«Методы граничных элементов» (МГЭ) — нетрадиционный термин, который в последнее время появился в зарубежной литературе для обозначения совокупности быстро развивающихся и успешно применяемых универсальных численных методов решения теоретических и прикладных задач. Уже само название выделяет характерную особенность МГЭ: возможность решения задачи с использованием дискретизации лишь границы области (в отличие от методов конечных элементов (МКЭ) и методов конечных разностей (МКР), применение которых требует дискретизации всей области). Естественно, что реализация такой возможности в МГЭ предусматривает предварительный переход от исходной краевой задачи для дифференциальных уравнений, описывающих некоторый процесс, к соотношениям, связывающим неизвестные функции на границе области (или ее части). Эти соотношения, по существу, либо представляют собой граничные интегральные уравнения, либо выражаются некоторыми функционалами (они могут и не выписываться явно, а сразу заменяться их дискретными аналогами). В первом случае МГЭ сводятся к методам граничных интегральных уравнений (ГИУ), во втором — к вариационным методам.
Методам ГИУ посвящен сборник [1]', там же в дополнении рас- • смотрены и некоторые возможности применения вариационных методов для понижения размерности краевых задач и их последующего численного решения, а также даны ссылки на работы советских ученых в рассматриваемой области. Сборник был призван в первую очередь стимулировать интерес инженеров, механиков и физиков к этим методам.
Цель предлагаемой книги иная — научить непосредственных пользователей применять методы граничных элементов на практике. Поэтому в ней дано последовательное замкнутое изложение всех аспектов МГЭ, связанных именно с применением к решению, задач механики, физики и техники. Намеренно не затрагиваются вопросы обоснования численных алгоритмов, зато детально излагается физическая интуитивная основа МГЭ, подчеркивается близость этих методов традиционным представлениям об инженерном подходе к решению задач (в этом смысле МГЭ так же близки инженеру, как, скажем, МКЭ) и подробно описывается техника их реализации на ЭВМ.
Привлекательная особенность книги состоит в том, что она суммирует опыт применения МГЭ в самых разных разделах механики, физики и инженерного дела с учетом новых результатов, полученных самими авторами и другими учеными. С этой точки зрения книга удачно сочетает черты учебника и научной монографии.
Содержание и структура книги ясны из подробного оглавления; обратим внимание лишь на несколько моментов.
1. В книге систематически рассматриваются МГЭ трех типов: прямые (составляется и решается ГИУ относительно функций, имеющих смысл в содержательной постановке исходной задачи); непрямые (строится решение ГИУ, записанного для вспомогательных функций (плотностей распределения), по которым неизвестные исходной задачи находятся интегрированием); полупрямые (задача сводится к ГИУ относительно некоторых вспомогательных функций, например относительно функции напряжений в теории упругости или функции тока в гидродинамике). Разбираются особенности методов каждой группы и приводятся результаты их применения к решению одних и тех же задач, что позволяет судить о преимуществах и недостатках указанных методов применительно к разным классам задач.
2. Изложение ведется параллельно — для механики жидкостей и газов и для механики деформируемого твердого тела. Построение соответствующих глав однотипно: после изложения путей вывода ГИУ рассматриваются способы дискретизации и описания границы, способы восполнения искомых функций, приемы вычисления интегралов, входящих в ГИУ и в формулы, позволяющие находить по решению ГИУ поля внутри области, а также приводятся многочисленные примеры решения конкретных задач.
3. Некоторые важные методические вопросы рассматриваются в специальных главах; например гл. 7 посвящена особенностям алгоритмов МГЭ для областей с нерегулярной границей, а в гл. 8 подробно анализируются возможности описания геометрии граничных элементов и изменения в их пределах искомых функций. В этих и других главах книги авторы показывают, что при разработке алгоритмов МГЭ в ряде случаев можно использовать технику других методов, и в частности методов конечных элементов.
4. Особое внимание уделяется алгоритмам МГЭ для решения нестационарных задач. Анализируются два пути, позволяющие свести нестационарную задачу к статической задаче с параметром: один связан с преобразованием Лапласа, другой — с реализацией процедуры расчета шагами по времени. Алгоритмы второго типа более универсальны и эффективны.
