Введение .......................... 7
ГЛАВА I
ИНТЕГРАЛ
§ 1. Интеграл Римана и ступенчатые функции........ 13
1. Интеграл Римана (13). 2. Определение интеграла Римана с помощью ступенчатых функций (14). 3. Идея обобщения (15). 4. Действия над ступенчатыми функциями (16). 5. Множества меры 0 и множества полной меры (16). 6. Интеграл от ступенчатой функции (18). 7. Второе определение множества меры 0 (20). Задачи (21).
§ 2. Общая теория интеграла................ 22
1. Элементарные функции и элементарный интеграл (23). 2. Множества меры 0 (24). 3. Класс L+ и интегра-л в нем (26). 4. Свойства интеграла в классе L+ (27). 5. Класс L и интеграл в нем (29). 6. Теорема Беппо Леви (32). 7. Теорема Лебега (34). 8. Вопрос о суммируемости предельной функции при сходимости почти всюду. Лемма Фату (36). 9- Теорема о полноте пространства I (37). 10. Теорема Фубини (40).
§ 3. Интеграл Лебега в я-мерном пространстве....... 44
1. Соотношение интеграла Римана и интеграла Лебега (44). 2. Несобственный интеграл Римана и интеграл Лебега (46). 3. Теорема Фубини для функций нескольких переменных (48). 4. Непрерывные функции как элементарные функции с интегралом Римана как элементарным интегралом (49). Задачи (52).
ГЛАВА II
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
§ 4. Интеграл Лебега — Стилтьеса.............. 54
ч 1. Брусы и листы (54). 2. Квазиобъем, квазидлина и производящая функция (55). 3. Интеграл Римана—Стилтьеса (56). 4. Неотрицательные непрерывные квазиобъемы. Примеры (60). 5. Брусы, существенные
1*
для квазиобъема, и брусы его непрерывности (62). 6. Множества с-меры 0 (64). 7. Свойства непрерывного квазиобъема (65). 8. Интеграл Лебега —Стилтьеса (68). 9. Совокупность <г-суммируемых функций (70). 10, Построение интеграла Лебега —Стилтьеса на основе непрерывных функций как элементарных с интегралом Римана —Стилтьеса как элементарным интегралом (74). Задачи (79).
§ 5. Эквивалентные квазиобъемы и предельные теоремы . . 80
1. Эквивалентные квазиобъемы (80). 2, Существование и единственность непрерывного квазиобъема, эквивалентного данному (82). 3. Сходимость в существенном и первая теорема Хелли (83). 4. Принцип выбора (вторая теорема Хелли) (86). 5. Случай л — 1 (88). 6. Применения в анализе (88). Задачи (91).
§ 6. Незнакоположительные квазиобъемы.......... 93
1. Постановка задачи (93). 2. Квазиобъем с ограниченным изменением и его представление в виде разности знакоположительных (94).
3. Описание других возможных разложений (96). 4. Формулы для положительного, отрицательного и полного изменения (97). 5. Непрерывность полного изменения (99). 6. Случай я = 1; теорема Жордана (100). Задачи (102).
ГЛАВА III
МЕРА
§ 7. Измеримые функции и общая теория меры.......103
1. Измеримые функции (103). 2. Измеримые множества (107). 3. Теорема о счетной аддитивности vepbi (108). 4. Аксиомы Стона (109). 5. Характеристика измеримых функций в терминах меры (ПО). 6. Определение интеграла Лебега по Лебегу (112). 7. Интегрирование по измеримому подмножеству (ИЗ). 8. Мера на произведении пространств (115). 9. Пространство L (117). Задачи (122).
§ 8. Измеримые функции и общая теория меры (продолжение) ..........................123
1. Подпространство, порожденное совокупностью характеристических функций (124). 2. Достаточная система (127). 3. Вполне достаточное полукольцо (130). 4. Верхняя мера и критерий измеримости (132). 5. Мера на л-мерном брусе. Примеры (134). 6. Мера Лебега при п = 1 (138). 7. Элементарная счетно-аддитивная мера и ее расширения (139). 8. Построение интеграла по лебеговской мере (148). Задачи (150).
§ 9. Интеграл и мера любого знака.............152
1. Разложение незнакоопределенного интеграла в разность двух неотрицательных (152). 2. Построение пространства суммируемых функций и меры для незнакоопределенного интеграла (156). 3. Разложение незнакоопределенной меры в разность двух неотрицательных (158).
4. Незнакоопределенные квазиобъемы с точки зрения общей теории меры (161). 5. Теоремы о линейных функционалах (163). 6. Разложение }Сана (165). Задачи (168),
ГЛАВА IV
ПРОИЗВОДНАЯ
§ 10. Мера и функции множеств...............169
1. Основные типы функций множеств (169). 2. Разложение функции множеств на непрерывную и дискретную части (171). 3. Усиление теоремы Хана (172). 4. Разложение непрерывной функции множеств на абсолютно непрерывную и сингулярную части. Теорема Радона — Никодима (173). 5. Линейные функционалы в пространстве /.ив пространстве L (177). 6. Положительное, отрицательное и полное изменение суммы двух счетно-аддитивных функций (180). 7. Производящая функция для абсолютно непрерывной функции множеств на отрезке (181). 8. Производящая функция для сингулярной функции множеств (185). 9. Производящая'функция для дискретной функции множеств (187). 10. Теорема Лебега о каноническом разложении функции с ограниченной вариацией (188). Задачи (189).
§ 11. Производная функции множеств............190
1. Три определения производной от функции множеств на оси (190).
2. Дифференцирование по сети (193). 3. Дифференцирование по системе Витали (194). 4. Примеры; теорема де Посселя, теорема Лебега (199). 5. Дифференцирование функции множеств в самом сильном смысле (204). Задачи (207).
Предметный указатель....................209
Цена: 150руб.
