При сравнительно небольшом объеме отвечает программам вузов с повышенным уровнем преподавания математики.
Изложение существенно опирается на аппарат линейной алгебры. Необходимые сведения из линейной алгебры приведены в дополнении. ••
Третье издание (2-е — в 1980 г.) содержит новый параграф: «Задачи оптимального управления». В ряде мест улучшено изложение материала. Устранены замеченные неточности.
Для студентов физических и инженерных специальностей вузов.
Ил Я)
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.............. &
Глава 1
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
§ 1. Общие понятия, определения и примеры • . 7
§ 2. Геометрическая интерпретация нормальной системы
дифференциальных уравнений. Задача Коши ... 13.
§ 3. Некоторые интегрируемые случаи одного дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной t • '......Ш
Задачи......>.........23
Г л а в а 2 • ,
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Нормальная система линейных дифференциальны*
уравнений ....... ...... 25
§ 2. Линейное дифференциальное уравнение л-го порядка 36 § 3. Метод исключения для системы линейных дифференциальных уравнений ,.........40
§ 4. Приемы, упрощающие решение линейных дифференциальных уравнений . , ,......42
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами.........44
§ 6. Преобразование систем линейных дифференциальных уравнений. Преобразование линейной системы с постоянной матрицей к линейной системе с треугольной
матрицей.............46
§ 7. Структура решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ...............48
§ 8. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка
с постоянными коэффициентами .... .53
§ 9. Линейные системы и линейные дифференциальные
уравнения с постоянными действительными коэффици- ' "
ентами..............59
§ 10. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами......62
§ И. Системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами ....... 70
3аДачп................74
t*
Глава 3
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Теоремы существования и единственности .... 76
§ 2. Непродолжаемые решения......... 81
§ 3. Уравнения, не разрешенные относительно производной.
Особые решения............ 94
§ 4. Зависимость решения задачи Коши от параметра и начальных условий............ 99
§ 5. Приближенные методы решения задачи Ноши . . . 108
§ 6. Поведение решений линейных однородных дифферен- 119
циальных уравнений второго порядка......
§ 7. Первоначальные сведения о краевой задаче . . . . 124
Задачи................ 131
Глава 4
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
§ 1. Динамические системы и их геометрическая интерпретация ...............134 .
§ 2. Свойства решений динамических систем.....135
§ 3. Поведение траекторий динамических систем на плоскости 139 § 4. Поведение траекторий, однородной системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными действительными коэффициентами.......148
Задачи................160
Глава 5
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
§ 1. Определения и примеры......... 162
| 2. Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Устойчивость
решения х == 0 . . . •......... 164
§ 3. Лемма Ляпунова........... 167
§ 4. Теорема Ляпунова...........170
§ 5. Консервативная механическая система с одной степенью
свободы.............. 175
Задачи................ 177
Глава 6
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. Основные определения...... . . . '. 178
§ 2. Понятие характеристики квазилинейного уравнения 179 § 3. Задача Коши для уравнения с частными производными
первого порядка............183
§ 4. Решение задачи Коши для квазилинейного уравнения 184 § 5. Линейное однородное уравнение с частными производными первого порядка и первые интегралы динамических систем ....... .....' 191
s 6. Решение задачи Коши для нелинейного уравнения с частными производными первого порядка...... 196
Задачи................200
Глава 7
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве 202
ь
§ 2. Функционалы вида F (у) = I / (х, у, у') dx ............. 210
а
ь
§ 3. Функционалы вида F(y)= f (x, у, у', ..., у(п))<1х....... 215
а
§ 4. Функционалы вида F (и) = \\ f (х, у, и, — , — \dx dy__ 217
J J V дх ду I
С
§ 5. Замечания о достаточных условиях экстремума функционала ......,........ 221
§ 6. Условный экстремум.......... 225
§ 7. О приближенных методах решения вариационных задач 233
§ 8. Задачи оптимального управления....... 235
Задачи................ 250
ДОПОЛНЕНИЕ
§ 1. Некоторые сведения из линейной алгебры .... 252 § 2. Комплексные функции действительного переменного и
действия над ними........... 265
§ 3. Три леммы о вектор-функциях........ 266
Предметный указатель...........271
Цена: 150руб.