5. Специально рассматриваются возможности МГЭ в нелинейных задачах трех видов: (а) часть границы, на которой реализуется то или иное краевое условие, не известна заранее; (б) имеется внешнее воздействие, интенсивность которого зависит от текущих
значений неизвестных функций, т. е. нелинейны правые части дифференциальных уравнений; (в) нелинейны определяющие соотношения среды.
Общий подход здесь, как, скажем, и в МКЭ, состоит в применении итерационных алгоритмов, с тем чтобы на каждом шаге нужно было строить решение соответствующей линейной задачи. Так, при решении задачи типа (а) на каждом шаге итерационного процесса сначала неизвестная граница считается условно заданной, затем строится решение линейной задачи для фиксированной области, находится невязка в граничных условиях и вычисляется поправка к форме неизвестной границы, после чего процесс повторяется. Как известно, подобного рода алгоритм достаточно эффективен (особенно в трехмерных задачах) лишь при применении специальных процедур выбора шага итерационного процесса. В связи с этим стоит обратить внимание на другую возможность решения задач с неизвестной границей. В ряде случаев исходную задачу можно привести к вариационной задаче минимизации функционала по границе (или по ее части) с ограничениями в форме равенств и неравенств или к решению вариационного неравенства [2]. В свою очередь подобные вариационные задачи сводятся к задачам математического программирования, численные методы решения которых хорошо разработаны (см., например, [3]). В качестве примеров применения такого подхода укажем работы [4, 5].
Нелинейные задачи типа (б) и (в) отличаются тем, что соответствующие им интегральные уравнения нельзя сделать полностью граничными: эти уравнения содержат члены, в которые неизвестные функции входят под знаком интеграла по всей области. В книге подробно исследуются нелинейные задачи упруговязкопластич-ности (задачи типа (в)) и рассматриваются различные итерационные алгоритмы, для которых характерно сведение исходной нелинейной задачи на каждом шаге к линейной задаче с некоторым специальным распределением объемных сил. Авторы приходят к выводу о том, что в нелинейных задачах предпочтение следует отдавать прямым МГЭ.
6. В книге систематически проводится сравнение эффективности МГЭ и других численных методов, в первую очередь МКЭ и МКР. Для пользователей важно, что во многих случаях (которые указаны в книге) уже существующие программы МГЭ оказываются более эффективными, чем программы МКЭ и МКР. Анализ преимуществ и недостатков обеих групп методов применительно к разным классам задач наводит на мысль о целесообразности разработки комбинированных численных методов (гл. 14), которым сейчас уделяется большое внимание. Симптоматично, что энтузиастом исследований в этом направлении является один из ведущих специалистов по методам конечных элементов — профессор О. Зенкевич. В частности, им и его коллегами успешно применяются некоторые (нашедшие отражение и в гл. 14) вапиапионньте способы ппл^шрния
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода ........... 5
Предисловие.................. 9
Глава 1. Введение в методы граничных элементов....... 12
1.1. Общие положения............. 12
1.2. Альтернативный подход ............ 13
1.3. Исторический обзор развития методов граничных элементов 14
1.4. Область применения ...........• . . . 16
1.5. Сравнение особенностей методов конечных элементов и гранич-
¦ ных элементов ............... 16
1.5.1. Применимость ............. 16
1.5.2. Размерность задачи '............ 17
1.5.3. Непрерывное моделирование полей внутри области 18
1.5.4. Точность и распределение погрешности .... 19
1.6. Заключительные замечания .......... 19
1.7. Литература................ 20
1.8. Дополнительная литература ,......... 22
Глава 2. Некоторые одномерные задачи.......... 24
2.1. Введение................. 24
2.2. Метод функций влияния............ 24
2.2.1. Одномерное потенциальное течение ...... 24
2.3. Применение непрямого метода граничных элементов . . 27
2.3.1. Одномерное потенциальное течение ...... 28
2.3.2. Задача о балке............ 34
2.4. Применение прямого метода граничных элементов ... 40
2.4.1. Одномерное потенциальное течение ..... 40
2.4.2. Задача о балке ............ 44
