Эта книга является учебником для студентов естественных факультетов университетов: химического, геологического, биолого-почвенного и географического. Она соответствует курсу высшей математики объемом до 500 учебных часов.
Отбор материала книги, его расположение и характер изложения определены задачами математического образования студентов на естественных факультетах университетов.
Математические методы исследования получили широкое распространение в естествознании, в связи с чем повысилось значение математической подготовки исследователей природы. Одна из задач состоит в том, чтобы учащийся овладел определенным запасом сведений по высшей математике (понятий, теорем, методов), необходимых ему для изучения наук, и научился применению этих знаний. Главная же задача состоит в развитии у учащегося точного научного мышления и, в частности, в повышении уровня логического мышления и математической культуры.
В соответствии с этим в книге соблюдается должный уровень как в отношении математической строгости рассуждений, так и в отношении простоты* и ясности изложения.
Особое внимание автор стремился обратить на выявление конкретного содерн?ания математических понятий и на методику применения математики в естествознании. С этой целью в книге помещены примеры и задачи из области естественных наук (физики, химии, механики, биологии и др.), иллюстрирующие понятия высшей математики и ее методы.
Книга содержит основы математического анализа, аналитической геометрии и теории вероятностей. Весь материал изложен в следующем порядке: функции одной переменной (глава I), производная и дифференциал функции (глава II), аналитическая
1* 3
геометрия и векторная алгебра (главы IV, V, VI), функции нескольких переменных (глава VII), неопределенный интеграл (глава VIII), определенный интеграл и кратные интегралы (главы IX и X), векторный анализ и теория поля (глава XI), ряды (глава XII), обыкновенные дифференциальные уравнения (глава XIII), теория вероятностей (глава XIV), линейная алгебра (глава XV). В книге рассмотрены элементы высшей алгебры (главы III и XV), численные методы (главы VII, IX и XIII), элементы дифференциальной геометрии (главы II и VII) и начальные сведения о рядах Фурье (глава XII).
Книга написана на основе курса лекций по высшей математике, который читается автором в течение ряда лет в Ленинградском университете. Предложенное .в книге расположение материала в основном соответствует этому курсу. Раннее введение производной (до аналитической геометрии) вызвано потребностью изучения смежных наук, прежде всего физики и химии; оно оказалось целесообразным и при изучении самой математики.
На некоторых факультетах изучается сокращенный курс высшей математики. В этом случае определенная часть материала книги может быть опущена без ущерба для понимания оставшейся части и без нарушения целостности курса.
Книга разбита на 15 глав, 43 параграфа и 252 пункта. Нумерация глав, параграфов и пунктов сплошная.
Автор приносит глубокую благодарность ответственному редактору книги проф. М. М. Смирнову и рецензентам проф. Я. С. Уфлянду и проф. Ю. С. Богданову за ряд предложений, способствующих значительному улучшению книги.
Автор благодарит всех лиц, принявших участие в обсуждении рукописи книги. При этом особую, благодарность автор выражает преподавателю кафедры общей матетатики ЛГУ А. К. Поно-иаренко.
Предисловие.................
Глава I. Функции одной переменной
§ 1. Функция..................
1. Множество (5). 2. Упорядоченное множество (7). 3 ' Матема' 5
тическая величина. Число (8). 4. Абсолютная величина веществен ного числа (9). 5. Промежуток (10). 6. Постоянные и переменные величины (10). 7. Понятие функции (И). 8. Элементарные функ ции (13). 9. Алгебраические функции (16).
§ 2. Предел функции................
10. Бесконечно малая функция (16). 11.'Свойства 'бесконечно малых (19). 12. Бесконечно большая функция (21). 13. Предел функции (22). 14. Предел функции при стремлении аргумента к оесконечности (24). 15. Основные теоремы о пределах (25) 16. Один важный предел (28). 17. Число е. Натуральные логарифмы (29). 18. Задача (30). 19. Сравнение бесконечно малых (31)
20. Дополнительные сведения о пределах (32).
3, Непрерывные функции ................... 37
21. Понятие непрерывности функции в точке и в нромежутке'(37)'
22. Классификация точек разрыва (39). 23. Свойства непрерывных функций (40). 24. Свойства функций, непрерывных в замкну-том промежутке (41). 25. Непрерывность обратной функции (43).
26. Еще три важных предела (45).
