с., ил.
ISBN 5-03-000417-3
Книга французских специалистов посвящена математическим основам методов графического построения кривых и поверхностей, используемых в САПР. Излагаются ме!оды интерполяции, аппроксимации, сглаживания, метод конечных элементов и метод конечных разностей.
Для специалистов в области САПР и студентов высших учебных заведений.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Благодаря развитию ЭВМ все большее значение в технике и технологии приобретают системы автоматизированного проектирования (САПР). Эти системы содержат программные и аппаратные средства, назначением которых является автоматизация рутинной части работы конструктора и проектировщика. На компьютер возлагаются многие операции, начиная от изготовления чертежей и кончая оптимизацией проекта в целом. САПР существенно увеличивает производительность труда инженера, изменяет его характер и открывает ранее недоступные возможности новых технических решений. Недалек тот день, когда результатом работы конструкторского бюро будет не комплект технической документации, а программа для ЭВМ, управляющая работой автоматической линии, системой роботов или станков с числовым программным управлением.
Для обеспечения функционирования систем автоматизированного проектирования необходимо создание соответствующих пакетов прикладных программ, которые можно разделить на два типа. К первому типу относятся программы прикладного характера (расчет конкретных конструкций, компоновка сложных узлов и т. д.). Ко второму типу можно отнести пакеты программ универсального характера, используемые в любых приложениях. Это программы, реализующие методы вычислительной математики (численное решение алгебраических и дифференциальных уравнений, минимизация функций, интерполяция и т. д.), программы построения изображений, выводимых на дисплеи и графопостроители, сервисные программы. Их создание может осуществляться независимо от конкретных приложений, и они представляют интерес для всех разработчиков и пользователей САПР.
Предлагаемая вниманию советского читателя книга посвящена описанию математических моделей, встречающихся в задачах САПР. Основное внимание уделяется методам представления плоских и пространственных кривых и поверхностей. В части 1 книги изложены теоретические основы построения проекций в двумерном и трехмерном пространствах, методы интерполяции и аппроксимации кривых и поверхностей с помощью различных функций, в том числе с помощью многочленов и сплайнов, и метод конечных элементов. Кратко описаны численные методы решения линейных и нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений, используемых при построении моделей кривых и поверхностей. Часть 2 полностью посвящена теории полюсов — оригинальному методу полиномиальной интерполяции и сглаживания.
Материал, представленный в книге, традиционно входит в учебные пособия по вычислительной математике, однако данная книга не является еще одним пособием на эту тему. В большинстве книг по численным методам значительное внимание уделяется теоретическому обоснованию (доказательству сходимости, единственности, устойчивости и т. п.). Эта же книга носит сугубо практический характер (насколько это можно говорить о математике). Авторы много внимания уделяют практическим аспектам предлагаемых методов (часто проводят сопоставление теоретических и практических свойств). Это очень важно, так как теоретические оценки методов имеют нередко весьма отдаленное отношение к их практическим свойствам. Так, например, оценка скорости сходимости, как пра-
вило, основана на мажорантных представлениях и обычно сильно занижена. В книге приводится много примеров, которые иллюстрируют те или иные методы и дают ясное представление об их достоинствах и недостатках. Другой особенностью книги является четко выраженная направленность на решение задач графического представления различных объектов. Это обусловило подбор материала книги.
Хотя, как уже говорилось выше, книга содержит традиционные вопросы вычислительной математики, ее нельзя считать учебным пособием. Более того, в ряде случаев, особенно в ч. 2, от читателя требуется свободное владение численными методами. Ее можно использовать скорее как справочное пособие. Основная ценность книги заключается в полноте изложения вопросов, связанных с графическим представлением данных, в анализе и сопоставлении практических аспектов различных методов графического изображения кривых и поверхностей. Книга содержит много рабочих формул, на основе которых можно построить алгоритмы и программы для ЭВМ. Для читателей, желающих более подробно ознакомиться с теоретическими основами численных методов, можно рекомендовать следующие книги: Самарский А. А. Введение в численные методы.- М.: Наука, 1982; Калиткин Н. Н. Численные методы.-М.: Наука, 1978; Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике.-М.: Наука, 1976.
Книга рассчитана на широкий круг математиков и инженеров - разработчиков САПР, а также студентов соответствующих специальностей вузов
!>L У"-* ?--№* ^=W^3fr Н.Г.ВОМ.
, :, I*-".? i't-.M^t
Оглавление
Предисловие редактора перевода ........................ 5
Часть 1. Основные методы
Шенен П., Коснар М., Гардан И., Ровер Ф., Робер И., Витомски П.
