Предисловие. . . . ••..........~ • • • • • • ' • • •' • • 7
ЧАСТЬ!
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
"лава I. Элементарная теория обобщенных функций...... 9
§ 1. Задача о расширении совокупности обычных функций .... 9
§ 2. Основные функции одного переменного.......... . '12
§ 3. Обобщенные функции одного переменного.......... 15
1. Определение и примеры обобщенных функций (15>. 2. Обычные функции, как обобщенные (17). 3. Дальнейшие примеры сингулярных обобщенных функций (18). 4. Обобщенные функции в комплексном пространстве (20). Задачи (21).
§ 4. Действия с обобщенными функциями одного переменного . . 23 1. Сложение и умножение на число и функцию (23). 2. Дифференцирование (23). 3, Примеры (24). Задачи' (27).
§ 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения........ 28
1. Уравнение у' = 0 (28). 2. Система у' = Ау (30). 3. Существование пёрвеобразной (31). 4. Система у' — Ау = / .(32). . 5. Решения, равные нулю на полуоси (33). 6. Граничная задача (34). 7. Фундаментальная функция дифференциального оператора (36). Задачи (37).
§ 6. Основные и обобщенные функции нескольких переменных . . 38 1. Определения (38). 2. Примеры (40). 3. Обобщенные функции в области (41). Задачи (42).
§ 7. Действия с обобщенными функциями нескольких переменных 43
1. Определения (43). 2. Примеры (43): /. Независимость высших производных от порядка дифференцирования (43).
2. Производные по С. Л. Соболеву (44). 3. Производные функции Q(xi,...,xn) (44). 4. Дифференцирование обобщенной функции /((со, х)) (44). 5. Функционал "порядка сингулярности (46). о. Производные кусочно-непрерывной функции (46). 7. Истолкование формулы Грина (47). 8. Оператор Лапласа и сферически симметричные функции (47). 9. Фундаментальная функция оператора Дм (49). 3. Однозначность восстановления обобщенной функции по ее первым производным (51). ,4. Обобщенная функция с непрерывными первыми производными (53). Задачи (56).
1 *
1ЛЛАВЛЕНИЕ
Глава II; Специальные вопросы теории обобщенных функций . .
§ 8. Локальные свойства и носитель обобщенной функции .... 1. Обобщенная функция, равная нулю в области (59). 2. Сохранение локальных свойств при дифференцировании (61). 3. Основная функция, равная I на заданном множестве и О вне~ его окрестности (62). 4. Разложение единицы (63). 5. Разложение основной функции (64). 6. Локальное равенство нулю обобщенной функции (64). Задачи (65). § 9. Предельный переход в пространстве обобщенных функций . . ( 1. Определение и простейшие свойства (66). 2. Дельта-образные последовательности (68). 3. Теорема о „полноте пространства К' (69). 4. Обобщенные функции, непрерывно зависящие от параметра (72). 5. Дифференцируемые функции параметра (74). 6. Аналитические функции параметра (75). 7. Функции аргумента (о>, х) и их интегрирование по ю (76). Задачи (79).
§ 10. Структура обобщенных функций • • t........... 7!
1. Формулировки результатов (79). 2. Лемма о порядке сингулярности обобщенной функции в ограниченной области (80).
3. Общий вид функционала в ограниченной области (81).
4. Общий вид функционала в пространстве К (83). 5. Общий вид финитного функционала (84). 6. Общий вид функционала, сосредоточенного в одной точке (85). 7. Вопрос о гладкости результата интегрирования функции от («, лг)(87). Задачи (89).
§ 11. Некоторые специальные обобщенные функции........ 92
1. Обобщенная функция х\ (92). 2. Обобщенная функция х\ (94). 3. Обобщенные функции \х\^ и \x\^sgnx (94).
4. Действия с обобщенными функциями х^ и прочими (96).
5. Обобщенная функция гк (98). 6. Разложение гк на плоские волны (100): Задачи (103).
§ 12. Свертка обобщенных функций................109
J. Свертка обычных функций (109). 2. Определение свертки . обобщенных функций (ПО). 3. Существование и основные свойства свертки функционала с основной функцией (112). 4. Свойства свертки обобщенных функций (114). 5. Выражение свертки обобщенных функций через свертки обычных функций (115). 6. Коммутативность свертки (118). 7. Носитель свертки (119). 8. Предел и производная свертки (120). 9. Обобщение на случай нескольких переменных (120). Задачи (122).
