н е к е н П. Л„ Т о р т р а А., Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1974.
Книга является написанным на высоком современном уровне курсом теории вероятностей. В ней подробно рассмотрены такие вопросы, как аксиоматика теории вероятностей и ее исходные понятия, теория распределений и характеристических функций, типы сходимости, законы больших чисел, композиции законов, условные вероятности, случайные последовательности в метрических пространствах, дискретные цепи Маркова, и многие другие. Учитывая запросы практики, авторы включили в книгу глапы, посвященные проблемам статистики.
Библ. 177 назв. Рис. 17.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию...................... 8
Введение.................................... 9
Глава !. Дискретные вероятности, аксиомы, определения, примеры 13
§ 1. Испытания и пространство исходов. Вероятность....... 13
1.1. Понятие исхода, события ,([$). 1.2. Вероятность (15). •
§ 2. Условные вероятности, зависимость и независимость ...... 18
2.1. Формула полной вероятности (18). 2.2. Независимость двух или нескольких событий (19). 2.3. Вероятности в цепи событий (20). 2.4. Приложения (21).
§ 3. Средние, моменты, производящая функция............ 27
3.1. Математическое ожидание (27). 3.2. Моменты и средние порядка а случайной величины X (28). 3.3. Производящая •'•• функция. Примеры (31).
§ 4. Проблемы аддитивности и полной аддитивности вероятности 35
Глава II. Измеримые пространства и меры.............. 38
§ 5. Множества и пространства..................... 38
5.1. Операции над множествами (38). 5.2. Отображение пространства Q в Ж (40). 5.3. Произведения пространств (41). 5.4. Компактные классы (42).
§ 6. Кольца и алгебры, а-кольца и о-алгебры............ 45
6.1. Кольца и алгебры (45). 6.2. о-кольца, а-алгебры (49). 6.3. Произведения измеримых пространств (52).
§ 7. Мера на кольце 91 и продолжение меры на о^<=а(Щ ..... 54 7.1. Мера ц на кольце 91 (55). 7.2. Мера и полная мера на а-кольце (59). 7.3. Теорема о продолжении меры с кольца 9t на &? = <з (Щ (60- 7-4- Компактные классы и меры на ttRt (66). 7.5. Дополнения (68).
§ 8. Отвбражение X пространства с мерой в другое пространство 3?
и случайные величины (С. В.).................. 75
8.1. Образ кольца (алгебры, с-алгебры) и меры при отображении X (75). 8.2. Измеримое отображение пространства с мерой
1*
в измеримое пространство (76). 8.3. Представление семейства случайных величин (77). 8.4. Распределение бесконечной последовательности вещественных случайных величин; функции распределения (78). 8.5. Свойства вещественных с. в. (82). 8.6. Дополнения (85).
§ 9. Независимые величины и произведение мер........... 90
9.1. Независимые величины и о-алгебры (90). 9.2. Произведение мер произвольного семейства мер [if (92).
Глава III. Интегралы и средние значения или математические ожидания . ................................... 9&
§ 10. Определение интеграла и его простейшие свойства....... 96
10.1. Интеграл по ограниченной мере. (96). 10.2. Простейшие свойства (97). 10.3. Различные интерпретации определения, простые функции (99). 10.4. Случай а-ограниченной меры (101).
§11. Основные теоремы.......................... 103
11.1. Теорема Беппо Леви (103). 11.2. Теоремы Лебега (о мажорируемой сходимости) и Фату (105). 11.3. Обобщенные меры • и абсолютная непрерывность интегралов (106). 11.4. Теорема
Радона — Никодима и теорема (о разложении) Лебега (109). 11.5. Дополнения: меры и линейные функционалы. Меры Радона. Интеграл Даниэля (112).
§ 12. Сходимость по мере и сходимость в среднем........... 121
12.1. Сходимость по мере и пространство измеримых функций (121). 12.2. Сходимость в среднем, полнота пространств Lp (125). 12.3. Необходимые и достаточные условия для сходимости в Lp (130).
§ 13. Интегралы Римана—Стильтьеса и Лебега—Стильтьеса в R и Rn 134 13.1. Определение интеграла ^g(x)dF(x) (134). 13.2. Интегрирование по частям (139). 13.3. Интегралы в /?", функции с комплексными значениями (140). 13.4. Упражнения по теории функций вещественной переменней (142).
§ 14. Повторное интегрирование и теорема Фубини.......... \43
14.1. Теорема (143). 14.2. Теорема Фубини (144).
Глава IV. Распределения на R" и характеристические функции . . . 147
§ 15. Интегрирование и дифференцирование на R. Абсолютная непрерывность .......'........................ 147
§ 16. Характеристическая функция (х. ф.) ф(/) и ее простейшие
свойства ............................... 157
16.1. Простейшие свойства (158). 16.2. Моменты (159). 16.3. Поведение ф (t) в окрестности нуля и производные от ф (/) (164). 16.4. Асимптотическое поведение <р(/), автокорреляция %• (Л) функции ф (f) (167). 16.5. Дополнения и упражнения (170).
§ 17. Единственность и теорема Бохыера................ 174
17.1. Формулы обращения (174). 17.2. Теоремы Матиаса и Бохнера (179). 17.3. Некоторые классы, характеристических функций (181).
§ 18. Композиция двух законов; заксны на Rn; примеры...... 188
18.1. Свертка (186). 18.2. Законы распределения в пространстве Rn (191). 18.3. Примеры законов распределения (195). 18.4. Распределения с аналитическими х. ф.; теоремы делимости (199).