Глава II. Производные и дифференциалы функции
§ 4. Производная функции................... 46
27. Задачи, приводящие к понятию производной (46). 28. Понятие производной функции (49). 29. Основные правила дифференцирования (51). 30. Основные формулы дифференцирования (54). 31. Производные высших порядков (57).
§ 5, Основные теоремы дифференциального исчисления...... 58
32. Теорема Ферма (58). 33. Теорема Ролля (59). 34. Теорема Лагранжа (60). 35. Два дифференциальных уравнения (62). 36. Теорема Коши (62). 37. Раскрытие неопределенностей (63).
!§ 6, Исследование функции ................... 65
38. Условие постоянства функции. Условия монотонности функции (66). 39. Максимум и минимум функции (68). 40. Достаточные условия экстремума (70). 41. Задачи на экстремум (72). 42. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба (73). 43. Асимптоты (75). 44. Общая схема исследования функции (76). 45. Кривизна (77). 46. Касательная, нормаль и связанные сними отрезки (80).
47. Приближенное вычисление вещественных корней уравнения (81).
1 7, Дифференциал функции .................. 84
48. Понятие дифференциала функции (84). 49. Свойства дифференциала (86). 50. Формулы приближенных вычислений (87). 51. Формула Тейлора (88). 52. Примеры (91). 53. Исследование функции на экстремум с помощью формулы Тейлора (92).
Глава lib Элементы высшей алгебры >
§ 8. Комплексные числа. Функции комплексного переменного ... 94
54. Три формы комплексного числа. Формулы Эйлера (94).
55. Примеры функций комплексного переменного (95). 56. Целые рациональные функции (97). 57. Дробные рациональные функции (100).
§ 9. Соединения. Определители................. ЮЗ
58. Элементы теории соединений (103). 59, Элементы теории определителей (105).
Глава IV. Аналитическая геометрия на плоскости
§ 10. Координаты на прямой и на плоскости........... 110
60. Вектор (110). 61. Направленный отрезок осп (112). 62. Координаты на прямой (112). 63. Основные теоремы теории проекций (113). 64. Координаты на плоскости (114). 65. Расстояние между двумя точками (116). 66. Преобразование декартовых координат (117). 67. Площадь треугольника (120).
§ 11, Уравнение линии..................... 121
68. Геометрическое значение уравнения с двумя переменными (122). 69. Понятие уравнения линии (123). 70. Алгебраическая , линия и ее порядок (124).
§ 12, Прямая линия ...................... 125
71. Уравнение прямой с угловым коэффициентом (125). 72. Общее уравнение прямой (127). 73. Уравнение пучка прямых (128). 74. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (128). 75. Угол между двумя прямыми (129). 76. Задача о взаимном расположении двух прямых (131). 77. Нормальное уравнение прямой (133). 78. Расстояние от точки до прямой (134).
§ 13. Линия второго порядка.................. 135
79. Окружность (135). 80. Эллипс и его уравнение (136). 81. Исследование формы эллипса (137). 82. Гипербола и ее уравнение (138). 83. Исследование формы гиперболы по ее уравнению (139). 84. Парабола (141). 85. Директрисы кривых второго порядка (142). 86. Полярное уравнение кривых второго порядка (144).
87. Исследование общего уравнения линий второго порядка (144).
Глава V. Векторная алгебра
§ 14. Линейные операции над векторами............. 148
88. Линейные операции и их свойства (148). 89. Декартова система координат в пространстве (149). 90. Разложение вектора по координатному базису (150). 91. Длина вектора, его направляющие косинусы и соотношения между ними (151). 92. Линейные операции над векторами, заданными своими проекциями (152).
§ 15. Некоторые нелинейные операции над векторами....... 153
93. Скалярное произведение и его основные свойства (153),
94. Угол между векторами. Условие ортогональности векторов (155). 95. Векторное произведение и его основные свойства (156).
96. Смешанное произведение и его основные свойства (158).
Глава VI. Аналитическая геометрия в пространстве
§ 16. Координаты в пространстве................ 160
97. Цилиндрическая и сферическая системы координат (160).
98. Задачи (161). 99. Геометрическое значение уравнения с тремя переменными (162). 100. Понятие уравнения поверхности. Алгебраическая поверхность (164).