2.5. Сравнение прямого и непрямого методов граничных элементов 50
2.6. Заключительные замечания........... 51
2.7. Литература ................ 52
Глава 3. Двумерные стационарные задачи о потенциальных течениях 53
3.1. Введение................ 53
3.2. Основные уравнения............. 54
3.3. Сингулярные решения ............ 56
3.4. Непрямой МГЭ для однородной области ...... 57
3.4.1. Дискретизация поверхностных и объемных интегралов 60
3.4.2. Формирование матриц системы ....... 62
3.4.3. Вычисление значений потенциала и скорости во внутренних точках .............. 64
3.5. Прямой метод граничных элементов для однородной области 65
o.u.i. /^лслреимация поверхностных и объемных интегралов
и формирование матриц систем ....... 71
3.5.2. Вычисление значений потенциала и скорости во внутренних точках ............. 74
3.6. Эквивалентность непрямого и прямого методов граничных элементов ................ 75
3.7. Вспомогательные интегралы по граничным элементам и внутренним ячейкам .............. 76
3.8. Зонально-однородные тела .......... §3
3.9. Родственные задачи ............. gg
3.9.1. Течение со свободной поверхностью...... 89
3.9.2. Кручение стержней ........... 90
3.10. Примеры решенных задач ........... 92
3.11. Заключительные замечания .......... 97
3.12. Литература .... .............. . . 98
Глава 4. Двумерные задачи теории упругости........ 100
4.1. Введение................. 100
4.2. Основные уравнения ............. 100
4.3. Фундаментальные сингулярные решения ...... 101
4.4. Непрямой метод граничных элементов ....... 103
4.4.1. Основные соотношения для однородной изотропной области ............... 103
4.4.2. Дискретные представления поверхностных и объемных интегралов.............. 105
4.4.3. Численное решение ........... 113
4.5. Прямой метод граничных элементов ........ 114
4.5.1. Основные соотношения для однородной изотропной области ............... 114
4.5.2. Дискретные представления граничных и объемных интегралов .............. 118
4.5.3. Численное решение ........... 121
4.6. Объемные силы............... 122
4.7. Анизотропные тела............ . 125
4.7.1. Основные уравнения ........... 125
4.7.2. Фундаментальное сингулярное решение .... 127
4.7.3. Численное решение ........... 129
4.8. Типичные примеры ............. 130
4.9. Заключительные замечания -.......... 140
4.10. Литература ............... 141
Глава 5. Трехмерные стационарные задачи о потенциальных течениях 143
5.1. Введение................ 143
5.2. Сингулярные решения: непрямая и прямая формулировки . 144
5.3. Интегрируемость ядер ............ 145
5.4. Численное решение ............. 145
5.4.1. Локальные координаты ......... 145
5.4.2. Базисные функции ........... 147
5.4.3. Численное интегрирование ........ 148
5.4.4. Точное интегрирование ......... 148
5.5. Осесимметричное течение ........... 1°1 .
5.5.1. Общие сведения ............ '5J
5.5.2. Осесимметричные сингулярные решения .... 151
5.5.3. Непрямой и прямой варианты метода ..... 153
5.6. Примеры ................ 1°5
5.7. Заключительные замечания .....i 159
5.8. Литература ................ 159
Глава 6. Трехмерные задачи теории упругости........ ibz
6.1. Введение ................ 162
6.2. Сингулярные решения ............ 162
6.2.1. Решение для сосредоточенной силы в изотропной среде................. 162
6.2.2. Решение для сосредоточенной силы в анизотропной среде 163
6.3. Основные интегральные представления....... 164
6.4. Объемные силы. .............. 165
6.4.1. Температурные деформации или фильтрационные градиенты ............... 165
6.4.2. Механические объемные силы ....... 16J
6.5. Начальные напряжения и начальные деформации . . . 170
6.6. Дискретизация.............. 173
6.6.1. Общие положения ........... 173
6.6.2. Линейные базисные функции ........ 173
6.6.3. Вычисление некоторых интегралов ...... 173
6.7. Анализ осесимметричного напряженного состояния . . . 176
6.7.1. Фундаментальные решения ........ 177
6.7.2. Прямое и непрямое представления......- 179
6.7.3. Объемные силы ............ 180
6.8. Примеры ................ 180
6.9. Заключительные замечания ........... 190
6.10. Литература ............... 191
Глава 7. Задачи о ребрах и углах............. 194
7.1. Введение ................ 194
7.2. Прямые методы.............. 194