§ 19. Сходимость законов распределения вещественных случайных
величин......'.......................... 204
19.1. Определение и основные свойства (204). 19.2. Расстояние р(?, X'} в пространстве законов распределения (208).
19.3. Сходимость по распределению и сходимость х. ф. (211).
19.4. Дополнения (215).
Глава V. Условные вероятности и математические ожидания .... 228
§ 20. Условные вероятности событий и условные математические
ожидания случайных величин относительно а-подалгебры & 228 20.1. Условные вероятности и математические ожидания относительно событий, имеющих положительную вероятность; формулировка проблемы (228). 20.2. Условное математическое ожидание
21.1. Постановка задачи и контрпример (243). 21.2. Теорема Иржины и следствия (245). 21.3. Случай в^()=<^х^у, ^ =. — с88х'> повторное интегрирование (249). 21.4. Теорема Байеса, корреляция (251).
§ 22. Совершенные и компактные меры................. 264
22.1. Совершенные меры (254). 22.2. Квазикомпактные меры (258).
22.3. Компактность меры, определенной на метрическом пространстве (260).
Глава VI. Последовательности случайных величин. Асимптотические свойства.................................. 262
§ 23. Сходимость последовательностей случайных величин......262
23.1. Сходимость по вероятности и сходимость по распределению (262). 23.2. Сходимость последовательности случайных величин почти везде (263). 23.3. Эквивалентность различных видов сходимости для последовательности независимых с. в. (264).
23.4. Сходимость в среднем квадратическом (267). 23.5. Примеры и дополнения (270).
§ 24. Выборки и законы больших чисел................276
24.1. Слабый закон больших чисел (277). 24.2. Усиленные законы больших чисел (279). 24.3. Закон повторного логарифма (формулировки) (284). 24.4. Эргодические теоремы и законы больших чисел. Однородные цепи Маркова (285). 24,6. Дополнения и упражнения (293).
§ 25. Случайные величины со значениями в метрическом пространстве
и различные виды сходимости последовательностей этих с. в. 299 25.1. Распределения вероятностей на & и (слабая) сходимость распределений (299). 25.2. Другие виды сходимости последовательности распределений на (#*, „?>„) (310). 25.3. Сходимость по вероятности и сходимость п. в. последовательности с. в. Хп со значениями в метрическом пространстве 5? (315).
Глава VII. Некоторые вопросы статистики.........,.....320
} 26. Задача оценивания и выбор решения...............320
26.1. Байесовские процедуры (321). 26.2. Метод максимального правдоподобия (324). 26.3. Эффективные оценки (327).
§ 27. Достаточные статистики......................329
§ 28. Проверка гипотез..........................334
28.1. Гипотезы о распределении статистик (334). 28.2. Элементарный метод проверки некоторых гипотез (335). 28.3. Мощность критерия (338).
Глава VIII. Теоремы Колмогорова и Смирнова, распределения Колмогорова — Смирнова. Сравнение эмпирического распределения с теоретическим; сравнение двух эмпирических распределений.......344
§ 29. Постановка задачи, асимптотические результаты........344
29.1. Постановка задачи (344). 29.2. Метод Дуба (346). 29.3. Процесс случайного'блуждания, связанный с Dm,n, и асимптотические распределения (348). 29.4. Процесс Пуассона и задача А (352). 29.5. Пуассоновский процесс на плоскости и безгранично делимые законы (355).
§ SO. Распределения расхождения между двумя эмпирическими функ- -циями распределения или между эмпирической функцией и
соответствующей функцией распределения............362
80.1. Распределения величин nD? n и nDn „, асимптотические законы (362). 30.2. Распределение статистик ?>+, „, D^ n (365). 30.3. Переход от ?>+ „ к D+ (369). 30.4. Вывод предельного закона для Vri D+ из распределения величины лО+ (370).
Глава IX. Дискретные однородные цепи Маркова . . .........873
§ 31. Последовательности повторных событий.............878
31.1. Последовательности повторных событий, связанных о бесконечной последовательностью случайных испытаний (373).
31.2. Основные уравнения (375). 31.3. Уравнение восстановления (381). 31.4. Число наступивших событий Un (383),
§ 32. Марковские цепи..........................885
32.1. Определение и примеры (385). 32.2. Вероятности перехода от момента п к моменту n + m (390). 32.3. Классификация состояний (390). 32.4. Эквивалентные возвратные состояния. Классы состояний (393). 32.5. Циклические подклассы (397). 32.6. Строго стационарные цепи (398). 32.7. Переходные состояния (401). 32.8. Исследования конечных цепей Маркова (404). 32.9. Предельные теоремы для последовательности случайных величин, образующих цепь Маркова о конечным числом состояний (411). 32.10. Цепи Маркова в экономике (420). 32.11. Неоднородные цепи Маркова, обратимые цепи и цепи Маркова порядка р (424).
§ 33. Цепи Маркова и теория потенциала на счетном пространстве 427
33.1. Гармонические и супергармонические функции (428).
33.2. Достижение множества А и возвращение в него (430).
33.3. Принципы теории потенциала (случай I: все состояния нерекуррентны) (432). 33.4. Теоремы сходимости в случае II (434). 33.5. Теория потенциала для случая II (предполагается, что период Е равен 1) (441). 33.6. Интегральное представление гармонических функций в случае I (444). 33.7. Сходимость на границе в случае I (447). 33.8. Граница для случая II (предполагается, что период Е равен 1) (454). 33.9. Частные случаи (457).
Библиография........................."........461
Предметный указате ь............................460
Цена: 300руб.