§ 17» Плоскость в пространстве.................. 165
101. Нормальное уравнение плоскости (165). 102. Общее уравнение плоскости (165). 103. Расстояние от точки до плоскости (167). 104. Уравнение связки плоскостей (167). 105. Угол между плоскостями (168).
§ 18. Прямая в пространстве.................. 169
106. Общие уравнения прямой (169). 107. Канонические ура--внения прямой (169). 108. Параметрические уравнения прямой (170). 109. Уравнения прямой, проходящей через две точки
469'
(171). 110. Угол между двумя прямыми (171). 111. Угол между прямой и плоскостью (172). 112. Задача о взаимном расположении прямой и плоскости (172).
§ 19. Поверхности второго порядка...... 17о
113. Эллипсоид (173). 114. Гиперболоид ' однополос'тной (174).' 115. Гипероолоид двуполостной (175). 116. Параболоид эллиптический (175). 117. Параболоид гиперболический (176) 118. Конус второго порядка (178). 119. Цилиндры второго порядка (178). ->«*-*'
Глава VII. Функции нескольких переменных
§ 20. Функция. Предел функции.............. .„„
120. Арифметическое ге-мерное пространство. (179). 121.' Понятие функции нескольких переменных (181). 122. Понятие предела функции. Теория пределов (182). 123. Непрерывность функции нескольких переменных (183).
§ 21. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных........................... 185
124. Понятие частной производной (185). 125. Обобщенная формула конечных приращений (187). 126. Дифференцирование сложной функции (187). 127. Дифференцирование неявной функции (189). 128. Теорема Эйлера об однородных функциях (191). 129. Частные производные высших порядков (192).. 130. Полное приращение и полный дифференциал функции (193). 131. Элементы теории приближенных вычислений (195). 132. Касательная к пространственной кривой (197). 133. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (198). 134. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных (200). 135. Формула Тейлора для функции нескольких переменных (200). 136. Экстремум функции нескольких переменных (201).
137. Условный, или относительный экстремум (204).
§ 22. Вопросы теории приближения функции........... 206
138. Интерполяционная формула Лагранжа (206). 139. О методе наименьших квадратов (207). 140. О равномерном приближении функции многочленом (209),.
Глава VIII. Неопределенный интеграл
§ 23. Неопределенный интеграл. Общие способы его вычисления . . 211 141. Понятия первообразной функции и неопределенного интеграла (211). 142. Таблица основных интегралол (213). 143. Способ подстановки (215). 144. Способ интегрирования по частям (216). 145. Способ неопределенных коэффициентов (217).
§ 24. Интегрирование некоторых классов функций......... 217
146. Интегрирование рациональных функций (218). 147. Интегрирование некоторых иррациональных функций (220). 148. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений (222).
149. Интегрирование некоторых трансцендентных функций (224).
150. Задачи, приводящие к понятию неопределенного интеграла (225).
Глава IX. Определенный интеграл. Несобственные интегралы
§ 25. Определенный интеграл................... 228
151. Задачи, приводящие к определенному интегралу (228).
152. Понятие определенного интеграла (230). 153. Основная " формула интегрального исчисления (232). 154. Свойства определенного интеграла (234). 155. Интеграл с переменным верхним пределом (239). 156. Способы вычисления определенного интеграла (240).
§ 26. Приложения определенного интеграла............ 246
157. Вычисление площади (246). 158. Вычисление объема (249). 159. Вычисление длины дуги (250). 160. Площадь поверхности вращения (251). 161. Статические моменты и координаты центра тяжести (252).
| 27. Несобственные интегралы ................. 255
162. Интеграл по бесконечному промежутку (255). 163. Интеграл от неограниченной функции (258). 164. Интегралы Эйлера (261). . ^
§ 28. Интегралы, зависящие от параметра............. 262
165. Определенные интегралы, зависящие от параметра (262).
166. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (265).
Глава X. Кратные интегралы
§ 29. Двойные интегралы.................... 268
167. Задачи, приводящие к двойному интегралу (268). 168. Понятие двойного интеграла (270). 169. Свойства двойного интеграла (271). 170. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах (273). 171. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах (277). 172. Интеграл Эйлера — Пуассона (279). 173. Системы криволинейных координат на плоскости (280). 174. Вычисление двойного интеграла в криволинейных координатах (283). 175. Приложения двойного интеграла (284).