Предисловие авторов............................... 7
Глава 1. Основы графического представления информации......... 8
1.1. Введение.................................. 8
1.2. Двумерное пространство (плоскость)................. 10
1.3. Вычисление периметров и площадей................. 14
1.4. Геометрические преобразования на плоскости........... 15
1.5. Геометрические преобразования в трехмерном пространстве . . 18
1.6. Параллельные и перспективные проекции.............. 21
1.7. Моделирование объектов........................ 26
1.8. Заключение................................ 27
Глава 2. Кривые и поверхности......................... 27
2.1. Введение.................................. 27
2.2. Кривые.................................. 29
2.3. Поверхности............................... 59
Глава 3. Численные методы решения систем уравнений........... 70
3.1. Системы линейных уравнений..................... 70
3.2. Системы нелинейных уравнений.................... 84
3.3. Нелинейные уравнения [5]....................... 93
3.4. Заключение................................ 103
3.5. Приложения................................ 103
Глава 4. Основы метода конечных элементов................. 107
4.1. Введение.................................. 107
4.2. Примеры вариационной формулировки дифференциальных уравнений с граничными условиями.................... 108
4.3. Внутренняя аппроксимация. Метод Ритца - Галеркина...... 111
4.4. Метод конформных конечных элементов.............. 115
4.5. Другие типы конечных элементов.................. 119
4.6. Пример применения конечных элементов в двумерном пространстве .................................. 123
4.7. Заключение................................ 126
Приложение. Введение в метод конечных разностей....... 126
Часть 2. Теория полюсов
Кастелъжо П.
Предисловие..................................... 130
Предисловие автора................................ 131
Глава 1. Основная задача теории полюсов................... 131
1.1. Введение.................................. 131
1.2. Основные свойства полюсов...................... 132
1.3. Особенности применения теории полюсов к обработке кривых
и поверхностей .............................. 133
Глава 2. Симметричные полярные формы................... 134
2.1. Полярная форма параметрического уравнения........... 134
2.2. Алгоритм включения новых полюсов................ 136
2.3. Производные полярной формы.................... 137
Глава 3. Символьный анализ........................... 138
3.1. Разбиение поверхности на прямоугольники............. 138
3.2. Разбиение поверхности на треугольники............... 139
3.3. Связь со сплайнами........................... 139
3.4. Предполагаемые обобщения...................... 142
Глава 4. Индексное представление полюсов.................. 143
4.1. Последовательности индексов .................... 143
4.2. Подполюсы................................ 143
4.3. Увеличение степени........................... 144
4.4. Включение индекса. Значение кривой в текущей точке...... 144
4.5. Переход к следующей дуге....................... 145
4.6. Непрерывность.............................. 146
4.7. Простые полюсы............................. 146
4.8. Треугольная таблица разностей простых полюсов......... 147
4.9. Алгебраическое разложение дуги................... 148
4.10. Еще раз о непрерывности....................... 149
4.11. Полюсы и сплайны.......................... 149
4.12. Прогрессивные полюсы........................ 150
4.13. Обобщенные полюсы......................... 150
Глава 5. Использование полюсов в практических расчетах......... 151
5.1. Операции с простыми полюсами................... 151
5.2. Свойства простых полюсов...................... 152
5.3. Пример вычисления пятых степеней целых чисел......... 152
5.4. Бета- и гамма-функции......................... 153
5.5. Пример вычислений значений полинома............... 154
5.6. Графические построения........................ 155
5.7. Представление поверхностей с помощью полюсов........ 156
5.8. Пример применения теории полюсов................ 158
Глава 6. Полярная форма интерполяционных полиномов Лагранжа .... 160
6.1. Увеличение степени интерполяционного полинома........ 160
6.2. Другие формы представления интерполяционных полиномов
лагранжа................................. loi
6.3. Степень восстановления........................ 162
6.4. Связь полюсов с нечетными Л-сплайнами.............. 163
Глава 7. Характеристики восстановленных кривых.............. 164
7.1. Полярная форма интерполяционной формулы Лагранжа..... 164
7.2. Вычисление обобщенных полюсов дуги............... 165
7.3. Определение простых полюсов дуги.................. 167
7.4. Вычисления простых полюсов дуги................... 170
Глава 8. Интерполяция со сглаживанием.................... 171
8.1. Проверка степени восстановления.................. 171
8.2. Проверка непрерывности и отклик на единичный импульс .... 172
8.3. Число удовлетворенных условий непрерывности.......... 173
8.4. Сравнение со сплайнами........................ 175
8.5. Примеры различных функциональных зависимостей....... 176
8.6. Пример других характеристик интерполяции............ 181
Глава 9. Применения теории полюсов...................... 185
9.1. Вычисление оптимальной характеристики.............. 185
9.2. Математическое напряжение...................... 186
9.3. Кубическая интерполяция с равномерным разбиением...... 187
9.4. Кубическая интерполяция с неравномерным разбиением..... 187
9.5. Интерполяция полиномами четвертой степени........... 189
9.6. Интерполяция полиномами пятой степени............. 191
Глава 10. Перспективы применения теории полюсов............. 192
10.1. Замечания о характеристиках восстановленных кривых..... 192
10.2. Сглаживание, определенное с помощью метода наименьших квадратов................................ 193
10.3. Сравнение методов сглаживания................... 194
10.4. Интерполяция поверхностей с помощью обобщенных
полюсов................................. 194
Заключение..................................... 195
Литература..................................... 197
Предметный указатель.............................. 201
Цена: 150руб.