§ 13. Порядок сингулярности .-....'..............123
1. Порядок сингулярности s (/) (123). 2. Порядок сингулярности c(f) (124). 3. Теоремы о порядке сингулярности (125). 4. Величина s (/) и свертка (126). 5. Связи между 5 (/) и с (/) (128). 6. Оценки s(/) и с(/) через s(Am/) для финитных функционалов (130). 7. Оценки для произвольных функционалов в ограниченной области (132). Задачи (133).
§ 14. Преобразование Фурье обобщенных функций........ 134
1. Преобразование Фурье обычной функции (134). 2. Пространство Z (136). 3. Функционалы на пространетве К и на пространстве Z (138). 4. Преобразование Фурье обобщенной функции (141). 5. Примеры (144). Задачи (146).
* is Ппообоазование Фурье обобщенных'функций (продолжение) . 147 § 15' РРСлучай нескольких переменных (147). 2. Преобразование Фурье и повороты (149). 3. Преобразование Фурье финитного функционала (150). 4. Бесселевы функции (152). 5. Преобразование Фурье от 6(г-а) (153). 6. Преобразование Фурье и свертка (154). 7. Другие формы преобразования Фурье (156). Задачи (156).
Ч А С Т Ь 2
ПРОБЛЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ
.- с ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Глава III. Фундаментальные функции дифференциальных операторов и локальные свойства решений....... . . 158
§ 16. Формула типа Пуассона...................158
1. Свойства совокупности решений уравнения Р 1-^-1 и = 0
в К' (158). 2. Формула типа Пуассона (159). 3. Следствия, относящиеся к порядку сингулярности решения (162). 4. Формула типа Пуассона для гипоэллиптического оператора (163). 5. Классы Жеврея (164). Задачи (167).
§ 17. Существование фундаментальной функции..........169
1. Общие соображения (169). 2. Запись многочлена Р в нормальной форме (170). 3. Лестница Хёрмандера (172). 4. Существование фундаментальной функции {173). 5. Возможность искривления лестницы (174). Задачи (175).
§ 18. Решение уравнения с правой частью............175
1. Разложение по системе лестниц Хёрмандера (175). 2. Существование искомых лестниц (177). Задачи (179).
§ 19. Условие гипоэллиптичности по корням многочлена (необходимость) ..........................180
1. Диаграмма модулей дифференциального оператора (180).
2. Лемма о производных решения гипоэллиптического уравнения (182). 3. Характеристическое свойство поверхности нулей гипоэллиптического многочлена (183). 4. Лемма о производных решения ^-гипоэллиптического уравнения (185). 5. Характеристическое свойство поверхности нулей у-гипоэллипти-ческого уравнения (185) 6. Оценка нижней грани Bqq4^d~'1 (186). Задачи (187).
§ 20. Условие гипоэллиптичности по корням многочлена (достаточность) ..........................187
1. Лемма о модуле многочлена (188). 2. Доказательство основной теоремы (189). 3. Условие Y-ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ (194). ъ Использование теоремы Зайденберга — Тарского (196). Задачи (198).
§ 21. Условия гипоэллиптичности по поведению многочлена в вещественной области..........-............ 199
1. Леммы Хёрмандера (199). 2. Эллиптические уравнения (202).
§ 22. Метод Радона....................... 205
1. Общая схема метода (205). 2. Случаи однородного эллиптического многочлена (207). 3. Случай однородного Яеэллиптиче-ского многочлена (208). 4. Расположение особенностей фундаментальной функции (211). Задачи (213).
:\JI ЛЛИЛСНИЕ
, Глава IV. Уравнения в полупространстве. .............. 5
§ 23. Корректные краевые задачи для систем уравнений . . ,- . . 2
§24. Вспомогательные построения........^ ...... .2
1. Интерполяционный многочлен Ньютона (219). 2. Оценка нормы матрицы е'р через характеристические числа /матрицы Р (222). 3. Обобщенные детерминанты Вандермонда (223). " 4. Разделенные разности (227). 5., Двойные разделенные раз-
v , ности (228).