§^30. Тройные интегралы .................... 285
176. Понятие тройного интеграла (285). 177. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах (287). 178. Системы криволинейных координат в пространстве (288). 179. Вычисление тройного интеграла в криволинейных координатах (292).
180. Приложения тройного интеграла в механике (294).
Глава XI. Векторный анализ и теория поля
181. Понятие поля (296).
| 31. Скалярные и векторные поля . . . ;............ 297
182. Скалярное поле. Поверхности * и линии уровня (297).
183. Производная по направлению (298). 184. Градиент скалярного поля (299). 185. Векторная функция скалярного аргумента (301). 186. Векторные линии и трубки (303).
IJ32. Криволинейные интегралы.................. 304
187. Задачи, приводящие к криволинейным интегралам (304).
188. Определение криволинейных интегралов, их свойства (305).
189. Вычисление криволинейных интегралов (308). 190. Формула Грина (311). 191. Условия независимости криволинейного интеграла от пути (313). 192. Потенциальное векторное поле (318).
f 33. Поверхностные интегралы................. 320
193. Определение поверхностных интегралов, их свойства (320).
194. Поток вектора через поверхность (324). 195. Вычисление поверхностных интегралов (324). 196. Формула Остроградского (327). 197. Дивергенция вектора (328). 198. Соленоидальнов векторное поле (330). 199. Формула Стокса (332). 200. Ротор вектора (334). 201. Безвихревые векторные поля(337).
| 34. Дифференциальные операции теории поля и их выражение в различных системах координат................ 338
202. Дифференциальные операции второго порядка (338).
203. Выражение градиента в ортогональных криволинейных координатах (340). 204. Выражение дивергенции в ортогональных криволинейных координатах (341). 205. Выражение оператора Лапласа в ортогональных криволинейных координатах (342). 206. Уравнение диффузии (343).
Глава XII. Ряды
§ 35. Числовые ряды....................... 346
207. Основные понятия (346). 208. Основные свойства рядов (348). 209. Ряды с положительными членами (351). 210. Знакочередующиеся ряды (355). 211. Общие числовые ряды (357).
212. Ряды с комплексными членами (360).
§ 36. Функциональные ряды................... 361
213. Основные понятия. Признак Вейерштрасса (361). 214. Свойства равномерно сходящихся рядов (363). 215. Степенные ряды (367). 216. Ряд Тейлора (370). 217. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды (372). 218. Некоторые приложения степенных рядов (374). 219. Понятие о ряде Фурье (375). 220. Общие ортогональные системы функций (379).
221. Обобщенные ряды Фурье (381).
Глава XIII. Обыкновенные дифференциальные уравнения
§ 37. Дифференциальные уравнения первого порядка....... 386
222. Общие сведения о дифференциальных уравнениях (386).
223. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (387). 224. Основные понятия (389). 225. Методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка (392).
§ 38. Дифференциальные уравнения высших порядков....... 395
226. Определения. Случаи понижения порядка (395). 227. Линейные дифференциальные уравнения (397). 228. Линейные однородные уравнения (398). 229. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами (403). 230. Линейные неоднородные уравнения (406). 231. Метод нахождения частных решений линейных неоднородных уравнений (407).
§ 39. Системы дифференциальных уравнений........... 408
232. Общие вопросы (408). 233. Способы интегрирования систем дифференциальных уравнений (410). 234. Некоторые методы интегрирования дифференциальных уравнений (412).
Глава XIV. Теория вероятностей
§ 40. Случайные события................... . 418
235.. Основные понятия, теории вероятностей (418). 236. Основные теоремы (422).
§ 41. Случайные величины ................... 427
237. Дискретная случайная величина и ее закон распределения (427). 238. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины (427). 239. Биноминальный закон распределения (431). 240. Интегральная функция распределения случайной величины и ее свойства (433). 241. Дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины и ее свойства (435). 242. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины (437). 243. Нормальный закон распределения (438). 244. Закон больших чисел (439).
Глава XV. Линейная алгебра
§ 42. Определители...................... 445
245. Понятие определителя любого порядка (445). 246. Свойство перестановок (446). 247. Основные свойства определителей (447). 248. Теорема умножения определителей (451).
§ 43. Системы линейных уравнений................ 453
249. Постановка вопроса (453). 250. Теорема Крамера (454).
251. Общий случай системы т уравнений си неизвестными (455).
252. Однородные системы линейных уравнений (459).
Цена: 150руб.