7.2.1. Постановка задачи ........... 194
7.2.2. Использование одного узла ........ 195
7.2.3. Концепция независимых кратных узлов .... 196
7.2.4. Концепция кратных узлов с дополнительными соотношениями .............. 196
7.3. Непрямые методы ............. 199
7.3.1. Концепция независимых кратных узлов .... 199
7.3.2. Другие методы ............ 200
7.4. Задачи с несколькими зонами .......... 201
7.5. Заключительные замечания .......... 202
7.6. Литература . . . .,............ 202
Глава 8. Параметрические представления функций и геометрии . , , 204
8.1. Введение ........'........ 204
8.2. Геометрические преобразования ......... 206
8.3. Преобразование дифференциальных элементов объема, площади и линии ................ 209
8.3.1. Внутренние ячейки ........... 209
8.3.2. Граничные поверхностные ячейки ...... 210
8.3.3. Линейные сегменты ........... 211
8.4. «Линейные» ячейки и граничные элементы ...... 211
8.5. Интерполяционные функции .......... 216
8.6. Резюме ................. 218
8.7. Криволинейные преобразования и базисные функции . . 219
8.7.1. Линейные элементы ........... 219
8.7.2. Плоские треугольные ячейки ........ 220
8.7.3. Плоские четырехугольные ячейки ...... 222
8.7.4. Трехмерные ячейки ........... 224
8.7.5. Общие замечания о базисных функциях для ячеек . 225
8.8. Криволинейные граничные элементы........ 227
8.9. Бесконечные граничные элементы ......-. . . 228
8.10. Интегрирование произведений ядер на базисные функции 230
8.11. Примеры ................ 231
8.12. Заключительные замечания.......... 243
8.13. Литература ............... 243
Глава 9. Нестационарные задачи о потенциальных течениях (задачи
диффузии)......................• .245
9.1. Введение ................ 245
9.2. Основные уравнения ............ 246
9.3. Фундаментальное сингулярное решение ...... 247
9.4. Соотношения прямого МГЭ .......... 247
9.5. Соотношения непрямого МГЭ .......... 250
9.6. Решение уравнений прямого и непрямого МГЭ .... 252
9.6.1. Решение при помощи преобразования Лапласа . . 252
9.6.2. Пошаговые процессы изменения времени..... 253
9.7. Вычисление интегралов ............ 261
9.8. Типичные приложения ............ 265
9.9. Заключительные замечания ........... 272
9.10. Литература ,.............. 272
Глава 10. Нестационарные задачи теории упругости ..... 275
10.1. Введение................ 275
10.2. Вязкоупругость.............. 275
10.2.1. Основные уравнения .......... 275
10.2.2. Основное интегральное соотношение .... 276
10.2.3. Численное решение .......... 277
10.2.4. Примеры .............. 281
10.3. Термоупругость и консолидация ........ 282
10.3.1. Основные уравнения .......... 282
10.3.2. Примеры .............. 286
10.4. Применение к динамическим задачам теории упругости . . 286
10.4.1. Основные уравнения .......... 286
10.4.2. Сингулярное решение Стокса ....... 288
10.4.3. Динамическая теорема взаимности ..... 290
10.4.4. Прямой и непрямой методы........ 291
10.4.5. Стационарные задачи динамической теории упругости ................ 293
10.4.6. Распространение волн ......... 295
10.5. Типичные применения............ 300
10.6. Заключительные замечания .......... 308
10.7. Литература ............... 308
Глава 11. Задачи изгиба пластин ............ 312
11.1. Введение ................ 312
11.2. Постановка задачи и основные дифференциальные уравнения 312
11.3. Сингулярные решения ............ 315
11.4. Формулировка непрямого метода граничных элементов для • тонких пластин............. . 317
11.5. Уравнения прямого метода граничных элементов . . . 319
11.6. Пластины и балки на винклеровском основании . . . 321
11.7. Пластины на упругом полупространстве ...... 323
11.8. Примеры ................ 325
11.9. Заключительные замечания .......... 328
11.10. Литература ............... 329
Глава 12. Упругопластичность ............ 331
12.1. Введение ................ 331
12.2. Определяющие соотношения для деформируемых твердых тел 331
12.2.1. Инкрементальная теория пластичности .... 332
12.2.2. Вязкопластичность .......... 337
12.2.3. Теории неупругого деформирования металлов, основанные на введении внутренних параметров состояния 339
12.3. Основные дифференциальные уравнения упругопластичности 341
12.4. Соотношения прямого и непрямого МГЭ для нелинейных сред 343
