Э59 Векторное построение стереометрии. Мн., «Нар. асвета», 1974.
128 с. с илл. \
Книга знакомит учителей с современным построением геометрии на основ! идеи векторного пространства. Она может служить пособием для факультативны: занятий,, а также для учащихся, занимающихся в классах с углубленным изуче ннем математики.
ОТ АВТОРОВ
Традиционный, школьный, путь построения геометрии, идущий от Евклида (III в. до. н. э.) и доведенный до логического совершенства Д. Гильбертом (1899), не является ни единственно возможным, ни наиболее рациональным. Более того, этот путь препятствует проникновению в геометрию современных идей (множества, отображения, вектора) и приводит к изоляции геометрии от других разделов математики.
Естественно, что с введением новых программ широко обсуждаются возможности реализации в школьном обучении одного из современных построений геометрии. При этом в центре- внимания находится «векторный» путь построения геометрии, предложенный в 1918 г. известным немецким математиком Германом Вейлем.
Представление евклидова пространства как частного случая векторного пространства имеет большую общеобра-I зевательную ценность.
' Понятие векторного пространства играет первостепенную роль как в самой математике, так и в многочисленных ее приложениях (в современной алгебре, геометрии, теории функций, теории вероятностей, в теоретической физике, механике, в математической экономике, биологии, лингвистике и др.). Вообще трудно назвать какую-либо область науки, в которой при математическом описании изучаемых явлений не использовалось бы понятие векторного пространства.
Совершенно очевидно, что с векторным построением геометрии нужно ознакомить прежде всего учителя, изучавшего в школе и в вузе только евклидово-гильбертовское построение геометрии (в новых программах для педагогических институтов такое ознакомление будущих учителей уже предусмотрено). Однако в имеющейся литературе* показано
* См., например, В. Г. Болтянский, И. М. Я г л ом. Геометрия в старших классах средней школы. «Математика в школе», 1969, № 4. - '
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
От авторов....................... 3
Введение......................... 5
Глава 1. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.
§ 1. Аксиомы связи................х- . 13
§ 2. Сложение двух векторов............/. . 15
§ 3. Свойства сложения векторов............. 17
§ 4. Сумма нескольких векторов............. 19
§ 5. Вычитание векторов................. 21
<• § 6. Аксиомы умножения вектора на число........ 23
§ 7. Свойства умножения вектора на число........ 26
§ 8. Векторное пространство............... 28
§ 9. Аксиома размерности................ 29
Глава 2. ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ И ИХ СВОЙСТВА.
§ 10. Прямая...................... 33
§ 11. Плоскость..................... 37
§ 12. Задание плоскости тремя точками.......... 39
§ 13. Разложение вектора, принадлежащего плоскости, по
двум линейно независимым векторам........ 41
§ 14. Другие способы задания плоскости.......... 43
§ 15. Применение векторной алгебры к решению некоторых
задач....................... 46
§ 16. Скрещивающиеся прямые.............. 50 -
§ 17. Классификация взаимных расположений двух прямых 52
§ 18. Пересекающиеся плоскости............. 54
Глава 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ.
§ 19. Существование параллельных прямых........ 56
§ 20. Признак параллельности двух прямых........ 57
§ 21. Свойства отношения параллельности прямых..... 59
§ 22. Определение и существование параллельных прямой и
плоскости..................... 63
§ 23. Признак параллельности прямой'и плоскости .... 64
§ 24. Свойства отиошения параллельности прямой и плоскости 65 § 25. Классификация взаимных расположений прямой и пло- '
скости ...................... 67
§ 26. Параллельность плоскостей............. 69
§ 27. Классификация взаимных расположений двух плоскостей........................ 72
Глава 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ.
§ 28. Скалярное произведение двух векторов........ 74
§ 29. Перпендикулярность прямых ............ 77
§ 30. Перпендикулярность прямой и плоскости ....... 78
§ 31. Признак перпендикулярности прямой и плоскости ... 80 § 32. Единственность перпендикуляра к данной плоскости,
проходящего через данную точку.......... —
§ 33. Перпендикулярность прямых, расположенных в одной
плоскости..................... 81
§ 34. Построения..................... 83
§ 35. Связь между параллельностью и перпендикулярностью
прямых и плоскостей ................. 86
§ 36. Ортогональное проектирование на плоскость..... 87
§ 37. Теоремы о трех перпендикулярах.......... 88
§ 38. Перпендикулярность двух плоскостей........ 89
Глава 5. РАССТОЯНИЕ.
§ 39. Расстояние между двумя точками.......... 93
§ 40. Расстояние от точки до плоскости и от точки до прямой .....................' . . 96
§ 41. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми 99
Упражнения...........•........... 101
Ответы. Указания. Решения.................. 115
Приложение ..............-....'....... 122
Цена: 100руб.
