса......., . ,.............. |1V)
j I.'I.HJ. Сумма Фейера...............,..'..«,«,. 203
J 15.11. Сведонпи из теории многомерных рядов Фуры.'...... 205
^ 15.12. Алгебраические многочлены, Многочлены Чеоышгва , , , 'ЛЬ
* !Л П. Теорема BciiepuiTpacca ,.',.,,,..........'. . , 217
;• j.'i.ii. Многочлены Лежзидра ...>.•.........».»',,. 218
• Глава 16 Интеграл Фурье. Обобщенные функции
;> ',(•'••.'•. riiniriiiic интеграла Фури?..........,,..,<«. Г21
•s i'i.:.!. JioM.vi,1! об изменении порядка интегрнрмвани:) ...... -'2> :
ч; i;.i.,i, С.ходнмость простого ннгеграла Фурье к Ш)|Х)ждаю1Дей
егоф\ нкции.......................... 225
§ К).-1. Преобразования Фурье, Повторный интеграл Фурье. .,
Косинус ъ синус преобразования Фурье......... 227
§ Ш.5. Производная и преобразование Фурье ........... 230
S 16.6. Просгранств o.S......................... 231
§ ШЛО. Теорема Планшереля. Оценка сходимости'простого интеграла .........-..................... 257
$ 16.11. Обобщенные периодические функции............ . 262
Г л а в а 17
Дифференцируемые многообразия и дифференциальные формы
§ 17.1. Дифференцируемые многообразия............. 268
§ 17.2. Край дифференцируемого многообразия и его ориентация 278
§ 17,3. Дифференциальные формы.................. 288
§ 17.4. Формула Стокса........................ 298
Дополнительные сведения
§ 18.1. Обобщенное неравенство Минковского . ,......... 304
§ 18.2. Усреднение функции по Соболеву.............. 306
§ 18.3. Свертка............................. 310
§ 18.4. Разбиение единицы...................... 313
Глава 19 Интеграл Лебега
§ 19.1. Мера Лебега.......................... 316
§ 19.2. Измеримые функции...................... 326
§ 19.3. Интеграл Лебега....................... 333
§ 19.4. Интеграл Лебега на неограниченном множестве...... 364
§ 19.5. Обобщенная производная до Соболеву........... 368
§ 19.6. Пространство обобщенных функций D'........... 380
§ 19.7. Неполнота просгранства L-'p.................. 383
§ 19.8. Продолжение функции. Теорема Вейерштрасса...... 385
Предметный указатель......................... 389
Цена: 150руб.