12.5. Пошаговые алгоритмы в упругопластичности..... 346
12.6. Пошаговые алгоритмы в вязкопластичности..... 349
12.7. Численный алгоритм расчета неупругого деформирования металлов с учетом зависимости от времени...... 351
12.8. Приложения к другим сходным системам...... 352
12.9. Примеры................ 352
12.10. Заключительные замечания ......... 363
12.11. Литература .,,............ 364
Глава 13. Примеры из механики жидкости >•••••>>. 367
13.1. Введение ...,,.,,........ 367
13.2. Основные уравнения и их интегральная форма .... 367
13.2.1. Уравнения Навье—Стокса движения вязкой сжимаемой и несжимаемой жидкостей....... 368
13.2.2. Уравнения движения в терминах завихренности . 368
13.2.3. Функция тока и потенциал скорости..... 372
13.2.4. Уравнения движения в терминах функции тока при малых числах Рейнольде а......... 373
13.2.5. Безвихревое течение идеальной несжимаемой жидкости 374
13.2.6. Безвихревое течение идеальной сжимаемой жидкости 375
13.2.7. Нестационарные и стационарные волновые уравнения движения жидкостей .......... 376
13.3. Примеры ................ 376
1.3.4. Заключительные замечания.......... 384
13.5. Литература ,,.,..,......... 384
Глава 14. Комбинирование метода граничных элементов с другими
численными методами ...,..,,,,. 388
14.1. Введение................ 388
14.2. Построение решений с использованием граничных элементов энергетическим методом ........... 389
14.2.1. Введение .............. 389
14.2.2. Общая теория метода взвешенных невязок . . . 389
14.2.3. НМГЭ как вариант метода взвешенных невязок . 390
14.2.4. Симметричный ПМГЭ для задач теории упругости 392
14.2.5. Иной энергетический подход, приводящий к симметричным соотношениям МГЭ........ 395
14.3. Примеры задач, решенных с использованием энергетического подхода ................. 396
14.4. Комбинирование методов конечных и граничных элементов 399
14.4.1. Получение соотношений метода конечных элементовj методом взвешенных невязок ....... 399
14.4.2. Симметричное объединение ПМГЭ и МКЭ . . . 400
14.4.3. Симметричное объединение НМГЭ и МКЭ . . . 401
14.4.4. Примеры.............. 401
14.5. Примеры задач, решенных комбинированием метода конечных разностей и МГЭ............ 404
14.6. Заключительные замечания .......... 410
14.7. Литература ............... 410
Глава 15. Реализация методов граничных элементов на ЭВМ . . . 413
15.1. Введение ................ 413
15.2. Структура программы МГЭ .......... 413
15.3. Задание и формирование входных данных...... 414
15.4. Интегрирование произведений ядер на базисные функции 415
15.4.1. Введение .............. 415
15.4.2. Вычисление несингулярных интегралов .... 416
15.4.3. Вычисление сингулярных интегралов .... 417
15.5. Формирование системы уравнений ........ 419
15.6. Решение системы уравнений .......... 420
15.7. Вычисление решения во внутренних точках ..... 423
15.8. Программа ПМГЭ для двумерных статических задач теории упругости.................. 425
15.8.1. Описание и распечатка программы ..... 425
15.8.2. Модельная задача, входные данные и выдача резуль-
татов ,.............. 429
15.9. Программа НМГЭ для двумерных статических задач теории
упругости ................ 429
15.9.1. Описание и распечатка программы ..... 429
15.10. Литература............... 458
Приложение А. Индексные обозначения, соглашение о суммировании,
преобразования, тензоры .............. 460 i
АЛ. Введение..............." . 460
А.2. Индексные обозначения ............ 460
А.З. Соглашение о суммировании для индексов..... 461
А.4. Декартовы тензоры и законы преобразования .... 463
А.5. Полезные упражнения . . .......... 464
I А.6. Общие тензорные преобразования; контравариантность и ковариантность ..... , . ....... 467
Приложение Б. Интегральные тождества ......... 472
Б.1. Общая форма теоремы Гаусса .......... 472
Б.2. Формулы Грина ......,....... 474
Б.З. Формулы для прямого метода граничных элементов . . . 474
Б.4. Интегрирование дифференциальных операторов ... . 476
Б.5. Литература ................ 477
Приложение В. Квадратурная формула Гаусса ....... 478
8.1. Введение ................ 478
8.2. Основная формула численного интегрирования .... 479
8.3. Таблицы ................. 480
8.4. Литература ................ 485
Предметный указатель................. 486
Цена: 300руб.