§ 25. Обыкновенные уравнения и системы ., . .'........ . 23
1. Простейшая корректная задача для системы (230). 2. Про-стейшая корректная задача для одного уравнения (232). 3. Общая корректная задача для системы (238). 4. Другие условия на рост решения при ^->оо (239). § 2(6. Уравнения в частных производных . . . ... . . . , . . . * 23!
I. Основная теорема для системы (239). 2. Основная теорема ' для одного уравнения (243). 3. Необходимость условий корректности (246). 4. Общая краевая задача (246). 5. Примеры (248). 6. Задачи с другими условиями на рост при *->оо (250). Т
§ 27. Фундаментальные решения регулярных краевых задач .... 250 1. Свертка в пространстве && (250). 2. Свойства свертки (252). 3. Регулярные уравнения и системы (253). 4. Производные фундаментального решения (254). 5. Выражение решения с произвольными иа (0, х), ...,«,_] (О, х) через фундаментальное решение (257). 6. Фундаментальные решения классических краевых задач (л — 1) (258). Задачи (260). § 28. Формулы • фундаментальных решений регулярных уравнений
(л.= 1)....................-.........262
1; Выражение преобразования Фурье фундаментального pei шёния однородного уравнения (262). 2. Случай гиперболического уравнения (265). 3. Случай регулярного уравнения (267). Задачи (271).
§ 29. Фундаментальные решения регулярных уравнений (п > 1) . . 272 1. Общая схема и классические примеры (272). 2. Общее регулярное уравнение (278). 3. Однородное гиперболическое уравнение (281). 4. Регулярное однородное уравнение (284).
§30. Уравнения со свободным членом . . . ......... . . . 287
1. Общая схема и формулировка основной теоремы. (287).
2. Система обыкновенных уравнений (291). 3. Обыкновенное уравнение порядка т (295). 4. Уравнение с частными произ- j водными (301). {
§ 31. Смешанные задачи.......• . . ."........... 303 |
1. Общая схема и формулировка основной теоремы (303). 1
2. Примеры (307). 3. Пространства Н&" и <9Ve+" (311). 4. Доказательство необходимости для системы (313). 5. Доказательство необходимости для уравнения т-го порядка1 (316). 6. Доказательство достаточности (318).
Краткие лцтёратурн ые указания..............323
Алфавитный указатель...............-. • • . 325
ПРЕДИСЛОВИЕ
Второй специальный курс математического, анализа содержит основы теории обобщенных функций и ее применения к общей теории уравнений с частными производными. Под названием «Анализ-4» этот курс несколько раз был прочитан автором на м'еханико-мате-матическом факультете МГУ.
В первой части книги излагаются начала Теории обобщенных , функций. За основу принято определение Соболева — Шварца (обобщенные функции = линейные непрерывные функционалы на пространстве финитных бесконечно дифференцируемых "функций). Отбор фактов из теории обобщенных функций определялся в основном требованиями второй части. Общая теория уравнений с частными производными, которой посвящена вторая часть, насчитывает сейчас уже большое количество серьезных результатов. Мы выбрали для изложения в курсе два ее раздела: теорию фундаментальных функций (и связанную с ней теорию гипоэллиптичности Л. Хёрмандера) и вопросы корректных задач в полупространстве. Одним из существенных оснований для выбора именно этих разделов была возможность использования сравнительно элементарного аналитического аппарата.
• Вторым важным основанием было то, что эти разделы не получили освещения в известной серии монографий «Обобщенные функции» (И. М. Гельфанд и др.). Но самым главным, разумеется, является тот факт, что на этих двух разделах весьма'выпукло отразились идеи общей теории уравнений с частными производными, не предъявляющей специальных требований к типу и порядку уравнений и тем не менее позволяющей установить важные и глубокие закономерности. Изложение, как и в первой книге, сопровождается рядом задач, куда вынесены также и некоторые интересные, но не лежащие непосредственно на пути вопросы теории (в частности, все, относящееся к пространству S' функций степенного роста и их производных). т читателя требуется владение общим курсом математического «МЛИЗа И некот°Р°е* впрочем небольшое, знакомство с книго» jQg3,76"3™4601^ анализ- Специальный курс» (2-е изд.. Физматгиз. > 1J, которая в ссылках обозначается «Анализ III».
Цена: 150руб.
